- •104 Тема дослідження функцій за допомогою похідних
- •§1. Умова сталості функції
- •§2. Умова монотонності функції
- •§3. Дослідження функції на екстремум
- •§4. Дослідження функції на опуклість і перегин
- •I Напрямок опуклості (увігнутості)
- •II Точки перегину
- •§5. Асимптоты графіка функції
- •I Вертикальні асимптоти
- •II Горизонтальні асимптоти
- •III Похилі асимптоти
- •§6. Загальна схема дослідження функції
- •§7. Найбільше й найменше значення функції на проміжку
- •Тема формули тейлора й маклорена
- •§1. Формула Тейлора для многочлена. Біном Ньютона
- •§2. Формула Тейлора для довільної функції
- •I Означення
- •II Формула Тейлора із залишковим членом у формі Пеано
- •III Формула Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа
- •§3. Формула Маклорена. Оцінка Rn(X)
- •I Формула Маклорена
- •II Універсальна оцінка залишкового члена
- •§4. Розкладання по формулі Маклорена деяких елементарних функцій
- •§5. Застосування формули Маклорена
- •I Обчислення границь
- •II Наближені обчислення
- •Iiі Дослідження функцій
Тема формули тейлора й маклорена
Лекція 15
§1. Формула Тейлора для многочлена. Біном Ньютона
Нагадаємо формулу для обчислення похідних (будь-якого порядку) степеневої функції з натуральним показником степені:
За допомогою цієї формули встановимо зв'язок між коефіцієнтами многочлена
(1)
і похідними самого многочлена в нулі. Запишемо многочлена у вигляді
Перший доданок правої частини після k-кратного диференціювання обернеться в нуль, а другий – в Длятретього маємо:
У цій сумі всі показники степені . Щоб ця сума звернулася в нуль, досить покласти Отже, одержимо зв'язок: Звідси випливає формула, що виражає коефіцієнти многочлена через похідні самого многочлена:
(2)
Тепер многочлен (1) можна записати у формі
Нагадаємо, що похідна нульового порядку – це сама функція.
Іноді потрібно многочлен (1) записати не по степенях , а по степенях двочленаНеважко переконатися, що в цьому випадку коефіцієнти обчислюються по формуліа сам многочлен можна записати у вигляді
Це і є формула Тейлора для многочлена.
З формули (2) для коефіцієнтів многочлена (1) можна вивести два важливих наслідки.
Наслідок 1. Розглянемо два многочлени
і
Якщо то йзвідкиодержимо: а) степені многочленів рівні – ; б) коефіцієнти при однакових степеняхзмінної рівні –
Наслідок 2. Розглянемо многочлен, що представляє собою степінь біномай запишемойого в стандартній формі (1): .
Коефіцієнти обчислимо по формулі (2):
Отже, ми одержали т.зв. формулу бінома Ньютона:
Числа позначають і називають біноміальними коефіцієнтами. Тому що , можна використовувати компактний запис цих чисел:
Ці числа виникають у задачах комбінаторики, де вони називаються «числом сполучень із по» і дають відповідь на питання: «Скількома способами можна вибратипредметів ізпредметів, якщо не важливий порядок вибору?»
Приклад. Запишемо многочлен по степенях. Відповідно до формулиТейлора маємо:
Тут:
Отже,
§2. Формула Тейлора для довільної функції
I Означення
Розглянемо функцію , що має вточці похідні всіх порядків доп-го включно. Складемо для цієї функції многочлен .(1)
З результатів попереднього параграфа : коефіцієнт при , тобто , повинен рівнятися . Таким чином, многочлен (1) задовольняє співвідношенням:
Оскільки функція не многочлен, то вже не можна очікувати рівності. Однак, через збіг похідних природно очікувати, що. Тому особливий інтересздобуває вивчення різниці
Для похідних цієї функції справедливі співвідношення:
(2)
Для останнього, мабуть, потрібно, щоб у функції існувала похідна-го порядку.
Прийнято наступну термінологію:
1) многочлен (1): – многочленТейлора порядку для функції;
2) формула – формула Тейлора порядку для функціїабо розкладання по формуліТейлора функції ;
3) різниця – залишковий член формулиТейлора. Для різних цілей є різні форми залишкового члена. Формули Тейлора й розрізняють по цих формах. Ми розглянемо лише 2 форми залишкового члена.