§4. Дослідження функції на опуклість і перегин

I Напрямок опуклості (увігнутості)

Нехай функція диференційована на інтервалі .Диференційованість означає існування скінченої похідної, що, у свою чергу, означає наявність у графіка функції невертикальної дотичної. А для такої прямої є поняття «вище» і «нижче».

Означення 1. Диференційована функція називаєтьсяопуклою вниз (вгору) на інтервалі , якщо її графік лежить не нижче (не вище) будь-якої

дотичної до графіка функції на .

Говорять ще: «графік функції спрямований опуклістю вниз (вгору)». Замість «опукла вниз (вгору)» говорять іноді «увігнута вгору (вниз)». Ще замість «опукла нагору» говорять просто «опукла», а замість «опукла вниз» – «увігнута».

На малюнку ліворуч зображений графік функції опуклої вниз, а праворуч – вгору.

Теорема 1 (перша достатня умова опуклості). Нехай функція має на інтерваліскінчену похідну другого порядку. Тоді:

1) якщо на, тоспрямована опуклістю вниз;

2) якщо на, тоспрямована опуклістю вгору.

Доведення. Позначимо: – ординататочки графіка функції з абсцисою ;– ординататочки дотичної до графіка з тією же абсцисою. Якщо – довільнаточка з , то рівняння дотичної до графікавточці з абсцисою має вигляд:. Складемо різницю ординат:. Існуванняозначає, що існує (і неперервна)і, отже,– неперервна. Тоді до функціїна проміжкузастосовна теоремаЛагранжа:

Тоді

Функція неперервна йдиференційована, виходить, до неї можемо застосувати теорему Лагранжа на проміжку

Отже, для різниці ординат точки графіка й точки дотичної маємо рівність: . Можливі два випадки взаємногорозташування точок :

В обох випадках добуток додатний, отже,: якщо, то, тобто графікрозташовано вище дотичної, функція опукла вниз; якщо , те, графікрозташовано нижче дотичної, функція опукла вгору. Теорема доведена.

Зауваження 1. Доведена теорема має просту геометричну ілюстрацію. Якщо функція опукла вниз, то кутовий коефіцієнт дотичної, тобто зростає, значить. Для опуклої вгору функції перша похідна спадає, виходить, друга похідна від'ємна.

Приклад 1. Дослідити на опуклість степеневу функцію

Маємо . Якщоабо, те, а якщо, то. Виходить,на променіопукла вниз прий, і опукла вгору при. Приабомаємо лінійну функціюабо. Такі функції можутьвважатися як опуклими вгору, так і опуклими вниз.

II Точки перегину

Означення 2. Точку називаютьточкою перегину графіка функції , якщо вона відокремлюєділянки графіка із протилежними напрямами опуклості.

Одна корисна властивість точки перегину: якщо в точці перегину існує дотична до графіка функції, то вона перетинає графік.

Зауваження 2. Часто цю властивість приймають за означення точки перегину. Але таке означення зовсім не рівносильне даному вище. Крива може й не мати дотичної у точці перегину, а може трапитися зворотне: крива перетинає дотичну в точці, що не відокремлює ділянки із протилежними напрямами опуклості. Прикладами можуть слугувати функції й:у першої в точках перегину йнемає дотичних (хоча є однобічні дотичні), для графікадругої прямі іє дотичними.

Можна навести й більш цікавий приклад:

Графік цієї функції на початку координат дотикається осі й перетинаєїї; тут існує неперервна друга похідна, але вона нескінченну множину разів міняє знак в околі нуля. (Надаємо читачеві змогу самому провести всі необхідні обчислення для цих функцій).

Приведемо без доведення ряд теорем, у яких використовується поняття критичної точки другого порядку.

Означення 3. Точка називається критичноюточкою другого порядку функції , якщо друга похідна функції в ційточці дорівнює нулю або не існує.

Теорема 2 (необхідна умова точки перегину). Якщо –точка перегину функції , то– критичнаточка другого порядку.

Теорема 3 (перша достатня умова точки перегину). Нехай – критичнаточка другого порядку неперервної функції й нехай існуєтаке, що в околахідруга похіднаіснує й має протилежні знаки. Тодіточка –точка перегину графіка функції .

Теорема 4. (друга достатня умова точки перегину). Якщо функція має вточці скінчену похідну третього порядку й задовольняє умовам,, тографік цієї функції має перегин у точці .

Приклад 2. Знайти інтервали опуклості й точки перегину функції .

Рішення. У попередньому параграфі ми вже досліджували цю функцію на екстремум і одержали

Знаходимо другу похідну:

Нагадаємо, що не існує вточці , виходить, іне існує в ційточці, тобто ця точка – критична точка другого порядку. Ще одну таку точку знайдемо, розв‘язавши рівняння Ці критичніточки розбивають область визначення на інтервализнакопостійності другої похідної, тобто інтервали опуклості самої функції. Знаки визначаємо так само, як і знаки при дослідженні наекстремум. Приходимо до креслення:

Отже, маємо: на інтервалах ,іфункція опукла вниз, а на– опукла вгору;точки й–точки перегину.

ійй

Зауваження 3. У випадку недиференційованої функції прийняте інше означення опуклості, а саме: функція називаєтьсяопуклою вниз (вгору) на інтервалі , якщо всіточки будь-якої дуги її графіка лежать під (над) відповідною хордою або на ній. Для диференційованої функції це означення рівносильне даному вище.

Зауваження 4. Третя достатня умова перегину буде дана в наступній темі.