Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ОДМ,ч1.doc
Скачиваний:
60
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
1.7 Mб
Скачать

Способы задания множеств. Операции над множествами. Основные соотношения алгебры множеств

Цель работы: изучение способов задания множеств. Приобретение практических навыков в выполнении операций над множествами и проверке основных соотношений алгебры множеств.

Теоретическая справка

Множество- объединение в одно целое различимых между собой элементов.

Конечное множество- множество, состоящее из конечного числа элементов.

Бесконечное множество- множество, состоящее из бесконечного числа элементов.

Способы задания множеств

1) Перечисление элементов.

Например:

А= {1,3,5,6,889,-10}

2) Задание определяющего свойства.

Например:

X= {x| 1 >х> 5,xє Z};

А= {a2|a- четное число}.

Пустое множество – множество, не содержащее ни одного элемента. Пустое множество обозначается 

Универсальное – множество, содержащее все возможные элементы. Универсальное множество обозначается U.

Утверждение "аявляется элементом множестваА" записывается в видеаА (апринадлежитмножествуА).

Утверждение "ане является элементом множестваА" записывается в видеаА (ане принадлежитмножествуА).

Множества А и В называются равными (обозначается А= В), если они состоят из одних и тех же элементов.

Если каждый элемент множества А является также элементом множества В, то говорят, что А содержится или включается в В.

В этом случае пишут А В.

Множество A называется подмножеством множества B, если .

В тех случаях,когда одновременно имеют место соотношения A B и A B, говорят, что A строго включается в B, и используют запись AB.

Операции над множествами

Объединением множеств A и B (обозначается AB) называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств, т.е

AB = аа A или аB.

Пересечением множеств A и B (обозначается AB) называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из этих множеств, т.е.

АB = аа А иаB.

Разностью множеств А и B (обозначается А\B) называется множество, состоящее из всех элементов множества A , не принадлежащих множеству B, т.е.

А \ B =аа А и аB.

Дополнением множества А в универсальном множестве U (обозначается ,А) называется множество, состоящее из всех элементов универсального множества U, не принадлежащих множеству А, т.е.

А = U \ A

Симметрической разностью множеств A и B (обозначается AB или AB) называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих в точности одному из этих множеств, т.е.

AB  а либо аA и аB, либо аA и аB

AB = (A \ B) (B \ A) = (A B) \ (A B)

Операции над множествами можно проиллюстрировать графически с помощью кругов Эйлера (их также называютдиаграммами Венна). В этом случае исходные множества изображают кругами, а множество-результат выделяют штриховкой.

Основные законы алгебры множеств:

1) Коммутативные законы

АВ=ВА

АВ=ВА

АВ=ВА

2) Ассоциативные законы

А(ВС) = (АВ)С

А(ВС) = (АВ)С

3)Дистрибутивные законы

А(ВС) = (АВ)(АС)

А(ВС) = (АВ)(АС)

4)Законы с иU

А=ААU=АА=U

А=АU=UА=

==U

6) Законы идемпотентности

АА=ААА=А =А

7) Законы поглощения

А(АВ) =АА(В) =АВ

А(АВ) =АА(В) =АВ

8) Законы де Моргана

______

AB=

_______

AB=

9) Законы склеивания

(АВ)(В) =В

(АВ)(В) =В

Справедливость законов алгебры множеств доказывается на основе определения равенства: Х=Y, если

1) ХY: xXxY;

2) Y Х: yYyX.

Сформулированный принцип называют интуитивным принципом объемности.

Для доказательств будем использовать следующие обозначения ({- и ;[- или ) и соотношения :

xABxAB

xABxAB

xA \ BxA \ BxA

Например:

Используя отношения принадлежности, доказать тождество

(A B) \ C = (A \ C)(B \ C).

Пусть X = (A B) \ C;

Y = (A \ C)(B \ C).

Если x X x (A B) \ C

или .

Если y Y y (A \ C)(B \ C)

y [(A \ C) \ (B \ C)] [(B \ C) \ (A \ C)]

или.

Отсюда или = или .

Следовательно тождество верно.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]