4.2 Середні величини

Аналітичний матеріал

Середні величини. Середні величини - це узагальнюючі показники, в яких знаходять вираження дії загальних умов, закономірностей явища, що вивчається. Проте статистична середня буде об'єктивна і типова, якщо вона розраховується за масовими даними для якісно однорідної сукупності (масових явищ). Середня величина є віддзеркаленням значень ознаки, що вивчається, отже, вимірюється в тій же розмірності, що і ця ознака.

Залежно від способу розрахунку, існують різні види середніх величин:

середня арифметична;

середня геометрична;

середня гармонійна;

середня квадратична;

середня хронологічна.

Середня арифметична. Середня арифметична проста (незважена) дорівнює сумі окремих значень ознаки, що ділиться на число загальних значень і визначається по формулі:

,

(4.8)

де - середнє значення варіаційної ознаки;

х_і – i-те значення ознаки;

n - число одиниць в сукупності.

Проста середня арифметична застосовується у випадках, коли є окремі значення ознаки (дискретний не зважений варіаційний ряд).

Якщо дані представлені у вигляді дискретного зваженого ряду, то середнє значення ознаки визначається по формулі середньою арифметичною зваженою:

,

(4.9)

де fi - число однакових значень варіаційної ознаки х_і (частота або вага);

n - число однакових значень варіаційної ознаки в сукупності.

Якщо дані представлені у вигляді інтервального ряду розподілу, то середнє значення ознаки визначається по формулі:

,

(4.10)

де fj - частота (вага) j-той групи інтервального ряду;

m - число груп в інтервальному ряду;

- середина j-того інтервалу.

Середина інтервалу визначається з вираження:

,

(4.11)

де x_н^j , x_в^j - відповідно нижнє і верхнє значення (межа) j-го інтервалу.

Якщо дані представлені у вигляді групування, в якому є лише узагальнюючі показники по групах (групові середні), то в такому разі загальна середня визначається по формулі арифметичною зваженою, в якій за варіанти беруться групові середні:

,

(4.12)

де m - число груп в угрупуванні;

- середнє значення ознаки в j-той групі (групова середня);

fj- частота, вага j-тої групи.

Розрахунок середньої арифметичної зваженої за способом моментів. Розрахунки середньою арифметичною можуть бути громіздкими, якщо варіанти і ваги мають великі значення. Використання наступних основних математичних властивостей середньою арифметичною зваженою дозволяє значно спростити обчислення.

1) якщо зменшити всі варіанти на яке або постійне число (А), то нова середня зменшиться на те ж число;

2) якщо зменшити всі варіанти в однакове число разів (К), то середня зменшиться в стільки ж раз;

3) якщо зменшити або збільшити ваги (частоти) всіх варіант в однакових число разів (L), то середня арифметична не зміниться.

4) сума відхилень всіх варіантів від загальної середньої дорівнює нулю.

Використовуючи перераховані властивості, формула для розрахунку середньою арифметичною набере вигляду:

.

(4.13)

Рекомендації по вибору постійних А, К і L:

1) в якості постійної А прийнято брати серединне значення інтервалу з найбільшою частотою, тобто інтервалу для якого f_j = max ;

2) в якості постійної К прийнято брати величину інтервалу ряду розподілу, тобто ;

3) в якості постійної L слід приймати будь-яке постійне число, яке спростить розрахунки.

Розрахунок середньої гармонійної і вибір форми середньою.Разом з середньою арифметичною в статистиці застосовується середня гармонійна величина, зворотна середньою арифметичною. Як і середня арифметична, вона може бути простій і зваженою.

Формула для розрахунок середньою гармонійною простій має вигляд:

.

(4.14)

Формула для розрахунку середньою гармонійною зваженою має вигляд:

.

(4.15)

де W_і - частота (вага) середньою гармонійною. Частота середньою гармонійною пов'язана з частотою середньою арифметичною таким чином:

.

(4.16)

Середня гармонійна застосовується в разі, якщо характер вихідних даних такий, що розрахунок середньою арифметичною не має сенсу.

Вибір форми середньої величини виробляють на підставі аналізу вихідних даних і вихідного співвідношення середньою. Вихідне співвідношення середньою - співвідношення двох взаємозв'язаних показників, записане словами у вигляді дробу.

Правило вибору форми середньої:

1) якщо окрім варіантів ознаки яка осереднюється (х), задані і використовуються як ваги показники, що знаходяться в знаменнику вихідного співвідношення середньою, то слід застосовувати формулу середньою арифметичною;

2) якщо окрім варіантів ознаки яка осереднюється (х), задані і використовуються як ваги показники, що знаходяться в чисельнику вихідного співвідношення середньою, то розрахунок середньою виробляють по формулі середньою гармонійною.

Розрахунок моди і медіани. Характеристиками варіаційних рядів разом з середніми є мода і медіана.

Мода - величина ознаки (варіанту), що найчастіше повторюється в сукупності, що вивчається.

