Перестановки з повторенням

Задача. Слово - будь-яка кінцева послідовність букв російського алфавіту. Скільки різних слів можна скласти зі слова КОЛОБОК, якщо необхідно використати всі букви?

Рішення.

У слові є 3 букви О, дві букви К и ще 2 різних букви. По формулі перестановок з повтореннями одержуємо: Р( 1, 1, 2, 3) =.

Розміщення

Задача.Автомобільні номери деякої країни складаються з 3 букв (всі букви різні) і чотирьох цифр (цифри можуть повторюватися). Скільки максимально машин може бути в цій країні, якщо в її алфавіті 26 букв?

Рішення. Число комбінацій по 3 букви з даних 26, за умови, що букви не можуть повторюватися, визначимо за допомогою формули для обчислення кількості розміщень без повторень: =262524=15 600. Число комбінацій по 4 цифри з даних 10, якщо в комбінацію можуть входити однакові цифри, знайдемо за допомогою формули для обчислення кількості розміщень із повтореннями: =10⁴. Тоді за правилом добутку різних автомобільних номерів – =1560010⁴=15610⁶.

Задача.У класі вивчається 14 предметів. Скількома способами можна скласти розклад занять на суботу, якщо в цей день тижня повинні бути 5 різних уроків?

Рішення: Різних способів складання розкладу, мабуть, стільки, скільки існує п’ятиелементних упорядкованих підмножин у чотирнадцятиелементній множині.

Отже, число способів дорівнює числу розміщень із 14 елементів по 5, тобто дорівнює А⁵₁₄

А⁵₁₄ = 14 13 12 1110 = 240240

Задача. Набираючи номер телефону, абонент забув дві останні цифри й, пам'ятаючи лише, що ці цифри різні, став набирати їх наудачу. Скільки варіантів йому треба перебрати, щоб набрати потрібний номер?

Рішення: Дві останні цифри можна набрати числом способів, рівним числу впорядкованих двоелементних підмножин у десятиелементній множині (множині всіх цифр). Це число способів дорівнює А²₁₀.

А²₁₀ = 10  9 = 90

Задача.У кімнаті студентського гуртожитку живуть троє студентів. У них є 4 чашки, 5 блюдець й 6 чайних ложок (всі чашки, блюдця й ложки відрізняються друг від друга). Скількома способами вони можуть накрити стіл для чаювання (кожний одержує одну чашку, одне блюдце й одну ложку)?

Рішення: Щоб знайти число способів, якими можуть бути розставлені чашки треба знайти число розміщень (без повторень) з 4 елементів по 3, блюдця - число розміщень із 5 елементів по 3, ложки - число розміщень із 6 елементів по 3. У рішенні використається формула розміщень без повторень, тому що тут відіграє роль, яка з ложок (чашок, блюдець) буде обрана, тому що всі чайні прилади відрізняються друг від друга. Число способів, якими можуть бути обрані 3 чашки, блюдця й ложки перебуває за правилом добутку: А³₄*А³₅*А³₆=4*3*2*5*4*3*6*5*4=172800 способів.

Задача. Скількома способами можна опустити 5 листів в 11 поштових скриньок, якщо в кожен ящик опускають не більше одного листа?

Рішення: Це розміщенням без повторень із 11 елементів по 5. Виходить, число способів вибору дорівнює:

A(n,m) = .

Задача. Скільки шестизначних номерів можна скласти з десяти цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

Рішення: Тому що відіграє роль порядок розташування елементів, але кожний з них може зустрітися кілька разів, то число номерів дорівнює розміщенню з повтореннями з десяти цифр по шести.

A(10,6) = 10⁶.