- •Тема Функции нескольких переменных
- •§1. Евклидово пространство: точки, множества, сходимость
- •I Точки, множества
- •II Сходимость
- •§2. Определение функции нескольких переменных
- •§3. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность
- •2. Рассмотрим функцию и последовательность точек
- •§4. Частные производные
- •§5. Дифференцируемость и полный дифференциал
- •§6. Производные сложных функций
- •§7. Сущестование и дифференцируемость неявной функции
- •§8. Касательная к кривой в пространстве
- •I Вектор-функция и ее производная
- •II Физический смысл производной вектор-функции
- •III Уравнения касательной
- •§9. Касательная плоскость к поверхности
- •§10. Производные высших порядков
- •§11. Экстремумы функции нескольких переменных
- •§12. Наибольшее и наименьшее значения функции в области
- •§13. Производная по направлению. Градиент
- •I Производная по направлению
- •II Градиент
- •III Линии и поверхности уровня
- •§14. Метод наименьших квадратов
- •I Постановка задачи и суть метода
- •II Одно полезное неравенство
- •III Исследование системы нормальных уравнений
§5. Дифференцируемость и полный дифференциал
Напомним, что полным приращением функции в точке
называют разность
Определение 1. Функция называется дифференцируемой в точке, если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде:
где А, В – некоторые числа, независящие от , аα и β – бесконечно малые при
Теорема 1. Если функция дифференцируема в точке, то: 1) она непрерывна в этой точке; 2) она имеет в этой точке конечные производ- ные, причем.
Доказательство первого утверждения сразу следует из (1) и замечания к §3. Для доказательства второго утверждения положим в (1) тогдаРазделив обе части равенства наи устремляяк нулю, получим:
т. е.
Аналогично доказывается и
В отличие от функций одной переменной (для которых дифференциру-емость равносильна существованию конечной производной), для функций нескольких переменных из существования частных производных не следует непрерывность и дифференцируемость. Это доказывается следующим примеров.
Пример. Рассмотрим функцию
Вычислим производную по в начале координат:
.
Аналогично В то же время эта функция не является непрерывной (а следовательно, является недифференцируемой) в начале координат, ибо ее предел в этой точке не существует (см. пример 2§3).
Таким образом, функция имеет конечные производные в точке, но не является непрерывной в этой точке. Эта ситуация связана с тем, что существование частных производных в точкеопределяется поведением функции на прямыха непрерывность зависит от поведения функции во всей окрестности точкиМ0.
Примем без доказательства теорему, устанавливающую достаточные усло-вия дифференцируемости.
Теорема 2. Если функция имеет частные производные в некото-рой окрестности точки и эти производные непрерывны в самой точке, то функция дифференцируема в точке.
Определение 2. Главная часть полного приращения дифференцируемой функции, линейная относительно приращений аргументов, называется полным дифференциалом функции и обозначается символом :
Если договорится считать дифференциалами независимых переменных их приращения, то формула (2) примет вид:
Обозначим: это расстояние между точкамии. Очевидно, что стремлениек нулю равносильно одновременному стремлению к нулю приращенийи. Формулу (1) можно теперь переписать в виде
Отсюда при малых иполучим приближенную формулу
,
которая используется в приближенных вычислениях.
Замечание. С геометрической точки зрения, дифференцируемость функции вточке означает наличие касательной плоскости к графи-ку функции в точке(см. ниже §8).
§6. Производные сложных функций
Приведем без доказательства ряд формул дифференцирования сложных функций. Все встречающиеся функции одной или нескольких переменных считаем дифференцируемыми.
1. Если то
2. Если , ато для сложной функции одной переменнойz(u(x),v(x)) имеем
или используя другие обозначения,
В частности, если а, то
В этом случае производную называют полной производной, в отличие от– частной производной.
3. Если , аи, то для сложной функции двух переменныхимеем:
(3)
Замечание 1. Формулы (1), (2), (3) легко обобщаются на случай функций трех и более переменных.
Замечание 2. Формулы (1), (2), (3) необходимы в теории для получения других важных результатов. На практике в случае конкретных функций нетрудно исключить зависимость функции от промежуточных переменных. Например, если
а и, токак функцияимеет вид