Для дискретних рядів розподілу модою буде значення варіанти з найбільшою частотою:

при умові, що .

(4.17)

Для інтервальних рядів розподілу з рівними інтервалами для визначення моди спочатку необхідно визначити модальний інтервал. Модальний інтервал – це інтервал, якому відповідає найбільша частота.

Мода визначається по формулі:

,

(4.18)

де - нижнє значення (межа) модального інтервалу (інтервалу, що містить моду);

- розмір (величина) модального інтервалу.

- частота модального інтервалу

- частота інтервалу, відповідно передуючого і наступного за модальним інтервалом.

Медіаною в статистиці називається варіанту, розташована в середині впорядкованого варіаційного ряду. Медіана ділить ряд розподілу на дві рівні частини, так, що вище за медіану знаходяться варіанти, які менше медіани за своїм значенням, нижче за медіану знаходяться варіанти, які більше медіани за своїм значенням.

Для знаходження медіани в дискретному ряду, його заздалегідь необхідно упорядкувати в порядку зростання значень варіаційної ознаки.

Якщо ряд має непарне число членів, то медіаною буде варіанту, що знаходиться в середині впорядкованого ряду:

.

(4.19)

Якщо впорядкований ряд складається з парного числа членів, то медіаною буде середня арифметична з двох варіант, розташованих в середині ряду, тобто

.

(4.20)

Для дискретного зваженого ряду порядок визначення медіани наступний:

1. Упорядкувати ряд розподілу за збільшенням варіаційної ознаки:

2. Визначити накопичені частоти для кожного значення варіаційної ознаки:

   S1 = f1 .

   (4.21)

3. Визначити значення медіани як перше значення варіаційної ознаки, для якої виконується нерівність:

.

(4.22)

Для інтервальних рядів розподілу з рівними інтервалами медіана визначається таким чином:

1. Для кожного інтервалу знаходять накопичені частоти:

   S1 = f1 .

   (4.23)

2. Визначається медіанний інтервал, як перший інтервал, для якого виконується нерівність:

   .

   (4.24)

3. Визначається значення медіани:

,

(4.25)

де - нижня межа (значення) медіанного інтервалу;

- величина (розмір) медіанного інтервалу;

- сума частот розподілу;

- частота медіанного інтервалу;

- накопичена частота інтервалу, який передує медіанному інтервалу.

Приклади вирішення завдань

Приклад 1. Є дані про час простою верстатів по цехах заводу:

Номер цеху	Час простою верстата за зміну, хвилин	Число верстатів
1	70	7
2	40	9
3	30	12
4	25	6
5	90	6

Визначите середній час простою одного верстата.

Рішення

Оскільки потрібно знайти середній час простою одного верстата за зміну, то ознака, яка осереднюється в даному випадку – час простою верстата за зміну (х). Число верстатів – вага варіаційного ряду (f).

Завдання вирішується по формулі середньою арифметичною зваженою, оскільки представлений ряд – дискретний зважений.

Розрахункова формула: .

Розрахунки по завданню приведемо в табличній формі.

№	хі, хв.	fi
1	70	7	490
2	40	9	360
3	30	12	360
4	25	6	150
5	90	6	540
Разом		40	1900

Підставимо одержані підсумкові значення у формулу: 48 хв.

Відповідь. В середньому за зміну в п'яти цехах заводу час простою одного верстата склав 48 хвилин.

Приклад 2. Для даних наведених у таблиці визначте середній обсяг випуску продукції по способу моментів:

Групи підприємств по обсягу випуску продукції, тис. грн.	Кількість підприємств
до 3000	4
3000 – 5000	10
5000 – 7000	16
7000 – 9000	16
понад 9000	4
Усього	50

Рішення

1. Формула для розрахунку середнього значення ознаки по способу моментів має наступний вигляд:

.

2. Рішення представимо у таблиці:

Групи підприємств по
до 3000	4	2000	- 4000	- 2	2	- 4
3000 – 5000	10	4000	- 2000	- 1	5	- 5
5000 – 7000	16	6000	0	0	8	0
7000 – 9000	16	8000	2000	1	8	8
більше 9000	4	10000	4000	2	2	4
Усього	50				25	3

, ,.

тис. грн.

Відповідь. Середній обсяг випуску продукції однім підприємством складає 6 млн. 240 тис. грн.

Приклад 3. Бригада токарів була зайнята обточуванням однакових деталей протягом 8-годинного робочого дня. Перший токар витратив на одну деталь 12 хв., другий - 15 хв., третій - 11, четвертий - 16 і п'ятий - 14 хв. Визначите середній час, необхідний на виготовлення однієї деталі.

Ознака яка осереднюється – час, витрачений на обточування однієї деталі.

Для визначення часу на виготовлення однієї деталі, що виготовляється кожним робітником, скористаємося наступним співвідношенням:

Оскільки окрім ознаки що осереднюється (час обточування однієї деталі) заданий і використовується в якості ваги показник всього витраченого часу (кожен робітник відпрацював 8 годин робочого часу), який знаходиться в чисельнику вихідного співвідношення середньою, то задачу слід вирішувати по формулі середньою гармонійною:

.

