§12. Наибольшее и наименьшее значения функции в области

Известно, что, если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она достигает своего наибольшего и наименьшего значения. Если, кроме того, функция имеет внутри области частные производныето эти значения она достигает либо внутри облати в стационарных точках, либо на гра-нице области.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области, ограниченной линиями:

Решение. 1) находим стационарные точки внутри области :

–стационарная точка

2) Рассмотрим функцию на границе области.

2.1) Это линейная функция, свои наибольшее и наименьшее значение достигает на концах промежутка:иИмеем еще две точки подлежащие исследованию:и.

2.2) Эта функция также линейная, поэтому имеем еще две точки:и.

2.3) Эта функция одной пе-ременной достигает наибольшего и наименьшего значения либо внутри проме-жуткав точке, где, либо на концах промежутка. Производнаяобращается в ноль в точкахИтак, имеем еще точ-ки:,и.

3) Вычисляем значения функции в найденных “подозрительных” точках и выбираем из полученного ряда чисел наибольшее и наименьшее:

Лекция 21

§13. Производная по направлению. Градиент

I Производная по направлению

В одномерном случае производная функции характеризует скорость изменения функции в данной точке в направлении оси. В двумерном случае частные производные функциихарактеризуют то же самое в направлении координатных осей.

Естественно поставить вопрос о скорости изменения функции в направлении произвольной оси.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точкии пусть осьзадана угламии, которые она составляет с осями координат. Ось удобно задавать её ортом:. Будем считать, что ось проходит через точкуи пусть точка– произвольная точка, лежащая на оси. Тогда, т.е..

Определение 1.Пусть точканеограниченно приближается к точкевдоль оси. Предел вида

(1)

называется производной функции по направлению осив точкеи обозначается одним из символов

, ,.

Теорема 1.Пусть функцияимеет в некоторой окрестности точкинепрерывные частные производные первого порядка и пусть осьобразует с осями координат углыи. Тогда производная данной функции по направлению осив точкесуществует и выражается формулой

. (2)

Доказательство.Пусть– текущая точка оси. Так как, аи в силу того, что, будем иметь:

То есть, координаты текущей точки есть функции параметра. Тогда:

,

и из (1) имеем:

. (3)

Последний предел есть производная функции в нуле. Производная же сложной функциисуществует, ибоимеет непрерывные производные, а её аргументыи– дифферен-цируемы, при этом:

.

Рассмотрим последнее равенство при и получим

.

Теперь формула (3) и доказывает теорему.

Замечание.В случае функции трёх переменныхи оси, имеющей ортформула (2) приобретает вид

.

Пример.Вычислить производную функциив точкепо направлению вектора, где.

Решение.Найдём единичный вектор, имеющий данное направление:

, ,,

откуда ,. Далее, вычислим частные производные данной функции в точке:,, откуда,. Теперь по формуле (2) получим

.