Тема 7. Ряди Динаміки

Аналітичний матеріал

Встановлення вигляду ряду динаміки. Рядами динаміки називаються статистичні дані, що відображують розвиток явища, що вивчається, в часі. У кожному ряду динаміки є два основні елементи: показник часу (t); відповідний йому рівень розвитку явища, що вивчається, (y).

В якості показників часу в рядах динаміки виступають або певні дати (моменти) часу, або окремі періоди (рік, квартал, місяць, тиждень, доба).

Рівні рядів динаміки відображують кількісну оцінку (міру) розвитку в часі явища, що вивчається. Вони можуть виражатися абсолютними, відносними або середніми величинами.

Залежно від характеру явища, що вивчається, рівні рядів динаміки можуть відноситися або до певних дат (моментів) часу, або до окремих періодів. Відповідно до цього, ряди динаміки підрозділяються на моментні і інтервальні.

Моментні ряди динаміки відображують стан явищ, що вивчаються, на певні дати (моменти) часу. Наприклад, чисельність працівників за станом на 1 січня певного року. Особливістю моментного ряду динаміки є те, що в його рівні можуть входити одні і ті ж одиниці сукупності, що вивчається. Так, основна частина персоналу фірми N, яка складає облікову чисельність на 1.01.1994 р., продовжує працювати протягом даного року і тому відображається в рівнях подальших періодів. Тому при підсумовуванні рівнів моментного ряду динаміки може виникнути повторний рахунок.

Інтервальні ряди динаміки відображують підсумки розвитку (функціонування) явищ, що вивчаються, за окремі періоди (інтервали) часу. Наприклад, об'єм роздрібного товарообороту магазина за певний рік. Особливістю інтервального ряду динаміки є те, що кожен його рівень складається з даних за коротші інтервали часу. Наприклад, підсумовуючи товарообіг за перші три місяці року, отримують його об'єм за I квартал, а сума товарообігу чотирьох кварталів дає об'єм товарообігу за рік і так далі

Ряди динаміки можуть бути повними і неповними.

Повний ряд - ряд динаміки, в якому однойменні моменти часу або періоди часу строго слідують один за іншим в календарному порядку або рівно відстоять один від одного.

Неповний ряд динаміки - ряд, в якому рівні зафіксовані в нерівно віддалені моменти або періоди часу.

Ряди динаміки, що вивчають зміну статистичного показника, можуть охоплювати значний період часу, впродовж якого можуть відбуватися події, що порушують порівнянність окремих рівнів ряду динаміки (зміна методології обліку, зміна цін і так далі).

Для того, щоб аналіз ряду був об'єктивний, необхідно враховувати події, що наводять до непорівнянності рівнів ряду і використовувати прийоми обробки рядів для приведення їх в порівнянний вигляд.

Найбільш характерні випадки непорівнянності рівнів ряду динаміки:

1) територіальні зміни об'єкту дослідження, до якого відноситься показник, що вивчається (зміна кордонів міського району, передивляється адміністративного ділення області і так далі);

2) різно-великі інтервали часу, до яких відноситься показник. Так, наприклад, в лютому - 28 днів, в березні - 31 день, аналізуючи зміни показника по місяцях, необхідно враховувати різницю в кількості днів;

3) зміна дати обліку. Наприклад, чисельність поголів'я худоби в різні роки могла визначатися за станом на 1 січня або на 1 жовтня, що в даному випадку наводить до непорівнянності;

4) зміна методології обліку або розрахунку показника;

5) зміна цін;

6) зміна одиниць виміру.

Визначення середнього рівня ряду динаміки. Як узагальнена характеристика рівнів ряду динаміки служить середній рівень ряду динаміки . Залежно від типа ряду динаміки використовуються різні розрахункові формули.

Інтервальний ряд абсолютних величин з рівними періодами (інтервалами часу):

.

(7.1)

Моментний ряд з рівними інтервалами між датами:

.

