§6. Загальна схема дослідження функції

На практиці для побудови графіка функції іноді діють так: з рівняння знаходять ряд точок графіка й з'єднують ці точки плавною кривою. Однак, при такому методі легко пропустити якісь важливі особливості графіка й припуститися помилки в побудові.

Для побудови графіка функції необхідно дослідити її властивості. Можна запропонувати наступну схему дослідження функції , заданої явно.

1. Знайти область визначення, область неперервності, точки розриву, границі в точках розриву й у граничних точках .

2. Знайти асимптоти графіка функції.

3. Обчислити похідні й і знайти критичні точки першого й другого порядку.

4. Скласти таблицю зміни знака й (до критичних точок варто додати точки розриву й граничні точки ).

5. По знаках знайти інтервали монотонності й точки екстремуму. По знаках знайти інтервали опуклості й точки перегину.

6. Схематично зобразити в таблиці поведінку графіка.

7. Намалювати ескіз графіка.

Зауваження. а) Корисно досліджувати функцію на парність і періо-дичність. Парну й непарну функції досить досліджувати лише для , а періодичну – на будь-якому проміжку, довжина якого дорівнює періоду.

б) Корисно знаходити точки перетинання графіка з осями координат.

в) Для уточнення поводження графіка можна знаходити дотичні в таких точках, як точки перетинання з осями координат, точки перегину; у кутових точках знаходити однобічні дотичні.

Приклад. Дослідити функцію й побудувати графік.

Розв‘язування. 1. , функція всюди неперервна, як елементарна.

2. Вертикальних асимптот немає, тому що немає точок розриву. У прикладі 8 попереднього параграфа було встановлено, що горизонтальних асимптот немає, а пряма є похилої асимптотою при й .

3. Обчислюємо похідні:

Критичні точки першого порядку:

Критичні точки другого порядку:

4. Складаємо таблицю зміни знака похідних і . Перший рядок зображує з відзначеними критичними точками. У другому й третьому рядках відзначені знаки похідних в інтервалах, на яких критичні точки розбивають . Четвертий рядок містить графічне зображення поводження графіка функції.

		0		2		3
	–		+		–		–
	–	не сущ.	–	–	–	не сущ.	+
		т. min		т. max		т. пері-гиба

Графік функції зображений на малюнку

§7. Найбільше й найменше значення функції на проміжку

Нехай функція неперервна на замкнутому проміжку . Одна із властивостей таких функцій: вона досягає на цьому проміжку своїх найбільшого й найменшого значень. Ці значення можуть досягатися як усередині проміжку, так і на його кінцях. Якщо свого найбільшого (найменшого) значення функція досягає у внутрішній точці проміжку, то така точка є точкою локального максимуму (мінімуму), а значить і критичною точкою першого порядку.

Можна запропонувати наступний алгоритм відшукання найбільшого й найменшого значень.

1. Знайти

2. Знайти критичні точки першого порядку й відібрати з них ті, які лежать усередині проміжку .

3. Обчислити значення функції в точках, отриманих у попередньому пункті, а також на кінцях відрізка.

4. З ряду чисел, отриманих у попередньому пункті, вибрати найбільше й найменше: вони і є відповідно найбільшим і найменшим значеннями функції на проміжку .

Приклад 1. Знайдемо найбільше й найменше значення функції на проміжку

Розв‘язування. 1) Знаходимо похідну:

2) Знаходимо критичні точки. У цьому випадку – це тільки рішення рівняння , тому що похідна існує всюди:

3) Обчислюємо значення функції:

4)

Зауваження. У випадку дослідження функції , неперервної на відкритому проміжку , замість значень і обчислюють однобічні межі , .

Розглянемо два приклади, у яких доводиться знаходити найменше або найбільше значення деяких функцій. Втім, найчастіше інтерес представляють не стільки самі ці значення, а ті значення аргументу, які доставляють їх функції.

Приклад 2. Із квадратної жерстини зі стороною , вирізуючи по кутах рівні квадрати й згинаючи краї, роблять прямокутну відкриту зверху коробку. Як одержати коробку найбільшого об'єму?

Розв‘язування. Позначимо сторону квадрата, що вирізується, через . Тоді основа коробки – це квадрат зі стороною і її об'єм , при цьому змінюється в проміжку . Питання звелося до знаходження найбільшого значення функції на зазначеному проміжку:

1)

2)

3)

4) Найбільша місткість коробки вийде, якщо сторона квадрата, що вирізується, становить частину сторони вихідного.

Приклад 3. Через фіксовану точку усередині кута провести пряму, що відтинає від кута трикутник найменшої площі.

Розв‘язування.

Нехай і – точки перетинання шуканої прямої зі сторонами кута. Потрібно мінімізувати площа .

Проведемо відрізки й . Їхні довжини позначимо через і відповідно (це фіксовані числа, тому що точка фіксована). Як аргумент функції, що мінімізується, візьмемо довжину відрізка . Очевидно, . З подоби й маємо: Площу трикутника обчислюємо по формулі

Отже, шукана функція має вигляд: де

1)

2)

3) Через те, що при й функція , то в єдиній критичній точці (з області визначення функції) маємо мінімум.

4) Найменше значення площа трикутника приймає при , тобто пряму треба проводити так, щоб відрізок (і ) був середньою лінією . Інакше кажучи, пряму через точку треба проводити так, щоб її відрізок, розташований між сторонами кута, ділився в точці навпіл.