II Приближённые вычисления
Как уже
отмечалось, остаточный член формулы
Тейлора – это погрешность приближённого
равенства
,
где
– многочлен Тейлора
для функции
.
С оценкой этой погрешности
(см. §3) связаны
следующие задачи.
А) Какова
погрешность приближённой формулы
если
изменяется в
промежутке
В силу пункта II, §4, для п=3 имеем
.
Искомая погрешность не превосходит 0,0025.
В) Какой
многочлен Тейлора для функции
обеспечит в
промежутке
погрешность
В силу пункта III, §4, имеем
Учитывая, что
,
для нахождения порядка многочлена
,
получаем неравенство
т.е.
.
Подбором получим:
Итак, п=3 и искомый многочлен имеет вид:
С) В каком
промежутке изменения
приближённая формула
обеспечит погрешность
Как и в задаче
А) имеем неравенство
или
.
Итак, искомый
промежуток изменения х
– это
.
Iiі Исследование функций
Теорема
(третье достаточное условие экстремума
и точки перегиба). Пусть функция
имеет в точке
производные до п-го
порядка включительно, причём
Тогда:
1) если
– чётное число, то
– точка экстремума (точка минимума при
и точка максимума при
);
2) если
– нечётное число, то для графика функции
точка
является точкой перегиба.
Доказательство.
Из условий теоремы следует, что
Эту формулу легко
преобразовать к виду
Второе слагаемое
в скобках (по смыслу символа
)
стремится к нулю при
,
а первое – это некоторое число, отличное
от нуля. Поэтому для малых значений
знак
скобки совпадает со знаком
.
Если число
– чётное, то
и знак
не влияет на знак
,
т.е.
– точка экстремума. При этом, если
то и
,
значит
– точка минимума, а если
то и
и
– точка максимума.
Если число
– нечётное, то знак
зависит от знака
.
Кроме того, в силу условия
касательная к графику функции в точке
– горизонтальная. Следовательно, график
слева и справа от этой точки находится
по разные сторон от касательной, т.е. в
этой точке график имеет перегиб.
Пример
3. Для
функции
точка
является стацио-нарной, ибо
Далее:
Так как первая, не
обратившаяся в ноль производная, чётного
порядка, то ноль – точка экстремума, а
именно точка минимума, ибо
.