Розміщення з повтореннями

Задача. Букви абетки Морзе складаються із символів (крапок і тире). Скільки букв можна зобразити, якщо зажадати, щоб кожна буква містила не більш п'яти символів?

Рішення: Загальна кількість букв буде складатися з кількості, утвореної одним, двома, трьома й т. д символами. Виходить, для підрахунку загальної кількості букв необхідно окремо порахувати кількість слів, утворених різним числом символів.

Одним символом - А(2,1) = 2¹ = 2 (розміщення з повтореннями);

Двома символами - Р(2) = 2² = 4 (перестановки з повтореннями);

Трьома символами - А(2,3) = 2³ = 8 (розміщення з повтореннями);

Чотирма символами - А(2,4) = 2⁴ = 16 (розміщення з повтореннями);

П'ятьма символами - А(2,5) = 2⁵ = 32 (розміщення з повтореннями).

Отже, загальне число символів дорівнює: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 64.

Задача. Для того щоб відкрити камеру схову, використовується комбінація з 4 цифр (від 0 до 9), що набирається на 4 коліщатах. Скільки різних комбінацій існує?

Рішення. З умови задачі треба скласти всілякі комбінації по 4 елементи з даних 10. По формулі розміщень із повторенням одержуємо: =10⁴ = 10 000 варіантів.

Сполучення

Задача. Два філателісти хочуть обмінятися марками. В одного для обміну є 7 марок, в іншого - 5. Скількома способами вони можуть поміняти дві марки одного на дві марки іншого?

Рішення. Перший філателіст повинен вибрати 2 марки з 7. Він може це зробитиспособами. Другий повинен вибрати 2 марки з 5. Він може це зробитиспособами. За правилом добутку одержуємо,способів зробити обмін.

Задача. З колоди, що містить 52 карти, вийняли 10 карт. У скількох випадках серед них виявиться рівно три тузи?

Рішення. Необхідно вибрати трьох тузів і сім «не тузів». Усього в колоді 4 тузи. Тому вибрати з них 3 можна способами. «Не тузів» у колоді 48. Вибрати з них 7 можнаспособами. За правилом добутку одержуємо:=способів вибрати з колоди 10 карт так, що серед них буде рівно три тузи.

Задача.Чотири автори повинні написати книгу з 17 глав, причому перший і третій повинні написати по 5 будь-яких глав, другий - 4, а четвертий 3 глави книги. Скількома способами можна розподілити глави між авторами?

Рішення:

У множині, що складається з 17 елементів, існує п’ятиелементних підмножин. Тому першому авторові можна дати глави способами. Аналогічно із тих 12 глав, що залишилися другий автор може одержати 4 глави способами. Третій автор одержує 5 главспособами, а четвертому дістаються 3 глави, що залишилися. Число способів розподілу глав дорівнює за правилом добутку, отже,

= 171531360

Задача.Скільки екзаменаційних комісій, що складаються з 7 членів, можна утворити з 14 викладачів?

Рішення:

Очевидно стільки, скільки існує семиелементних підмножин у чотирнадцятиелементній множині.

14 · 13 · 12 · 11· 10 · 9 · 8 14 · 13 · 12 · 11 · 10 · 9 · 8

= 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 3432

Задача.На першій із двох паралельних прямих лежить 10 крапок, на другій - 20. Скільки існує трикутників з вершинами в цих крапках?

Рішення: Трикутники можуть бути двох видів. У трикутників першого виду одна вершина на першій прямій, дві вершини - на другій прямій. Вершину на першій прямій можна вибрати 10 способами, дві вершини на другій прямій можна вибрати способами. Усього, отже, існує 10трикутників першого виду. У трикутників другого виду одна вершина перебуває на другій прямій, а дві інші вершини - на першій. Число таких трикутників підраховується аналогічно. Воно дорівнює 20. Таким чином, шукане число всіх трикутників

10  + 20 == 100 (19 + 9) = 2800

Задача. Скількома способами можна вибрати 5 делегатів зі складу конференції на якій присутні 15 чоловік?

Рішення: Тому що порядок вибору значення не має і делегати не повторюються, то число способів буде сполученнями без повторень. Значить

=