§5. Асимптоты графіка функції

Якщо функція має нескінченні розриви або визначена на нескінченному проміжку, то через скінченість розмірів креслення доводиться задовольнятися лише частиною всього графіка. Асимптоти дозволяють чітко уявити собі вид графіка й за межами креслення.

Будемо казати, що точка віддаляється в нескінченність, якщо відстань віднеї до початку координат необмежено збільшується.

Означення. Пряма називаєтьсяасимптотою лінії , якщо відстань від поточноїточки лініїдо прямоїнаближається до нуля в міру віддаленняточки в нескінченність.

Відстань може прямувати в нескінченність різними способами: 1); 2); 3),. Залежно від способу й розрізняють вертикальні, горизонтальні й похиліасимптоти.

I Вертикальні асимптоти

Пряма є вертикальною асимптотою графіка функції , якщо хоча б одна з однобічнихграниць функції в цій точці дорівнює або(тобтоточка –точка нескінченного розриву).

Приклади.

1. Графік функції маєасимптоту , тому що,.

2. Для графіка логарифмічної функції вісь ординатє ^{асимптотою, тому що} .

3. Розглянемо функцію . Для неї маємо:

^{пряма x=0 – вертикальна асимптота}.

Відзначимо, що графік функції може мати будь-яке число вертикальних асимптот. Графік же елементарної функції не може перетинати свою вертикальну асимптоту.

II Горизонтальні асимптоти

Пряма є горизонтальної асимптотою графіка функції при

, якщо .

Приклади.

4. Для графіка показникової функції вісь абсцисє асимптотою при , якщо, і при, якщо.

5. Для графіка пряма– асимптота при, а пряма– асимптота при.

6. Для функції :, виходить, для цієї функції вісь абсцис – асимптота і при, і при.

Відзначимо, що графік елементарної функції може мати не більше двох асимптот: по однієї на кожній з нескінченостей. Крім того, графік може перетинати свою горизонтальну асимптоту (див. приклад 6).

III Похилі асимптоти

Теорема. Для того, щоб графік функції мав припохилуасимптоту , необхідно й достатньо, щоб існували скінчені границі

и (1)

Доведення. Запишемо рівняння прямої у форміТоді можнаскористатися готовою формулою для відстані від точки графіка до прямої:

.

Нагадаємо ще два результати з теорії границь:

тому що

Доведемо необхідність. Нехай – асимптота. Виходить,при, тобтоЗвідси відразу маємо.З іншої сторони

тому, , а тому що, то йЦе ж означає, що.

Доведемо достатність. Нехай існують границі (1). Тоді: Заозначенням це й означає, що пряма , дейвизначені формулами (1),є асимптотою. Теорема доведена.

Зауваження 1. Аналогічно визначається похила асимптота для випадку .Похилих асимптот у графіка елементарної функції може бути не більше двох, причому горизонтальна асимптота – це окремий випадок похилої. Графік може перетинати свою похилу асимптоту.

Приклади.

7. Знайдемо асимптоти графіка функції .

–асимптота при ,

немає горизонтальної асимптоти при , але може бути похила:

Отже, пряма – похила асимптота графіка функціїпри.

Помітимо, що вертикальних асимптот графік не має, тому що дана функція є неперервною ( у силу елементарності ) на всій числовій осі.

8. Знайти асимптоти графіка функції Очевидно, що гори-зонтальних асимптот немає, тому що Далі,

.

Пряма – похила асимптота графіка функціїприй при.

Зауваження 2. Неважко помітити, що, якщо при(), то пряма– похила асимптота графіка функції при().

Приклад.

9. .

Тому що то пряма– асимптота графіка прий.

Задача. Знайти асимптоти графіка функції

Лекція 14