- •Тема исследование функций с помощью производных
- •§1. Условие постоянства функции
- •§2. Условие монотонности функции
- •§3. Исследование функции на экстремум
- •§4. Исследование функции на выпуклость и перегиб
- •I Направление выпуклости (вогнутости)
- •II Точки перегиба
- •§5. Асимптоты графика функции
- •I Вертикальные асимптоты
- •II Горизонтальные асимптоты
- •III Наклонные асимптоты
- •§6. Общая схема исследования функции
- •§7. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке
- •Тема формулы тейлора и маклорена
- •§1. Формула Тейлора для многочлена. Бином Ньютона
- •§2. Формула Тейлора для произвольной функции
- •I Определения
- •II Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
- •III Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
- •§3. Формула Маклорена. Оценка Rn(X)
- •I Формула Маклорена
- •II Универсальная оценка остаточного члена
- •§4. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций
- •§5. Приложения формулы Маклорена
- •I Вычисление пределов
- •II Приближённые вычисления
- •Iiі Исследование функций
II Приближённые вычисления
Как уже отмечалось, остаточный член формулы Тейлора – это погрешность приближённого равенства , где – многочлен Тейлора для функции . С оценкой этой погрешности (см. §3) связаны следующие задачи.
А) Какова погрешность приближённой формулы если изменяется в промежутке
В силу пункта II, §4, для п=3имеем
.
Искомая погрешность не превосходит 0,0025.
В) Какой многочлен Тейлора для функции обеспечит в промежутке погрешность
В силу пункта III, §4, имеем
Учитывая, что , для нахождения порядка многочлена , получаем неравенство т.е. .
Подбором получим:
Итак, п=3и искомый многочлен имеет вид:
С) В каком промежутке изменения приближённая формулаобеспечит погрешность
Как и в задаче А) имеем неравенство или .
Итак, искомый промежуток изменения х – это .
Iiі Исследование функций
Теорема (третье достаточное условие экстремума и точки перегиба). Пусть функция имеет в точкепроизводные доп-го порядка включительно, причём Тогда:
1) если – чётное число, то– точка экстремума (точка минимума прии точка максимума при);
2) если – нечётное число, то для графика функции точкаявляется точкой перегиба.
Доказательство. Из условий теоремы следует, что
Эту формулу легко преобразовать к виду
Второе слагаемое в скобках (по смыслу символа ) стремится к нулю при, а первое – это некоторое число, отличное от нуля. Поэтому для малых значений знак скобки совпадает со знаком.
Если число – чётное, тои знакне влияет на знак, т.е.– точка экстремума. При этом, еслито и, значит– точка минимума, а еслито ии– точка максимума.
Если число – нечётное, то знакзависит от знака. Кроме того, в силу условиякасательная к графику функции в точке– горизонтальная. Следовательно, график слева и справа от этой точки находится по разные сторон от касательной, т.е. в этой точке график имеет перегиб.
Пример 3. Для функции точкаявляется стацио-нарной, ибоДалее:
Так как первая, не обратившаяся в ноль производная, чётного порядка, то ноль – точка экстремума, а именно точка минимума, ибо .