Тема Функции нескольких переменных

Лекция 17

§1. Евклидово пространство: точки, множества, сходимость

I Точки, множества

Определение 1. Назовем m-мерной точкой упорядоченный набор из m произвольных вещественных чисел х₁, х₂, … х^m. Обозначения : М(х₁, х₂, … х^m) или Множество всех мыслимых m-мерных точек называют m-мерным эвклидовым пространством, если расстояние между точками М(х_k) и N(у_k) определяется по формуле

Обозначения : R^m или E^m. Числа х_k, k = 1,2…m, называют координатами точки М(х_k), а точку О(0,0,…0) – началом координат.

_{Частными случаями евклидова пространства являются R}² _{(плоскость) и R}³ _{(обычное пространство). Формула (1) является естественным обобщением известных формул для расстояния между двумя точками на плоскости и в пространстве.}

_{Для классификации точек и множеств в R}^m _{важную роль играет понятие окрестности.}

Определение 2. ε-окрестностью точки М₀ называют множество точек вида

. В R¹ – это интервал (x₀ – ε, x₀ + ε), в R² – внутренность круга, с центром в М₀ и радиусом ε, а в R³ – внутренность сферы с центром в М₀, и радиусом ε.

Определение 3. Точка М₀ называется внутренней точкой множества G R^m, если существует ε такое, что О(ε,М₀) G. Точка М₀ называется граничной точкой множества G, если всякая ее ε-окрестность содержит как точки, принадлежащие G, так и точки не принадлежащие G.

Определение 4. Множество точек называется открытым, если все его точки внутренние. Множество точек называют замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.

Примером открытого множества может служить ε-окрестность. Замкнутым множеством в R² есть, например, прямоугольник {(х,у) : 0 ≤ х ≤ a, 0 ≤ y ≤ b}. Все пространство R^m и пустое множество ø являются и открытыми и замкнутыми одновременно.

Определение 5. Множество точек называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной линией, которая состоит из точек данного

множества.

Например, в R² круг – это связное множество, а множество, состоящее из двух непересекающихся кругов, не является связным.

Определение 6. Открытое связное множество называется открытой областью или, короче говоря, областью. Объединение открытой области со всеми ее граничными точками называется замкнутой областью.

Можно доказать, что замкнутая область есть замкнутое множество.

Определение 7. Множество точек G R^m называется ограниченным, если целиком содержится в некотором m-мерном “шаре”:

G {M: d(О, M) ≤ R}.

Ограниченными являются m-мерный “параллелипипед” (замкнутый):

{M(x_k): a_k ≤ x_k ≤b_k , k = 1,2,…m}

и m-мерный “симплекс”(открытый):

{M(x_k): x₁ + x₂ +…+ x_m< a, x_k > 0,k = 1,2…m}.

Отметим для будущего, что ограниченная замкнутая область для функции нескольких переменных является аналогом замкнутого промежутка для функции одной переменной.

.

II Сходимость

Рассмотрим в R^m последовательность точек

{M_n(x₁ⁿ, x₂ⁿ,…, x_mⁿ)}, n = 1,2 … .

Определение 8. Говорят, что последовательность{M_n} сходится к точке М₀(а₁, а₂,… а_m) и пишут если

Из формулы (1), определяющей расстояние между точками в R^m, нетрудно получить такое утверждение:

cходимость {M_n} к M₀ равносильна сходимости последовательностей {x_kⁿ} к а_k, k = 1,2,…m. Другими словами, сходимость точек в R^m покоординатная.

Например, последовательность двумерных точек М_n сходится к точке М₀(0,1).