(7.2)

Моментний ряд з нерівними інтервалами між датами:

.

(7.3)

де y_i - рівні ряду, що зберігаються без зміни впродовж інтервалу часу t_i.

Прості показники зміни рівнів ряду динаміки. Одним з найважливіших напрямів аналізу рядів динаміки є вивчення особливостей розвитку явища за окремі періоди часу.

З цією метою для динамічних рядів розраховують ряд показників:

Т - темпи зростання;

- абсолютні прирости;

- темпи приросту.

Абсолютний приріст - різниця між двома рівнями ряду динаміки, має ту ж розмірність, що і рівні самого ряду динаміки. Абсолютні прирости можуть бути ланцюговими і базисними, залежно від способу вибору бази для порівняння:

- ланцюговий абсолютний приріст - ;

- базисний абсолютний приріст - .

Між ланцюговими і базисними абсолютними приростами існує зв'язок:

.

(7.4)

Темп зростання - відносний показник, який розраховується в результаті ділення двох рівнів одного ряду один на одного. Темпи зростання можуть розраховуватися як ланцюгові, коли кожен рівень ряду зіставляється з попереднім рівнем, або як базисні, коли всі рівні ряду зіставляються з одним і тим же рівнем, вибраним за базу порівняння.

Темпи зростання можуть бути представлені у вигляді коефіцієнтів або у вигляді відсотків.

Базисні темпи зростання: .

Ланцюгові темпи приросту: .

Між ланцюговими і базисними темпами зростання існує зв'язок:

.

(7.5)

Для відносної оцінки абсолютних приростів розраховуються показники темпів приросту.

Темп приросту - відносний показник, що показує на скільки відсотків один рівень ряду динаміки більше (або менше) іншого, що приймається за базу для порівняння.

Базисні темпи приросту: .

Ланцюгові темпи приросту: .

Існує зв'язок між темпами зростання і приросту:

Якщо розділити абсолютний приріст (ланцюговий) на темп приросту (ланцюговий) за відповідний період, отримаємо показник, званий, - абсолютне значення одного відсотка приросту:

.

(7.6)

Визначення середнього абсолютного приросту, середніх темпів зростання і приросту. За показниками зміни рівнів ряду динаміки (абсолютні прирости, темпи зростання і приросту), отриманим в результаті аналізу вихідного ряду, можуть бути розраховані узагальнюючі показники у вигляді середніх величин - середній абсолютний приріст, середній темп зростання, середній темп приросту.

Середній абсолютний прирістможе бути отриманий по одній з формул:

.

(7.7)

де n - число рівнів ряду динаміки;

- перший рівень ряду динаміки;

- останній рівень ряду динаміки;

- ланцюгові абсолютні прирости.

Середній темп зростанняможна визначити, користуючись формулами:

.

(7.8)

де n - число розрахованих ланцюгових або базисних темпів зростання;

- рівень ряду, прийнятий за базу для порівняння;

- останній рівень ряду;

- ланцюгові темпи зростання (у коефіцієнтах).

Середній темп приростувизначається наступним чином:

.

(7.9)

Визначення в рядах динаміки загальної тенденції розвитку. Зміна рівнів ряду динаміки впродовж тривалого періоду часу обумовлена дією ряду чинників, які неоднорідні по силі і напряму дії, що надається на явище, що вивчається.

Розглядаючи динамічні ряди, намагаються розділити ці чинники на ті, що формують основну тенденцію розвитку і випадкові чинники.

Для виявлення основної тенденції розвитку використовують спеціальні методи обробки.

Метод укрупнення інтервалів. Самий простий спосіб обробки ряду динаміки, що використовується з метою встановлення закономірностей розвитку, - метод укрупнення інтервалів.

