- •Тема исследование функций с помощью производных
- •§1. Условие постоянства функции
- •§2. Условие монотонности функции
- •§3. Исследование функции на экстремум
- •§4. Исследование функции на выпуклость и перегиб
- •I Направление выпуклости (вогнутости)
- •II Точки перегиба
- •§5. Асимптоты графика функции
- •I Вертикальные асимптоты
- •II Горизонтальные асимптоты
- •III Наклонные асимптоты
- •§6. Общая схема исследования функции
- •§7. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке
- •Тема формулы тейлора и маклорена
- •§1. Формула Тейлора для многочлена. Бином Ньютона
- •§2. Формула Тейлора для произвольной функции
- •I Определения
- •II Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
- •III Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
- •§3. Формула Маклорена. Оценка Rn(X)
- •I Формула Маклорена
- •II Универсальная оценка остаточного члена
- •§4. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций
- •§5. Приложения формулы Маклорена
- •I Вычисление пределов
- •II Приближённые вычисления
- •Iiі Исследование функций
Тема формулы тейлора и маклорена
Лекция 15
§1. Формула Тейлора для многочлена. Бином Ньютона
Напомним формулу для вычисления производных (любого порядка) степенной функции с натуральным показателем степени:
С помощью этой формулы установим связь между коэффициентами многочлена пой степени
(1)
и производными самого многочлена в нуле. Запишем многочлен в виде
Первое слагаемое правой части после k–кратного дифференцирования обратится в ноль, а второе – в . Для третьего слагаемого имеем:
В этой сумме все показатели степени . Чтобы эта сумма обратилась в ноль, достаточно положить Итак, получим связь:
Отсюда вытекает формула, выражающая коэффициенты многочлена через производные самого многочлена:
(2)
Теперь многочлен (1) можно записать в форме
Напомним, что производная нулевого порядка – это сама функция.
Иногда требуется многочлен (1) записать не по степеням , а по степеням двучленаНетрудно убедиться, что в этом случае коэффициенты вычисляются по формулеа сам многочлен можно записать в виде
Это и есть формула Тейлора для многочлена.
Из формулы (2) для коэффициентов многочлена (1) можно вывести два важных следствия.
Следствие 1. Рассмотрим два многочлена
и
Если то иоткуда получим: а) степени многочленов равные –; б) коэффициенты при одинаковых степенях переменной равные –
Следствие 2. Рассмотрим многочлен, представляющий собой степень биномаи запишем его в стандартной форме (1):
Коэффициенты вычислим по формуле (2):
Итак, мы получили т.н. формулу бинома Ньютона:
Числа обозначают и называют биномиальными коэффициентами. Так как , можно использовать компактную запись этих чисел:
Это число возникают в задачах комбинаторики, где они называются «числом сочетаний из по» и дают ответ на вопрос: «Сколькими способами можно выбратьпредметов изпредметов, если не важен порядок выбора?»
Пример. Запишем многочлен по степеням. В соответствии с формулой Тейлора имеем:
Здесь:
Итак,
§2. Формула Тейлора для произвольной функции
I Определения
Рассмотрим функцию , которая имеет в точкепроизводные всех порядков доп-го включительно. Составим для этой функции многочлен .(1)
Из результатов предыдущего параграфа следует, что коэффициент при , т.е. , должен равняться . Таким образом, многочлен (1) удовлетворяет соотношениям:
Поскольку функция не многочлен, то уже нельзя ожидать равенства. Однако, из-за совпадения производных естественно ожидать, что. Поэтому особый интерес приобретает изучение разности
Для производных этой функции справедливы соотношения:
(2)
Для последнего, очевидно, требуется, чтобы у функции существовала производная-го порядка.
Принята следующая терминология:
1) многочлен (1): – многочлен Тейлора порядкадля функции;
2) формула – формулаТейлора порядка для функцииили разложение по формуле Тейлора функции;
3) разность – остаточный член формулы Тейлора. Для разных целей имеются различные формы остаточного члена. Формулы Тейлора и различают по этим формам. Мы рассмотрим лишь 2 формы остаточного члена.