II Градиент

Определение 2.Вектор, проекциями которого служат частные производные функции, называется градиентом функции

.

Для функции трёх переменных :

.

Связь градиента с производной по направлению даётся следующей теоремой.

Теорема 2.Производная функции по направлению есть проекция её градиента на это направление:

.

Доказательство.Проекция вектора на ось – это проекция вектора на орт оси. Проекцию же вектора на вектор можно найти, используя скалярное произведение:

.

Учитывая, что и, причём, получим:

.

Правая часть этого равенства в силу Теоремы 1 есть производная по направле-нию. Теорема доказана.

Следствие 1.Производная функциив точкепо направлению осидостигает максимума, когда это направление совпадает с градиентом функции, причём

.

Таким образом, градиент функции в данной точке характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания функции в данной точке.

Следствие 2.Производная функции по направлению, перпендикулярному её градиенту, равна нулю.

III Линии и поверхности уровня

Очень часто, чтобы яснее представить себе график функции (т.е. некоторую поверхность) используют т.н. линии уровня.

Определение 2.Линией уровня функцииназывают линию (в области определения), вдоль которой функция принимает постоянное значение, т.е. линию, уравнение которой имеет вид, где– константа.

Например, для функции , линии уровня – это два семейства (и) сопряжённых гипербол, а так же биссектрисы координатных углов ().

Для функции трёх переменных аналогично вводится понятие поверхности уровня, т.е. поверхности, определяемой уравнением

.

Следствие 3.Градиент функции в заданной точке перпендикулярен линии (поверхности) уровня функции, проходящей через эту точку, т.е. направлен по нормали к линии (поверхности) уровня.

Доказательство.(Для функции двух переменных). Рассмотрим уравнение линии уровня функции:

.

Это уравнение определяет неявную функцию и её производная имеет вид:. Уравнение нормали к графикув точке:

.

В нашем случае: . Это уравнение легко переписать в канонической форме:

.

Из которой следует, что направляющий вектор нормали . Это и означает, что градиент функции направлен по нормали к линии уровня этой функции.

Пример.Для функциилинии уровня :– это семейство эллипсов

.

Проверим, что семейство парабол пересекает все эти эллипсы под прямым углом. Дифференцируем уравнение эллипсов по:

Отсюда угловой коэффициент касательной к эллипсу (в произвольной точке):

.

Для параболы тот же коэффициент имеет вид:

.

Пусть – точка пересечения какого-либо эллипса с некоторой параболой. Тогдаи произведение угловых коэффициентов касательных в этой точке:

.

Отсюда следует, что касательные перпендикулярны, т.е. рассмотренные семейства взаимно-перпендикулярны. Градиент функции в точкенаправлен по касательной к той параболе из семейства, которая проходит через, причём в сторону вершины параболы, ибо начало координат – это абсолютный максимум данной функции.

Одна интерпретация полученного результата. Поверхность, определяемая рассмотренной функции, – это эллиптический параболоид с вершиной в точке , расположенный ниже плоскости. Потоки воды с такой поверхности стекают по траекториям, проекциями которых служат параболы семейства.