§6. Общая схема исследования функции

На практике для построения графика функции иногда поступают так: из уравнениянаходят ряд точек графика и соединяют эти точки плавной кривой. Однако, при таком методе легко пропустить какие-то важные особенности графика и допустить ошибку в построении.

Для построения графика функции необходимо исследовать её свойства. Можно предложить следующую схему исследования функции , заданной явно.

1. Найти область определения, область непрерывности, точки разрыва, пре-делы в точках разрыва и в граничных точках .

2. Найти асимптоты графика функции.

3. Вычислить производные ии найти критические точки первого и второго порядка.

4. Составить таблицу изменения знака и(к критическим точкам следует добавить точки разрыва и граничные точки).

5. По знакам найти интервалы монотонности и точки экстремума. По знакамнайти интервалы выпуклости и точки перегиба.

6. Схематически изобразить в таблице поведение графика.

7. Нарисовать эскиз графика.

Замечания. а) Полезно исследовать функцию на четность и перио-дичность. Чётную и нечетную функции достаточно исследовать лишь для , а периодическую – на любом промежутке, длина которого равна периоду.

б) Полезно находить точки пересечения графика с осями координат.

в) Для уточнения поведения графика можно находить касательные в таких точках, как точки пересечения с осями координат, точки перегиба; в угловых точках находить односторонние касательные.

Пример. Исследовать функцию и построить график.

Решение. 1. , функция всюду непрерывная, как элемен-тарная.

2. Вертикальных асимптот нет, так как нет точек разрыва. В примере 8 предыдущего параграфа было установлено, что горизонтальных асимптот нет, а прямая является наклонной асимптотой прии.

3. Вычисляем производные:

Критические точки первого порядка:

Критические точки второго порядка:

4. Составляем таблицу изменения знака производных и. Первая строка изображаетс отмеченными критическими точками. Во второй и третьей строках отмечены знаки производных в интервалах, на которые критические точки разбивают. Четвёртая строка содержит графическое изображение поведения графика функции.

		0		2		3
	–		+		–		–
	–	не сущ.	–	–	–	не сущ.	+
		т. min		т. max		т. пере-гиба

График функции изображён на рисунке

§7. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке

Пусть функция непрерывна на замкнутом промежутке. В силу одного из свойств таких функций она достигает на этом промежутке своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения могут достигаться как внутри промежутка, так и на его концах. Если своего наибольшего (наименьшего) значения функция достигает во внутренней точке промежутка, то такая точка является точкой локального максимума (минимума), а значит и критической точкой первого порядка.

Можно предложить следующий алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений.

1. Найти

2. Найти критические точки первого порядка и отобрать из них те, которые лежат внутри промежутка .

3. Вычислить значения функции в точках, полученных в предыдущем пункте, а также на концах отрезка.

4. Из ряда чисел, полученных в предыдущем пункте, выбрать наибольшее и наименьшее: они и являются соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции на промежутке.

Пример 1. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке

Решение. 1) Находим производную:

2) Находим критические точки. В данном случае – это только решения уравнения , т.к. производная существует всюду:

3) Вычисляем значения функции:

4)

Замечание. В случае исследования функции , непрерывной на открытом промежутке, вместо значенийивычисляют односторонние пределы,.

Рассмотрим два примера, в которых приходится находить наименьшее или наибольшее значения некоторых функций. Впрочем, чаще всего интерес представляют не столько сами эти значения, а те значения аргумента, которые доставляют их функции.

Пример 2. Из квадратного листа жести со стороной , вырезая по углам равные квадраты и сгибая края, составляют прямоугольную открытую сверху коробку. Как получить коробку наибольшего объёма?

Решение. Обозначим сторону вырезаемого квадрата через . Тогда основание коробки – это квадрат со сторонойи её объём, при этомизменяется в промежутке. Вопрос свёлся к нахождению наибольшего значения функциина указанном промежутке:

1)

2)

3)

4) Наибольшая вместимость коробки получится, если сторона вырезаемого квадрата составляет часть стороны исходного.

Пример 3. Через фиксированную точку внутри угла провести прямую, отсекающую от угла треугольник наименьшей площади.

Решение.

Пусть и– точки пересечения искомой прямой со сторонами угла. Требуется минимизировать площадь.

Проведём отрезки и. Их длины обозначим черезисоответственно (это фиксированные числа, ибо точкафиксированная). В качестве аргументаминимизируемой функции возьмём длину отрезка. Очевидно,. Из подобияиимеем:Площадь треугольника вычисляем по формуле

Итак, минимизируемая функция имеет вид: где

1)

2)

3) Так как при ифункция, то в единственной критической точке (из области определения функции) имеем минимум.

4) Наименьшее значение площадь треугольника принимает при, т.е. прямуюнадо проводить так, чтобы отрезок(и) был средней линией. Другими словами, прямую через точкунадо проводить так, чтобы отрезок, заключённый между сторонами угла, делился в точкепополам.