Формули з’єднань

З’єднання	Без повторення	З повторенням
Перестановки
Разміщення
Сполучення

Біном Ньютона

Біномом Ньютона називають формулу для обчислення вираження (а+b)ⁿ для натуральних n.

Дану формулу можна довести методом математичної індукції. Нижче представлений комбінаторний доказ.

Запишемо (a+b)ⁿ у вигляді добутку (a+b)ⁿ=(a+b)  (a+b)  … (a+b)...

Розкриємо дужки в правій частині цієї рівності й запишемо всі добутки у виді n співмножників а й b у тім порядку, у якому вони з'являються.

Наприклад, (a+b)² запишеться у вигляді (a+b)²=(a+b)  (a+b)=aa+ab+ba+bb, а (a+b)³– у вигляді (a+b)³=(a+b)(a+b)(a+b) =aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb.

Видно, що в обидві формули входять всі розміщення з повтореннями, складені з букв а й b по дві (три) букви в кожному.

У загальному випадку – після розкриття дужок одержимо всілякі розміщення з повтореннями букв а й b, що складаються з n елементів. Приведемо подібні члени, що містять однакову кількість букв а й букв b. Членів, у які входить k букв a й, отже, (n–k) букв b рівно Р(k, n–k)=. Звідси випливає, що після приведення подібних членів вираз a^kb^n-k увійде з коефіцієнтом , тому формула прийме вид:.

Таким чином, х² у розкладанні (2х+3)⁶ буде мати коефіцієнт 4 860.

Числа називають біноміальними коефіцієнтами. За допомогою бінома Ньютона легко довести властивості біноміальних коефіцієнтів (чисел ):

1) Симетричність біноміальних коефіцієнтів =

Цю властивість можна довести з (a+b)ⁿ=(b+a)ⁿ. Розкладемо обидві частини рівності по біному Ньютона й розглянемо коефіцієнти при a^kb^n-k. Праворуч коефіцієнт дорівнює,а ліворуч .

2) Основна властивість біноміальних коефіцієнтів

Якщо у формулі бінома Ньютона покласти а=1, b=х то одержимо,

(1+x)ⁿ=.

3) Сума біноміальних коефіцієнтів

Скористаємося формулою бінома Ньютона, у якій покладемо а=1 й b=1. Тоді .

Поліноміальна формула

Поліномом називають вираження виду (x₁+x₂+…x_k)ⁿ...

Поліноміальною формулою називають формулу для обчислення значення виражень (x₁+x₂+…x_k)ⁿдля різного числа, що складають і різних натуральних ступенів n.

Теорема

Формула доводиться аналогічно формулі бінома Ньютона.

Властивості чисел Р(k1k2...k3)

1. .

Якщо в поліноміальній формулі покласти х₁=х₂=…=х_m=1, то одержимо необхідну рівність.

2. .

Задачі на тему Комбінаторика

Правило добутку

Задача. У магазині «Усе для чаю» є 5 різних чашок й 3 різні блюдця. Скількома способами можна купити чашку із блюдцем?

Рішення.Чашку можна вибрати 5 способами. Для кожного способу вибору чашки існує 3 способи вибору блюдця. Таким чином, маємо 5 3=15 способів вибору пари предметів.

Може виникнути ситуація, коли необхідно скласти комбінацію з більшого числа елементів.

Задача. У магазині «Усе для чаю» є ще 4 чайні ложки. Скількома способами можна купити комплект із чашки, блюдця й ложки?

Рішення. З рішення попередньої задачі відомо, що існує 5 3=15 способів вибору пари предметів чашка - блюдце. Для кожного способу вибору цієї пари існує 4 способи вибору ложки. Таким чином, за правилом добутку маємо 5 3 4=60 способів вибору комплекту із чашки, блюдця й ложки.

Задача.Визначити число способів , якими можна вибрати 6 карт із 36 так, щоб серед них були 3 карти однієї масті?

Рішення: Число способів вибрати карти однієї масті дорівнює ,число способів вибрати одну карту однієї масті дорівнює, остатні 3 карти можуть бути будь-якими з 33 карт, тобто. За правилом добутку маємо:..