II Формула Тейлора із залишковим членом у формі Пеано

Теорема 1. Нехай функція має в точці похідні до п-го порядку включно. Тоді для залишкового члена має місце рівність

при

Доведення. Насамперед, помітимо, що існування похідних означає наступне: функція має похідні до -го порядку в деякому околі точки , і має похідну п-го порядку в самій точці .

Для доведення теореми досить показати, що

У силу співвідношень (2) до цієї границі можна ( ) раз застосувати правило Бернуллі-Лопиталя:

З огляду на всі ті ж співвідношення (2), останню границю можна записати як

Але ця границя є не що інше, як визначення похідної функції в точці , тобто вона дорівнює . Але в силу (2) ця похідна дорівнює . Отже

Теорема доведена.

Випишемо формулу Тейлора з урахуванням доведеної теореми:

(3)

Зауваження 1. Форма Пеано залишкового члена корисна при використанні формули Тейлора для обчислення границь.

Зауваження 2. Формула (3) є природним узагальненням формули нескінченно малих приростів (тема «Похідна», §4), яку можна записати так: вона виходить із (3) при п = 1.

III Формула Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа

Приведемо без доведення наступну теорему.

Теорема 2. Нехай функція має в деякому проміжку, що містить точку , похідні до -го порядку включно. Тоді для кожного із цього проміжку знайдеться точка така, що

Зауваження 1. Форма Лагранжа залишкового члена використовується в тих випадках, коли потрібно приблизно обчислити при фіксованому значенні , відмінному від . Залишковий член у цій формі нагадує наступний, черговий, член формули Тейлора, тільки обчислюється не в точці , а в деякій точці між і .

Випишемо формулу Тейлора з урахуванням теореми 2:

§3. Формула Маклорена. Оцінка Rn(X)

I Формула Маклорена

Формулу Тейлора в окремому випадку, коли , прийнято називати формулою Маклорена. Запишемо цю формулу для довільної функції .

Тут залишковий член має вигляд:

а) у формі Пеано

б) у формі Лагранжа

II Універсальна оцінка залишкового члена

Залишковий член (вірніше, його абсолютна величина) є не що інше як похибка, що виникає при заміні функції її многочленом Тейлора. Саме для успішного застосування формули Тейлора в наближених обчисленнях і потрібна оцінка залишкового члена. Така оцінка дається наступною теоремою.

Теорема. Нехай функція має в проміжку похідні всіх порядків, які рівномірно обмежені в сукупності, тобто існує число таке, що Тоді для , маємо універсальну оцінку:

(1)

Ця оцінка відразу випливає з форми Лагранжа залишкового члена й з умов теореми.

В §6 теми «Введення в математичної аналіз» було доведено, що для .

Якщо , то й ця границя тим більше дорівнює 0. Звідси випливає, що, вибираючи досить великий номер , ми можемо зробити праву частину (1) менше будь-якого додатного числа. Це дає нам можливість застосовувати формулу Маклорена для наближеного обчислення функцій (задовольняючих умовам теореми) з наперед заданою точністю.

Лекція 16