Задачі на теорію множин

Задача 1. Довести , що , якщота.

Рішення.

Нехай , тоді:

1)

2)

3)

Задача 2. Довести, щотаеквівалентні.

Рішення:

а) Ліва частина. Нехай , якщо, тобто з, а якщо так , то, тобто з

б) Права частина. Нехай , тобто призслідує, що, тобто. Таким чином, зслідує, щота навпаки

Задача 3.

Нехай у організації 67 осіб. З них англійською мовою володіють 47 осіб, німецькою - 35, французькою - 20, англійською та французькою - 12, німецькою та французькою - 11, англійською та німецькою - 23. Скільки людей не знає жодної з цих мов?

Рішення:

S=АНФ; S1=АН; S2=АФ; S3=НФ;

А1=А-(S1S2), тільки англійською - 47

Н1=Н-(S1S2), тільки німецькою - 35

Ф1=Ф-(S2S3), тільки французькою - 20

N=V-(А1Н1Ф1) жодної мови

N==

67-47-35-20+23+12+11-5=6

Задача 4. ?. Показати, що елемент є елементом множиниі в той же час є елементом множини.

Рішення:

Нехай .

x ABxAB Отже - згідно ознаки операції

з того, що }

Нехай тепер

З того, що .

А з того, що . Множини рівні.

Задача 5. Довести 1 закон де Моргана.

Нехай .Отже.

Нехай тепер

.

Задачі для самостійної роботи студентів

Задача 1.Задані:

1. Множина всіх натуральних чисел.

2. Множина всіх цілих чисел.

3. Множина всіх комплексних чисел.

4. Множина всіх площ правильних багатокутників вписаних у коло.

5. Множина всіх геометричних фігур.

6. Множина всіх чотирьохкутників.

7. Множина всіх прямокутників.

8. Множина всіх паралелограмів.

9. Множина всіх трапецій.

10. Множина всіх квадратів.

11. Множина всіх дійсних чисел.

Завдання

а) Привести приклади елементів з кожної множини 1- 11.

б) Які з множин 1-11 є своїми власними елементами.

в) Визначити які з 1-11 є підмножинами інших.

г) Яке з 1-11 є універсальними.

Задача 2.Прорахувати та порівняти трикутник Паскаля по формулах:

1)

2)

Задача 3.Визначити перетинання множин

Задача 4.Нехай А - множина коренів рівняння

і х  .

Знайти ,, А - В, В-А

Задача 5. Нехай А - множина значень функції

В - множина коренів рівняння: x (x-1) (x-2) =0

Знайти

Задача 6. Множина А складається з точок M (x, y), для яких

Множина В - з точок площини, для яких

Множина С - з точок, для яких x > 0

Зобразити множину ab-c

Задача 7.Нехай x,y,z - множина цілих, =>0 чисел, g= ' сума ' - відношення.

Приклад відношень  g

Зобразити графічно таблицею відношення g.

Задача 8. ,

Задача 9. Доказати за допомогою діаграми Вєнна

Задача 10.Множина А складається з цілих чисел, що діляться на 4, множина В, що діляться на 10, множина С, що діляться на 75. З яких чисел складається множина А·В·С.

Привести доказ за допомогою діаграми Вєнна.

Задача 11. Довести якщо ,, то

якщо ,, то

Задача 12.Які з наступних затверджень вірні для всіх множин A, B, C

а) ,

б) ,

в) ,

Задача 13.Для вибраної множини дати структуру і оцінку представлення її у пам’яті ЕОМ різними засобами.

Контрольні питання

1. Поясніть поняття множини. Наведіть приклади множин.Як позначаються множини та їх елементи?

2. Які існують способи завдання множин?

3. За допомогою характеристичної властивості задайте кінцеву, нескінченну незліченну, нескінченну рахункову і пусту множини.

4. Як позначається приналежність елемента множині і неприналежність?

5. Які існують відносини між двома множинами?

6. Перерахуйте операції над множинами з приведенням відповідних діаграм Ейлера - Венна.