Суть методув тому, аби від інтервалів, або періодів часу, для яких визначені вихідні рівні ряду динаміки, перейти до триваліших періодів часу і поглянути, як рівні ряду змінюються в цьому випадку. Рівні укрупнених рядів обчислюються шляхом підсумовування рівнів за періоди, що увійшли до нового інтервалу, або шляхом обчислення середнього рівня по укрупненому інтервалу.

Недолік методу укрупнення інтервалів полягає в тому, що укрупнений ряд скорочується в m разів, де m – кількість вихідних рівнів, що входять в укрупнений інтервал.

Метод ковзних середніх. Інший спосіб визначення тенденції у ряді динаміки - метод ковзних середніх.

Суть методуполягає в тому, що фактичні рівні ряду замінюються середніми рівнями, обчисленими за певним правилом, наприклад:

— вихідні або фактичні рівні ряду динаміки замінюються середніми рівнями:

; ; ; . . .

(7.10)

В результаті виходить згладжений ряд, що складається з ковзних п′яти-членних середніх рівнів . Між розташуванням рівнівівстановлюється відповідність:

- - - -

Згладжений ряд коротше початкового на число рівнів , деk - число рівнів, вибраних для визначення середніх рівнів ряду.

Згладжування методом ковзних середніх можна робити по чотирьох, п'яти або іншому числу рівнів ряду, використовуючи відповідні формули для усереднювання вихідних рівнів.

Отримані при цьому середні рівні називаються чотирьох-членними ковзними середніми, п′яти-членними ковзними середніми і так далі.

При згладжуванні ряду динаміки по парному числу рівнів виконується додаткова операція, звана центруванням, оскільки, при обчисленні ковзної середньої, наприклад по чотирьох рівнях, відноситься до проміжної точки між моментами часу, коли були зафіксовані фактичні рівніі. Схема обчислень і розташувань рівнів згладженого ряду стає складніша:

... — вихідні рівні;

- ... — згладжені рівні;

... — центровані згладжені рівні;

; .

Метод ковзних середніх не дозволяє отримати чисельні оцінки для вираження основній тенденції у ряді динаміки, даючи лише наочне графічне її представлення.

Метод аналітичного вирівнювання.Найбільш досконалим способом визначення тенденції розвитку у ряді динаміки є метод аналітичного вирівнювання. При цьому методі вихідні рівні ряду динаміки замінюються теоретичними або розрахунковими, які вдають із себе деяку досить просту математичну функцію часу, що виражає загальну тенденцію розвитку ряду динаміки. Найчастіше в якості такої функції вибирають пряму, параболу, експоненту і ін.

Наприклад

де а₀, а₁ - коефіцієнти, що визначаються в методі аналітичного вирівнювання;

- моменти часу, для яких були отримані вихідні і відповідні теоретичні рівні ряду динаміки, які створюють пряму, що визначається коефіцієнтами а₀, а₁ .

Розрахунок коефіцієнтів а₀, а₁ ведеться на основі методу найменших квадратів:

.

(7.11)

Якщо замість підставити(або відповідне вираження для інших математичних функцій), отримаємо:

.

(7.12)

Це функція два змінних (всіівідомі), яка при визначенихдосягає мінімуму. З цього виразу на основі знань, отриманих в курсі вищої математики про екстремум функційn змінних, одержують значення коефіцієнтів .

Для прямої:

.	(7.13)
.	(7.14)

де n - число моментів часу, для яких були отримані вихідні рівні ряду .

Якщо замість абсолютного часу вибрати умовний час так, щоб, то записані вирази для визначенняспрощуються:

, .

(7.15)

Визначення в рядах внутрішньо-річної динаміки. Багато процесів різних сфер людської діяльності схильні до сезонних змін, наприклад, продаж морозива, вжиток електроенергії, виробництво молока, цукру, продаж сільгосппродукції і ін.

