Частные случаи формулы включений и исключений

1. Если все свойства попарно несовместны, т.е., то формула имеет вид:

2. Если каждое число зависит не от характера свойств, от их количества, то формула приобретает вид:

где - число объектов, обладающих k свойствами.

3. Для упрощения применения формулы включений и исключений предлагается следующий формальный прием:

обозначим, тогда.

Введем правила раскрытия скобок: .

Например:

при имеем:

Такая формальная запись позволит найти число объектов, обладающих одними и не обладающих другими свойствами, например:

.

Задача о беспорядках

Пусть множество . Рассмотрим перестановки элементов множества .

Элемент перестановки называетсянеподвижным, если, т.е. элемент стоит на своем месте.

Например:

при

5 2 4 3 1 – элемент “2” – неподвижный;

1 2 3 4 5 – все элементы неподвижны.

Беспорядкомназывается перестановка, не имеющая неподвижных элементов, т.е.

Постановка задачи:

Определить - количество беспорядков вn-элементном множестве, или количество перестановок чиселтаких, что?называютсубфакториалом.

Решение:

Общее число перестановок – .

Обозначим через такое свойство перестановки, когда i-й элемент стоит на своем месте, т.е. а_i = i.

- число перестановок, обладающее свойством, т.е..

- в этих перестановках только один элемент находится на своем месте, остальные – в беспорядке., т.к. число перестановок не зависит от того, какой именно элемент находится на своем месте.

Обозначим через - количество перестановок, в которых только два элемента находятся на своих местах,,… ,– количество перестановок, в которых толькоэлементов находятся на своих местах.

По формуле включений-исключений имеем:

(1)

Распишем формулу:

Задача o встречах

Постановка задачи:

Определить количество таких перестановок чисел, что точноэлементов изнаходятся на своих на местах (т.е.), а остальныенаходятся в беспорядке.

Иначе: нас интересуют перестановки, в которых точно элементов неподвижны.

Решение:

Из общего числа элементов некоторым образом выбирается , которые остаются на своих местах, остальныеэлементов находятся в беспорядке. Количество способов, которыми можно переставитьэлементов при таких условиях, равно .

Перестановки без фиксированных пар

Постановка задачи:

Обозначим через - число таких перестановокчисел, что ни одна из этих перестановок не содержит ни одной из упорядоченных пар.

Решение:

Для вычисления используем принцип включения и исключения. Будем говорить, что перестановка обладает свойством, если она содержит i–тую упорядоченную пару (i, i+1). Число всех перестановок.

Перестановки, обладающие свойством , получаются как перестановки элементови пары, рассматриваемой как один элемент. Следовательно, независимо от.

Перестановки, обладающие двумя свойствами, т.е. имеющие две упорядоченные пары, например и, получаются из пар, каждая из которых рассматривается как отдельный элемент иоставшихся элементов, т.е. из (n-2) элементов.

Если к=i+1 , то перестановки составляем из (i, i+1, i+2) и (n-3) остальных элементов, т.е. тоже из (n-2) элементов.

независимо оти. Число перестановок, не обладающих ни одним из свойствами, зависит только оти.

Всего пар может быть - (n-1), следовательно: