Тема формули тейлора й маклорена

Лекція 15

§1. Формула Тейлора для многочлена. Біном Ньютона

Нагадаємо формулу для обчислення похідних (будь-якого порядку) степеневої функції з натуральним показником степені:

За допомогою цієї формули встановимо зв'язок між коефіцієнтами многочлена

(1)

і похідними самого многочлена в нулі. Запишемо многочлена у вигляді

Перший доданок правої частини після k-кратного диференціювання обернеться в нуль, а другий – в Для третього маємо:

У цій сумі всі показники степені . Щоб ця сума звернулася в нуль, досить покласти Отже, одержимо зв'язок: Звідси випливає формула, що виражає коефіцієнти многочлена через похідні самого многочлена:

(2)

Тепер многочлен (1) можна записати у формі

Нагадаємо, що похідна нульового порядку – це сама функція.

Іноді потрібно многочлен (1) записати не по степенях , а по степенях двочлена Неважко переконатися, що в цьому випадку коефіцієнти обчислюються по формулі а сам многочлен можна записати у вигляді

Це і є формула Тейлора для многочлена.

З формули (2) для коефіцієнтів многочлена (1) можна вивести два важливих наслідки.

Наслідок 1. Розглянемо два многочлени

і

Якщо то й звідки одержимо: а) степені многочленів рівні – ; б) коефіцієнти при однакових степенях змінної рівні –

Наслідок 2. Розглянемо многочлен, що представляє собою степінь бінома й запишемо його в стандартній формі (1): .

Коефіцієнти обчислимо по формулі (2):

Отже, ми одержали т.зв. формулу бінома Ньютона:

Числа позначають і називають біноміальними коефіцієнтами. Тому що , можна використовувати компактний запис цих чисел:

Ці числа виникають у задачах комбінаторики, де вони називаються «числом сполучень із по » і дають відповідь на питання: «Скількома способами можна вибрати предметів із предметів, якщо не важливий порядок вибору?»

Приклад. Запишемо многочлен по степенях . Відповідно до формули Тейлора маємо:

Тут:

Отже,

§2. Формула Тейлора для довільної функції

I Означення

Розглянемо функцію , що має в точці похідні всіх порядків до п-го включно. Складемо для цієї функції многочлен .(1)

З результатів попереднього параграфа : коефіцієнт при , тобто , повинен рівнятися . Таким чином, многочлен (1) задовольняє співвідношенням:

Оскільки функція не многочлен, то вже не можна очікувати рівності . Однак, через збіг похідних природно очікувати, що . Тому особливий інтерес здобуває вивчення різниці

Для похідних цієї функції справедливі співвідношення:

(2)

Для останнього, мабуть, потрібно, щоб у функції існувала похідна -го порядку.

Прийнято наступну термінологію:

1) многочлен (1): – многочлен Тейлора порядку для функції ;

2) формула – формула Тейлора порядку для функції або розкладання по формулі Тейлора функції ;

3) різниця – залишковий член формули Тейлора. Для різних цілей є різні форми залишкового члена. Формули Тейлора й розрізняють по цих формах. Ми розглянемо лише 2 форми залишкового члена.