Для аналізу рядів динаміки, схильних до сезонних змін, використовуються спеціальні методи, що дозволяють встановити і описати особливості зміни рівнів ряду. Перш, ніж використовувати методи вивчення сезонності, необхідно підготувати дані, приведені в порівнянний вигляд, за декілька років спостереження по місяцях або кварталах. Зміни сезонних коливань вивчаються за допомогою індексів сезонності. Залежно від тенденцій, що існують у ряді динаміки, використовуються різні правила побудови індексів.

1. Ряд динаміки не має загальної тенденції розвитку, або вона не велика.

Індекс сезонності:

,

(7.16)

де - середній рівень ряду, отриманий в результаті усереднювання рівнів ряду за однойменні періоди часу (наприклад, середній рівень січня за всі роки спостереження);

- загальний середній рівень ряду за весь час спостереження.

Висновок про наявність або відсутність у ряді динаміки яскраво вираженої тенденції може бути зроблений, наприклад, за допомогою методу укрупнення інтервалів.

Побудований по отриманих індексах сезонності лінійний графік наочно покаже сезонність даного процесу.

2. Ряд динаміки має загальну тенденцію, і вона визначена методом аналітичного вирівнювання.

Індекс сезонності визначається по формулі:

,

(7.17)

де - вихідні рівні ряду;

- рівні ряду, отримані методом аналітичного вирівнювання;

i - номер місяця або кварталу, для якого визначається індекс сезонності;

n - число років спостереження за процесом.

Побудований по отриманих індексах сезонності лінійний графік наочно покаже сезонність даного процесу.

Приклади вирішення завдань

Приклад 1. Динаміка зміни чисельності населення району області за станом на 1 січня (у тис. чоловік) представлена рядом динаміки:

У кордонах	2001	2002	2003	2004	2005
У старих	22,0	22,3	22,8
У нових			34,2	34,3	34,4

У 2003 році сталася зміна адміністративного ділення області, і площа району збільшилася, відповідно збільшилася і чисельність населення району. Приведіть ряд динаміки у порівняльний вид.

Рішення

Для приведення ряду в порівнянний вигляд необхідно для 2003 року знати чисельність населення в старих і нових кордонах району для визначення коефіцієнта перерахунку:

Всі рівні ряду, передуючі 2003 року, умножаються на коефіцієнт К і ряд набирає вигляду:

2001	2002	2003	2004	2005
33,0	33,5	34,2	34,3	34,4

Відповідь. Після цього перетворення ряду динаміки можливий подальший його аналіз.

Приклад 2. На 01.01.2005 р. на підприємстві чисельність тих, що працюють склала 250 осіб. З 05.01.2005 р. прийнято на роботу 5 осіб, 10.01.2005 р. – звільнено 15 осіб, 15.01.2005 р. – прийнято 10 осіб, 26.01.2005 р. – звільнено 3 особи. Визначите середньомісячну чисельність тих, що працюють на підприємстві.

Рішення

У завданні розглядається моментний ряд динаміки з нерівно-віддаленими датами, тому розрахункова формула для її вирішення наступна:

Рішення представимо у вигляді таблиці:

Дата	yі	tі (кількість днів між датами)	yі* tі
01.01.2005-04.01.2005	250	4 дня	1 000
05.01.2005-09.01.2005	250+5=255	5 днів	1 275
10.01.2005-14.01.2005	255-15=240	5 днів	1 200
15.01.2005-25.01.2005	240+10=250	11 днів	2 750
26.01.2005-31.01.2005	250-3=247	6 днів	1 482
Разом	Х	31 день	7 707

Таким чином, осіб.

Відповідь. Середньомісячна чисельність робітників підприємства складає 249 осіб.

Приклад 3.Дані про реалізацію молочної продукції в магазинах міста по місяцях 2007-2009 рр. представлені в таблиці (у тоннах). Визначте тенденцію реалізації молочної продукції в магазинах міста способом укрупнення інтервалів.