Розрахунки зведемо в таблицю:

Номер робітника (i)	Робочий час (Wі), хв.	Час виготовлення однієї деталі (xі), хв.
1	8*60=480	12	40,0
2	480	15	32,0
3	480	11	43,6
4	480	16	30,0
5	480	14	34,3
Разом	2400		179,9

Тоді середній час, необхідний для виготовлення однієї деталі, складе:

хв.

Відповідь. Середній час, необхідне на виготовлення однієї деталі, склало 13,3 хв.

Приклад 4. Визначте моду та медіану собівартості одиниці продукції і середню собівартість одиниці продукції , за даними наведеними в таблиці:

Групи підприємств по собівартості одиниці продукції, грн.	Число підприємств	Групи підприємств по собівартості одиниці продукції, грн.	Число підприємств
До 2,2	2	3,0-3,4	6
2,2-2,6	3	3,4- 3,8	10
2,6-3,0	5	Більше 3,8	4

Рішення

1. Середня собівартість одиниці продукції (формула):

;

2. Медіана собівартості одиниці продукції (формула):

.

3. Мода собівартості одиниці продукції (формула:

.

4. Результати розрахунків наведемо у табличній формі:

Групи по
1,6 – 2,0	2	2	1,8	3,6
2,0 – 2,4	3	5	2,2	6,6
2,4 – 2,8	5	10	2,6	13,0
2,8 – 3,2	6	17	3,0	18,0	й інтервал
3,2 – 3,6	10		3,4	34,0	й інтервал
3,6 – 4,0	4		3,8	15,2
Усього	30			90,4

5. грн.;

6. 3,13 грн.

7. 3,36 грн.

Відповідь.Середня собівартість продукції – 3,01 грн.; медіана – 3.13 грн.; мода – 3.36 грн.

Тести

1. Як зміниться середня величина, якщо кожен варіант збільшити в одне і те ж число разів ( А )? В такому разі середня величина:

а) не зміниться;

б) зменшиться у А раз;

в) збільшиться у А раз;

г) зміниться, але важко спрогнозувати як.

2. Як зміниться середня величина, якщо кожен варіант зменшити на одну і ту ж постійну величину ( А )? В такому разі середня величина:

а) не зміниться;

б) збільшиться на величину А;

в) зменшиться на величину А;

г) зміниться, але важко спрогнозувати як.

3. Якщо крім варіантів ознаки задані у якості важелів показники, які знаходяться у знаменнику логічної формули середньої, то для розрахунку середньої величини слід використовувати:

а) формулу середньої арифметичної простої;

б) формулу середньої арифметичної зваженої;

в) формулу середньої гармонічної простої;

г) формулу середньої гармонічної зваженої.

4. Якщо крім варіантів ознаки задані у якості важелів показники, які знаходяться у чисельнику логічної формули середньої, то для розрахунку середньої величини слід використовувати:

а) формулу середньої арифметичної простої;

б) формулу середньої арифметичної зваженої;

в) формулу середньої гармонічної простої;

г) формулу середньої гармонічної зваженої.

5. При розрахунку середньої арифметичної зваженої у якості ваги використовують:

а) кумулятивну абсолютну частоту;

б) нормовану абсолютну частоту;

в) абсолютну частоту;

г) нормовану відносну частоту.

6. Варіант, який знаходиться в центрі упорядкованого ряду, називають:

а) модою;

б) медіаною;

в) середньою;

г) середньою зваженою.

7. Варіант, який частіше інших зустрічається у сукупності, називають:

а) модою;

б) медіаною;

в) квартиллю;

г) дециллю.

Контрольні питання

1. Визначте поняття «середня величина» і поясніть у чому полягає їх значення в статистичному аналізі.

2. Визначте у чому полягає описовий характер медіани.

3. Наведіть основні властивості середньої арифметичної.

Завдання для контрольної та самостійної роботи

4.7 За індивідуальними даними наведеними в додатку В по варіантам розрахуйте середнє значення ознаки. Прийняту форму середньої необхідно обґрунтувати. Зробіть висновки.

4.8 Для одержаного в результаті виконання завдання 3.1 (тема 3) рівно-інтервального ряду розрахуйте середню арифметичну виробництва продукції заводами галузі. Розрахунки представте в таблиці. Зробіть висновки.

4.9 Для одержаного в результаті виконання завдання 3.1 (тема 3) рівно-інтервального розрахуйте середню арифметичну виробництва продукції заводами галузі за способом моментів. Розрахунки представте в таблиці. Зробіть висновки.

4.10 Для одержаного в результаті виконання завдання 3.1 (тема 3) рівно-інтервального ряду розрахуйте моду і медіану виробництва продукції заводами галузі. Розрахунки представте в таблиці. Зробіть висновки.