Размещения с повторениями

(mперестановки с неограниченными повторениями)

Пусть А = {a₁,a₂,…,a_n} , гдеa₁,a₂,…,a_n– “представители” 1-го, 2-го, …n-го типа элементов. Объектов каждого типа имеется в неограниченном количестве, элементы одного типа неразличимы между собой. Рассмотрим следующую схему выбора упорядоченной последовательности изmэлементов: выбираем элемент на 1-е место, имеетсяnвариантов выбора. После этого элемент возвращается обратно и может быть выбран еще, т.е. на 2-е место имеетсяnпретендентов и т.д. Наm-е место также имеетсяnпретендентов.

Число различных размещений с повторениямиизnпо mравно

.

Здесь может быть m>n,m<n,m=n.

Например:

Сколько различных сигналов могут дать 4 светофора одновременно?

Решение:

Число различных сигналов на одном светофоре равно 3. Разные светофоры могут подавать одинаковые сигналы. Тогда, N- число различных сигналов, равно числу различных размещений с повторениями из 3 по 4:

.

Сочетания с повторениями

Пусть А = {a₁,a₂,…,a_n}, гдеa₁,a₂,…,a_n- “представители” 1-го, 2-го, …,n-го типа элементов. Объектов каждого типа имеется в неограниченном количестве, элементы одного типа неразличимы между собой.

Сочетания с повторениями отличаются составом элементов, входящих в выбираемое множество. Порядок элементов не имеет значения. Имеет значение, сколько элементов каждого типа вошло в сочетание. Рассмотрим определенное сочетание.

Пусть в него входят: r₁объектов 1-го типа,

r₂объектов 2-го типа,

. . . . . . . . . .

r_nобъектовn-го типа;

.

Некоторыеr_iмогут быть равны 0. Сочетанию можно поставить в соответствие следующую схему:

Вертикальные черточки отделяют элементы одного типа от элементов другого. Если элементов какого-либо типа нет, две черты будут рядом. Количество черточек равно (n-1). Каждому сочетанию с повторениями соответствует схема и наоборот, каждая подобная схема соответствует некоторому сочетанию с повторениями.

Количество сочетаний с повторениями из nпоmравно числу таких схем.

Всего в схеме (n– 1) +mобъектов, (n– 1) – черточек иm– нулей. Число схем равно числу различных перестановок из (n+m– 1) – элементов, среди которых (n– 1) – одинаковых “ | ” иm– одинаковых “0”.

Число различных сочетаний с повторениямиизnпоmравно:

Например:

1) В кондитерской продают 4 вида пирожных. Сколькими способами один человек может купить 8 пирожных?

2) В кондитерской продают 4 вида пирожных. Сколькими способами 8 различных человек могут купить по 1 пирожному?

Формулы пересчета для основных видов комбинаторных соединений

Соединения	Без повторений элементов	С повторениями элементов
Сочетания
Размещения
Перестановки

Принцип включения- исключения

Пусть имеется nобъектов и множество свойств. Каждый объект может обладать или не обладать одним или несколькими свойствами.

Введем ряд обозначений.

– количество объектов, обладающих свойством.

– количество объектов, не обладающих свойством.

– количество объектов, обладающих двумя свойствами.

– количество объектов, обладающих тремя свойствами.

– количество объектов, обладающих всемисвойствами.

– количество объектов, не обладающих ни одним из n свойств.

Формула включений и исключений определяет количество объектов, не обладающих ни одним из свойств, заданных множеством.

При произвольном справедлива следующая формула включений и исключений:

Например:

На фирме работает 67 сотрудников. Из них 47 владеют английским языком, 35 -немецким, 20-французским; одновременно английским и немецким владеют – 23 человека, английским и французским-12, немецким и французским-11, тремя языками владеют 5сотрудников. Сколько человек не владеют ни одним языком?

Решение:

Определим следующие свойства:

– “владеть английским языком”;

– “владеть немецким;

– “владеть французским”.

По формуле включений и исключений имеем:

Шесть человек не владеют ни одним из перечисленных языков.