місяць	2007	2008	2009	місяць	2007	2008	2009
січень	5,3	5,3	5,4	липень	11,8	12,2	12,5
лютий	5,3	5,1	5,2	серпень	10,3	10,4	10,8
березень	7,9	8,3	8,2	вересень	8,2	8,0	8,3
квітень	8,2	9,0	9,3	жовтень	6,5	6,6	6,8
травень	9,8	9,5	10,1	листопад	5,4	5,5	5,7
червень	12,5	13,0	13,1	грудень	5,5	5,5	5,6

Рішення

Вихідні рівні ряду динаміки схильні до сезонних змін тому для визначення загальної тенденції перейдемо від щомісячних рівнів до річних рівнів:

місяць	2007	2008	2009	місяць	2007	2008	2009
січень	5,3	5,3	5,4	липень	11,8	12,2	12,5
лютий	5,3	5,1	5,2	серпень	10,3	10,4	10,8
березень	7,9	8,3	8,2	вересень	8,2	8,0	8,3
квітень	8,2	9,0	9,3	жовтень	6,5	6,6	6,8
травень	9,8	9,5	10,1	листопад	5,4	5,5	5,7
червень	12,5	13,0	13,1	грудень	5,5	5,5	5,6
Разом за рік					96,7	98,4	101,0

Річні рівні реалізації молочної продукції:

1987р. - 96,7 тонн;

1988р. - 98,4 тонн;

1989р. - 101 тонна.

Відповідь. Показники, які отримані в результаті переходу до річних рівнів ряду динаміки, показують загальну тенденцію зростання реалізації молочної продукції.

Приклад 4. Дані про виробництво бавовни-сирцю з 1960 по 1982 рр. наведено в таблиці. Визначте основну тенденцію у виробництві бавовни-сирцю способом ковзної середньої.

Роки	Валовий збір бавовни-сирцю, млн. т.	Роки	Валовий збір бавовни-сирцю, млн. т.	Роки	Валовий збір бавовни-сирцю, млн. т.	Роки	Валовий збір бавовни-сирцю, млн. т.
1960	4,3	1966	6,0	1972	7,3	1978	8,5
1961	4,5	1967	6,0	1973	7,7	1979	9,2
1962	4,3	1968	5,9	1974	8,4	1980	9,9
1963	5,2	1969	5,7	1975	7,9	1981	9,6
1964	5,3	1970	6,9	1976	8,3	1982	9,3
1965	5,7	1971	7,1	1977	8,8

Рішення

1) Для визначення основної тенденції візьмемо п′яти-членну ковзну середню:

.

Розрахунки приведемо у табличному виді:

Роки	Валовий збір бавовни-сирцю, млн. т.	Ковзна п′яти-членна середня
1960	4,3	—
1961	4,5	—
1962	4,3	4,72
1963	5,2	5,00
1964	5,3	5,30
1965	5,7	5,64
1966	6,0	5,78
1967	6,0	5,86
1968	5,9	6,10
1969	5,7	6,32
1970	6,9	6,58
1971	7,1	6,94
1972	7,3	7,48
1973	7,7	7,68
1974	8,4	7,92
1975	7,9	8,22
1976	8,3	8,38
1977	8,8	8,54
1978	8,5	8,94
1979	9,2	9,18
1980	9,9	9,30
1981	9,6	—
1982	9,3	—

Відповідь. Аналіз розрахованих ковзних середніх показує загальну тенденцію зростання виробництва бавовни-сирцю.

Приклад 5. Є наступні дані про обсяги експорту (О_экс) товарів з України за 1996-2007 рр.

млн. дол. США

Рік	1996	1997	1998	1999	2000	2001
Оэкс	14400,8	14231,9	12637,4	11581,6	14572,5	16264,7
Рік	2002	2003	2004	2005	2006	2007
Оэкс	17957,1	23066,8	32666,1	34228,4	38368,0	49248,1

За даними наведеними в таблиці визначити прості показники аналізу динаміки. У якості базисного рівня прийняти: а) передуючий рівень ряду; б) рівень 1996 року. Розрахунки надати в табличному виді.

