§5. Асимптоты графіка функції

Якщо функція має нескінченні розриви або визначена на нескінченному проміжку, то через скінченість розмірів креслення доводиться задовольнятися лише частиною всього графіка. Асимптоти дозволяють чітко уявити собі вид графіка й за межами креслення.

Будемо казати, що точка віддаляється в нескінченність, якщо відстань від неї до початку координат необмежено збільшується.

Означення. Пряма називається асимптотою лінії , якщо відстань від поточної точки лінії до прямої наближається до нуля в міру віддалення точки в нескінченність.

Відстань може прямувати в нескінченність різними способами: 1) ; 2) ; 3) , . Залежно від способу й розрізняють вертикальні, горизонтальні й похилі асимптоти.

I Вертикальні асимптоти

Пряма є вертикальною асимптотою графіка функції , якщо хоча б одна з однобічних границь функції в цій точці дорівнює або (тобто точка – точка нескінченного розриву).

Приклади.

1. Графік функції має асимптоту , тому що , .

2. Для графіка логарифмічної функції вісь ординат є ^{асимптотою, тому що} .

3. Розглянемо функцію . Для неї маємо:

^{пряма x=0 – вертикальна асимптота}.

Відзначимо, що графік функції може мати будь-яке число вертикальних асимптот. Графік же елементарної функції не може перетинати свою вертикальну асимптоту.

II Горизонтальні асимптоти

Пряма є горизонтальної асимптотою графіка функції при

, якщо .

Приклади.

4. Для графіка показникової функції вісь абсцис є асимптотою при , якщо , і при , якщо .

5. Для графіка пряма – асимптота при , а пряма – асимптота при .

6. Для функції : , виходить, для цієї функції вісь абсцис – асимптота і при , і при .

Відзначимо, що графік елементарної функції може мати не більше двох асимптот: по однієї на кожній з нескінченостей. Крім того, графік може перетинати свою горизонтальну асимптоту (див. приклад 6).

III Похилі асимптоти

Теорема. Для того, щоб графік функції мав при похилу асимптоту , необхідно й достатньо, щоб існували скінчені границі

и (1)

Доведення. Запишемо рівняння прямої у формі Тоді можна скористатися готовою формулою для відстані від точки графіка до прямої :

.

Нагадаємо ще два результати з теорії границь:

тому що

Доведемо необхідність. Нехай – асимптота. Виходить, при , тобто Звідси відразу маємо . З іншої сторони

тому, , а тому що , то й Це ж означає, що .

Доведемо достатність. Нехай існують границі (1). Тоді: За означенням це й означає, що пряма , де й визначені формулами (1), є асимптотою. Теорема доведена.

Зауваження 1. Аналогічно визначається похила асимптота для випадку . Похилих асимптот у графіка елементарної функції може бути не більше двох, причому горизонтальна асимптота – це окремий випадок похилої. Графік може перетинати свою похилу асимптоту.

Приклади.

7. Знайдемо асимптоти графіка функції .

– асимптота при ,

немає горизонтальної асимптоти при , але може бути похила:

Отже, пряма – похила асимптота графіка функції при .

Помітимо, що вертикальних асимптот графік не має, тому що дана функція є неперервною ( у силу елементарності ) на всій числовій осі.

8. Знайти асимптоти графіка функції Очевидно, що гори-зонтальних асимптот немає, тому що Далі,

.

Пряма – похила асимптота графіка функції при й при .

Зауваження 2. Неважко помітити, що, якщо при ( ), то пряма – похила асимптота графіка функції при ( ).

Приклад.

9. .

Тому що то пряма – асимптота графіка при й .

Задача. Знайти асимптоти графіка функції

Лекція 14