- •Тема Функции нескольких переменных
- •§1. Евклидово пространство: точки, множества, сходимость
- •I Точки, множества
- •II Сходимость
- •§2. Определение функции нескольких переменных
- •§3. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность
- •2. Рассмотрим функцию и последовательность точек
- •§4. Частные производные
- •§5. Дифференцируемость и полный дифференциал
- •§6. Производные сложных функций
- •§7. Сущестование и дифференцируемость неявной функции
- •§8. Касательная к кривой в пространстве
- •I Вектор-функция и ее производная
- •II Физический смысл производной вектор-функции
- •III Уравнения касательной
- •§9. Касательная плоскость к поверхности
- •§10. Производные высших порядков
- •§11. Экстремумы функции нескольких переменных
- •§12. Наибольшее и наименьшее значения функции в области
- •§13. Производная по направлению. Градиент
- •I Производная по направлению
- •II Градиент
- •III Линии и поверхности уровня
- •§14. Метод наименьших квадратов
- •I Постановка задачи и суть метода
- •II Одно полезное неравенство
- •III Исследование системы нормальных уравнений
§2. Определение функции нескольких переменных
Определение 1. Если каждой m-мерной точке М(х1, х2, … хm) из некоторого множества D Rm поставлено в соответствие по некоторому правилу одно определенное число u, то говорят, что на D задана функция n переменных и пишут: u = F(x1, x2,… xn) или u = u(M).
Примером такой функции может служить среднее арифметическое коорди- нат точки:
.
Можно дать и другое, более прозрачное, определение функции, например, двух переменных.
Определение 2. Пусть x, y, z – переменные величины. Если каждой паре возможных значений независимых переменных х и у поставлено в соответствие по некоторому правилу одно определенное значение переменной z, то говорят, что z – есть функция х и у, и пишут: z = f(x, y), или z = z(x, y), или z = z (M), где М(х, у).
Основной способ задания ФНП – аналитический в явной или неявной форме:
z = x2 + y2 , x2 + y2 + z2 = R2.
Если функция f(M) задана на множестве D Rm, то это множество называют областью определения функции. Например, для функции имеем:
,
а для функции –
График функции двух переменных z = z(x,y) – это поверхность в пространстве R3 : .
§3. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность
Для простоты впредь будем рессматривать функции двух переменных.
Определение 1. Число b называют пределом функции z = z(x,y) в точке М0(х0,у0) и пишут
,
если для любой последовательности точек сходящейся к точке
M0 (т.е xn→x0, yn→y0), имеем
.
Все свойства и теоремы о пределах функций одной переменной остаются справедливы и для ФНП. Правда, для ФНП нет понятия односторонних пределов.
Примеры.
1. Так как sinα ~ α, при α → 0, то
.
2. Рассмотрим функцию и последовательность точек
, сходящаяся к началу координат O(0,0). Соответствующая последовательность значений функции
имеет предел, зависящий от последовательности {Mn}. Следовательно, предел функции в начале координат не существует.
Определение 2. Функция z(x,y) называется непрерывной в точке , если
. (1)
Определение 3. Функция z (x,y) называется непрерывной в области G, если она непрерывна в каждой точке .
Свойства ФНП, непрерывной в ограниченной замкнутой области, аналогичны свойствам функции одной переменной, непрерывной на замкнутом промежутке. Приведем некоторые из них.
1) Функция z(х,y), непрерывная в ограниченной замкнутой области, ограничена в, и достигает наибольшего и наименьшего значений.
2) Если z(х,y), то в некоторой окрестности точки функция сохраняет знак.
Замечание. Соотношению (1), определяющему непрерывность функции в точке, можно придать другую форму.
Будем называть полным приращением функции z(x,y) в точке
разность:
Если обозначить то нетрудно получить утверждение:
непрерывность функции z(x,y) в точке равносильна равенству
.
Лекция 18
§4. Частные производные
Пусть функция z(x,y) определена в некоторой окрестности точки . Придадим переменнойx приращение , т.е. перейдем от точкик точке. При этомтаково, чтолежит в указанной окрестности точки. Тогда соответствующее приращения функции
называется частным приращением функции z(x,y) в точке .
Аналогично определяется частное приращение функции по переменной :
.
Определение. Предел вида называется частной производной функцииz(x,y) в точке по переменнойи обозначается одним из символов:
.
Аналогично определяется и частная производная по переменной :
.
Из определения следует, что частная производная функции двух переменных по переменной представляет собой обычную производную функции одной переменнойf(x) = z(x,y0). Поэтому частные производные вычисляются по формулам и правилам вычисления производных функций одной переменной.
Примеры.
1.
2.
Замечание. График функции z = z(x,y) есть некоторая поверхность в пространстве. Тогда
–
это некоторая кривая (плоская) в пространстве и естьне что иное, как угловой коэффициент касательной к L в точке ().