Рішення

1. Абсолютній приріст визначається за формулою:

,

при y₁ = y₂₀₀₇ ланцюговий приріст складе:

49248,1 - 38368,0 = 10880,1 млн. дол.,

при y₁ = y₂₀₀₇ базисний приріст за період 1996-2007 рр. складе:

49248,1 - 14400,8 = 34847,3 млн. дол.

Аналогічним чином розраховані прирости надані в таблиці.

2. Темп зростання визначається за формулою:

.

Розрахунки темпів зростання за цією формулою наведено в таблиці.

3. Темп приросту будемо визначати за формулою:

.

Розрахунки темпів приросту за цією формулою наведено в таблиці.

4. Абсолютне значення одного проценту приросту визначається наступним чином:

.

Розрахунки абсолютного значення одного проценту приросту наведено в таблиці.

Рік	Оэкс ( уі), млн. дол.	, млн. дол.	, млн. дол.		Аі, млн. дол.
1996	14400,8	-	-	-	-
1997	14231,9	- 168,9	0,988	- 0,012	144,0
1998	12637,4	- 1594,5	0,888	- 0,112	142,3
1999	11581,6	- 1055,8	0,916	- 0,084	126,4
2000	14572,5	2990,9	1,258	0,258	115,8
2001	16264,7	1692,2	1,116	0,116	145,7
2002	17957,1	1692,4	1,104	0,104	162,6
2003	23066,8	5109,7	1,285	0,285	179,6
2004	32666,1	9599,3	1,416	0,416	230,7
2005	34228,4	1562,3	1,048	0,048	326,7
2006	38368,0	4139,6	1,121	0,121	342,3
2007	49248,1	10880,1	1,284	0,284	383,7
Усього	279223,4	34847,3	3,420	2,420	Аб =144,0

Відповідь. За період, що розглядається експорт товарів з України з 14400,8 млн. дол. у 1996 році збільшився на 34847,3 млн. дол. або у 3,42 рази і склав у 2007 році 49248,1 млн. дол. У 1997-1999 рр. спостерігалося зниження обсягу експорту про що свідчать від′ємні ланцюгові показники абсолютного приросту та темпу приросту. З 2000 року до 2007 року обсяги експорту зростали. Найбільше зростання у порівнянні з передуючим роком було у 2007 році, коли абсолютний приріст склав 10880,1 млн. дол. Аналіз темпу зростання показує, що найбільше зростання у порівнянні з попереднім роком було у 2004 році (зростання у 1,416 рази).

Приклад 6. Використовуючи вихідні дані до задачі 8.4 визначити середні показники аналізу динаміки експорту товарів з Україна за 1996-2007 рр.

Рішення

1. Середній рівень ряду динаміки визначається за формулою:

= 279223,4 / 12 = 23268,6 млн. дол.

2. Середній абсолютний приріст визначимо за формулою:

34847,3 / (12 – 1) = 3167,9 млн. дол.

3. Середній темп зростання визначимо наступним чином:

1,118.

4. Середній темп приросту розрахуємо по формулі:

= 1,118 – 1 = 0,118.

Відповідь. Середні показники аналізу рядів динаміки складають:

- середній рівень ряду – 23268,6 млн. дол.;

- середній абсолютний приріст – 3167,9 млн. дол.;

- середній темп зростання – 1,118;

- середній темп приросту – 0,118.

Приклад 7. Використовуючи вихідні дані до задачі 8.4 визначити основну тенденцію зміни обсягу експорту товарів з України методом аналітичного вирівнювання ряду динаміки по прямій.

Рішення

1. При вирівнюванні ряду динаміки по прямі рівняння тренду має вигляд:

.

2. Параметри рівняння визначено по наступним формулам:

; .

