II Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

Теорема 1. Пусть функция имеет в точкепроизводные доп-го порядка включительно. Тогда для остаточного члена имеет место равенство

при

Доказательство. Прежде всего, заметим, что существование производных означает следующее: функцияимеет производные до-го порядка в некоторой окрестности точки, и имеет производнуюп-го порядка в самой точке .

Для доказательства теоремы достаточно показать, что

В силу соотношений (2) к этому пределу можно () раз применить правило Бернулли–Лопиталя:

Учитывая все те же соотношения (2), последний предел можно записать как

Но этот предел есть не что иное как определение производной функции в точке , т.е. он равен . Но в силу (2) эта производная равна . Итак

Теорема доказана.

Выпишем формулу Тейлора с учётом доказанной теоремы:

(3)

Замечание 1. Форма Пеано остаточного члена полезна при использовании формулы Тейлора для вычисления пределов.

Замечание 2. Формула (3) является естественным обобщением формулы бесконечно малых приращений (тема «Производная», §4), которую можно записать так: она получается из (3) прип = 1.

III Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

Приведём без доказательства следующую теорему.

Теорема 2. Пусть функция имеет в некотором промежутке, содержащем точку , производные до -гопорядка включительно. Тогда для любого из этого промежутка найдётся точка такая, что

Замечание 1. Форма Лагранжа остаточного члена используется в тех случаях, когда требуется приближённо вычислить при фиксированном значении, отличном от . Остаточный член в этой форме напоминает следующий, очередной, член формулы Тейлора, лишь только вычисляется не в точке , а в некоторой точке между и .

Выпишем формулу Тейлора с учётом теоремы 2:

§3. Формула Маклорена. Оценка Rn(X)

I Формула Маклорена

Формулу Тейлора в частном случае, когда ,принято называть формулой Маклорена. Запишем эту формулу для произвольной функции .

Здесь остаточный член имеет вид:

а) в форме Пеано

б) в форме Лагранжа

II Универсальная оценка остаточного члена

Остаточный член (вернее, его абсолютная величина) есть не что иное как погрешность, возникающая при замене функции её многочленом Тейлора. Именно для успешного применения формулы Тейлора в приближённых вычислениях и нужна оценка остаточного члена. Такая оценка даётся следующей теоремой.

Теорема. Пусть функция имеет в промежутке производные всех порядков, которые равномерно ограничены в совокупности, т.е. существует число такое, что Тогда для , имеем универсальную оценку:

(1)

Эта оценка сразу следует из формы Лагранжа остаточного члена и из условий теоремы.

В §6 темы «Введение в математической анализ» было доказано, что для .

Если , то и этот предел тем более равен 0. Отсюда вытекает, что, выбирая достаточно большой номер , мы можем сделать правую часть (1) меньше любого положительного числа. Это даёт нам возможность применять формулу Маклорена для приближённого вычисления функций (удовлетворяющих условиям теоремы) с любой наперёд заданной точностью.

Лекция 16