3. Рішення задачі представимо в таблиці:

Рік	Оэкс (уі), млн. дол.	ti	yi*ti	ti2
1996	14400,8	- 11	- 158408,8	121	6263,2
1997	14231,9	- 9	- 128087,1	81	9355,1
1998	12637,4	- 7	- 88461,8	49	12447,0
1999	11581,6	- 5	- 57908,0	25	15538,9
2000	14572,5	- 3	- 43717,5	9	18630,8
2001	16264,7	- 1	- 16264,7	1	21722,7
2002	17957,1	1	17957,1	1	24814,5
2003	23066,8	3	69200,4	9	27906,4
2004	32666,1	5	163330,5	25	30998,3
2005	34228,4	7	239598,8	49	34090,2
2006	38368,0	9	345312,0	81	37182,1
2007	49248,1	11	541729,1	121	40274,0
Усього	279223,4		884280,0	572	279223,3

4. млн. дол.;

1545,944 млн. дол. / рік .

Відповідь. Рівняння тренду має вигляд

Приклад 8. За квартальними даними споживання морозива наведеними в таблиці визначити внутрішньо-річну сезонну хвилю споживання. Зробити висновки.

Обсяг споживання, тон	2007				2008				2008
	квартали				квартали				квартали
	I	II	III	IV	I	II	III	IV	I	II	III	IV
	5	7	9	6	6	8	10	7	7	9	11	8

Рішення

1. Ряд динаміки при коливання рівнів в рамках кожного року має явну тенденцію збільшення споживання морозива, тому перш за все треба визначити основну тенденцію зростання за допомогою аналітичного вирівнювання ряду динаміки.

2. Результати розрахунків надамо в таблиці.

Рік, квартал	Опот (уі), тон	ti	yi*ti	ti2
2007-І кв.	5	- 11	- 55	121	6,2
ІІ кв.	7	- 9	- 63	81	6,5
ІІІ кв.	9	- 7	-63	49	6,8
IV кв.	6	- 5	- 30	25	7,1
2008-І кв.	6	- 3	- 18	9	7,4
ІІ кв.	8	- 1	- 8	1	7,7
ІІІ кв.	10	1	10	1	8,0
IV кв.	7	3	21	9	8,3
2009-І кв.	7	5	35	25	8,6
ІІ кв.	9	7	63	49	8,9
ІІІ кв.	11	9	99	81	9,2
IV кв.	8	11	88	121	9,5
Усього	93		79	572	94,2

3. тон

тон / кв.

4. Тенденція споживання визначається рівнянням: =7,75 + 0,138_*а₁ .

5. Індекс сезонності визначатимемо по формулі: .

6. Індекс сезонності за І квартал - 81,08%;

ІІ квартал - 103,90 %;

ІІІ квартал - 125,00 %;

ІV квартал - 84,34 %.

Відповідь. Найбільше споживання морозива припадає на 3-й квартал року, а найменше – на 1-й квартал. Про це свідчать розраховані індекси сезонності.

Тести

1. Аналіз ланцюгових абсолютних приростів показує, що вони додатні та приблизно однакові. Це свідчить про наступну тенденцію в розвитку явища:

а) рівномірне зростання;

б) прискорене зростання;

в) рівномірне зниження;

г) прискорене зниження.

2. Дані про чисельність робітників підприємства на перший день кожного місяця за 2008-2009 рр. – це ряд динаміки:

а) інтервальний;

б) моментний;

в) середніх величин;

г) абсолютних величин.

3. Підприємство виробляє 10 видів продукції. По кожному виду продукції є витрати на її виробництво за кожний місяць 2009 року – це ряд динаміки:

а) інтервальний;

б) моментний;

в) середніх величин;

г) абсолютних величин.

4. Показник аналізу рядів динаміки, що характеризує абсолютну швидкість зростання або зниження рівня за одиницю часу, називають:

а) абсолютним приростом;

б) темпом зростання;

в) середнім абсолютним приростом;

г) абсолютним значенням 1-го % приросту.

5. По п′яти рівням ряду динаміки розраховані ланцюгові абсолютні прирости наведені в таблиці. По характеру зміни ланцюгових абсолютних приростів визначте, яка з

№ п/п	1	2	3	4	нижче перелічених тенденцій розвитку явища має місце:
, тон	2	6	10	22

а) прискорене зростання;

б) прискорене зниження;

в) уповільнене зростання;

г) уповільнене зниження.

6. По п′яти рівням ряду динаміки розраховані ланцюгові абсолютні прирости наведені в таблиці. По характеру зміни ланцюгових абсолютних приростів визначте, яка з

№ п/п	1	2	3	4	нижче перелічених тенденцій розвитку явища має місце:
, тон	- 2	- 8	- 12	- 18

а) прискорене зростання;

б) прискорене зниження;

в) уповільнене зростання;

г) уповільнене зниження.

7. По п′яти рівням ряду динаміки розраховані ланцюгові абсолютні прирости наведені в таблиці. По характеру зміни ланцюгових абсолютних приростів визначте, яка з

№ п/п	1	2	3	4	нижче перелічених тенденцій розвитку явища має місце:
, тон	20	10	8	2

а) прискорене зростання;

б) прискорене зниження;

в) уповільнене зростання;

г) уповільнене зниження.

8. По п′яти рівням ряду динаміки розраховані ланцюгові абсолютні прирости наведені в таблиці. По характеру зміни ланцюгових абсолютних приростів визначте, яка з

№ п/п	1	2	3	4	нижче перелічених тенденцій розвитку явища має місце:
, тон	- 20	- 10	- 8	- 2

а) прискорене зростання;

б) прискорене зниження;

в) уповільнене зростання;

г) уповільнене зниження.

Контрольні питання

1. Ряди динаміки: визначення поняття; класифікація по виду рівнів та характеристиці рівня розвитку явища, що вивчається.

2. Охарактеризуйте наступні показники аналізу рядів динаміки: абсолютний приріст та темп росту.

3. Охарактеризуйте наступні показники аналізу рядів динаміки: темп приросту та абсолютне значення одного проценту приросту.

4. Хронологічна середня: визначення поняття; порядок розрахунку в інтервальних та моментних рядах.

5. Охарактеризуйте наступні середні показники аналізу рядів динаміки: абсолютний приріст; темп росту; темп приросту.

6. Компоненти ряду динаміки та характеристика адитивної моделі ряду динаміки.

7. Вивчення основної тенденції розвитку явища способом збільшення інтервалів: сутність; недоліки.

8. Вивчення основної тенденції розвитку явища за допомогою ковзаючої середньої: сутність; недоліки.

9. Аналітичне вирівнювання ряду динаміки: сутність; загальне рівняння тренду; рівняння тренду, які частіше всього використовують.

10. Показники вимірювання коливань рівнів ряду відносно тренду.

11. Індекси сезонності: визначення; показники сезонних коливань.

Завдання для контрольної та самостійної роботи

За даними таблиці 1 додатку Е відповідно своєму варіанту необхідно.

7.1 Встановити вид ряду динаміки.

7.2 Дослідити ряд на порівнянність його рівнів.

7.3 Визначити прості показники аналізу рядів динаміки. Результати розрахунків звести в таблицю. Зробити висновки.

7.4 Визначити середні показники аналізу рядів динаміки. Зробити висновки.

7.5 Виявити основну тенденцію розвитку при допомозі: а - методу укрупнення інтервалів, укрупнивши квартальні рівні в річні; б - методу ковзною середньою з використанням трьох-членної ковзної середньої; в - метод аналітичного вирівнювання застосовуючи лінійну модель тренду. Після вживання кожного методу необхідно зробити висновки. В методі аналітичного вирівнювання проаналізувати параметри рівняння тренду a₀, a₁.

7.6 Визначити внутрішньо-річну сезонну хвилю розвитку. Зробити висновки.