Тема 8. Статистичні індекси

Аналітичний матеріал

Індекс– це відносна величина, яка характеризує зміну в часі, співвідношення в просторі рівнів суспільного явища, що вивчається, або виконання плану. Індекси характеризують співвідношення складних явищ, що складаються з безпосередньо невідповідних, різнорідних, непіддатливих підсумовуванню елементів, які зв'язані відомою єдністю.

Індивідуальні індексивиражають співвідношення окремих елементів сукупності.

,

(8.1)

де – індивідуальний індекс;

– порівнюваний рівень;

– база порівняння.

Введемо позначення:

– кількість;

–ціна;

– собівартість одиниці продукції;

– витрати часу на виробництво одиниці продукції.

Тоді можна виділити наступні види індивідуальних індексів:

1. Індекс фізичного обсягу виробництва: ;

2. Індекс цін: ;

3. Індекс собівартості: ;

4. Індекс трудомісткості: ;

5. Індекс товарообігу: .

Загальні індекси показують співвідношення сукупності явищ, які складаються з неоднорідних, безпосередньо несумірних елементів. Загальні індекси діляться на агрегатні індекси; середні з індивідуальних індексів; індекси середніх величин.

Агрегатний індекс– індекс, чисельник і знаменник дробу яких представляє з'єднання сум, творів або сум творів рівнів явища, що вивчається. Агрегатна форма індексу показує відносні зміни економічного явища, що вивчається, і абсолютні розміри цієї зміни в найбільш простій і ясній формі.

Правило зважування – співмножники кількісних індексованих показників беруться на рівні базисного періоду, а співмножники якісних індексів – на рівні звітного періоду.

Агрегатний індекс цін:

,

(8.2)

де – ціна продукції відповідно в базисному і звітному періодах;

– фізичний об'єм продукції відповідно в базисному і звітному періодах.

Цей індекс показує зміну цін звітного періоду у порівнянні з базисним, але по продукції, яка реалізована в звітному періоді, інакше кажучи, він характеризує фактичну економію від зниження цін .

Агрегатний індекс фізичного об'єму:

.

(8.3)

Індекс собівартості одиниці продукції:

,

(8.4)

де – собівартість продукції відповідно в базисному і звітному періодах.

Індекс показує фактичну собівартість в звітному періоді в порівнянні з базисною, а також абсолютний розмір економії або перевитрати в результаті зміни собівартості.

Індекс трудомісткості:

,

(8.5)

де – витрати часу на виробництво одиниці продукції відповідно в базисному і звітному періодах.

Індекс показує зміни трудомісткості підприємства в звітному періоді в порівнянні з базовим.

Індекс продуктивності праці:

.

(8.6)

Середні з індивідуальних індексів. Хай є ,,

Хай є ,,

Система взаємозв'язаних індексів. Факторний метод. Зв'язаними називаються такі індекси, для яких індекс твору дорівнює твору індексів співмножників.

При побудові системи взаємозв'язаних індексів ваги зв'язаних індексів повинні братися на рівні різних періодів. Якщо індекси якісних показників побудовані з вагами звітного періоду, то індекси кількісних показників мають бути побудовані з вагами базисного періоду.

Якщо позначити факторні ознаки буквами а, b, с, то система взаємозв'язаних індексів матиме наступний вигляд:

Особливістю факторного аналізу є те, що всі чинники розглядаються як незалежні один від одного.

Індекси середніх величин. При дослідженні динаміки середніх показників розрізняють індекси змінного складу, постійного (фіксованого складу), індекси структурних зрушень.

Індекс змінного складу розраховується як відношення два зважених середніх з різними вагами.

,

(8.7)

де – індекс чинникаx змінного складу;

–середня арифметична зважена чинника x відповідно в базисному і звітному періодах;

–відповідно варіанти і ваги чинника x в звітному і базисному періодах.

На величину індексу змінного складу впливають зміна величини чинника і зміна його ваги в загальному об'ємі сукупності.

Індекс фіксованого складувідображає вплив на зміну середніх величин лише індексованих показників при постійних вагах:

.

(8.8)

Індекс структурних зрушень дозволяє визначити міру впливу структурних зрушень на зміну середньої величини чинника x:

.

(8.9)

Між розглянутими індексами існує взаємозв'язок:

.

(8.10)

Приклади вирішення завдань

Приклад 1. За даними наведеними в таблиці розрахуйте загальний агрегатний індекс цін та загальний агрегатний індекс фізичного обсягу продажів.

Товар	Об'єм продажів, кг		Ціна, грн. / кг
	Базисний період	Звітний період	Базисний період	Звітний період
А	6000	5300	2,50	3,40
Б	4400	4900	6,45	5,90
В	3700	3100	1,80	1,65

Рішення

1. Агрегатний індекс цін визначається по формулі:

.

2. Агрегатний індекс фізичного обсягу продажів:

.

3. Результати розрахунку приведемо в таблиці:

Товар	q		p		q0*p0	q1*p1	q1*p0
	q0	q1	p0	p1
А	6000	5300	2,50	3,40	15000,00	18020,00	13250,00
Б	4400	4900	6,45	5,90	28380,00	28910,00	31605,00
В	3700	3100	1,80	1,65	6660,00	5115,00	5580,00
Усього	х	х	х	х	50040,00	52045,00	50435,00

4. 1,0319 або 103,19 %.

5. 1,0079 або 100,79 %.

Відповідь. Агрегатний індекс цін склав – 103, 19 %, а агрегатний індекс фізичного обсягу продажів – 100,79 %.

Пример 2. По трьом видобувним дільницям шахти є наступні дані про вартості видобутку вугілля. Обчисліть загальний індекс вартості добутого вугілля по шахті.

Номер видобувної дільниці	Обсяг вугілля добутого у ба­зисному періоді, тис. тон	Збільшення (+) або зменшення (-) вартості видобутого вугілля в звітному періоді в порівнянні з базисним %
1	1200	Без змін
2	1800	+3
3	970	-2

Рішення

1. Загальний індекс вартості видобутого вугілля визначається за формулою:

.

2. Рішення задачі надамо в табличному вигляді:

Номер видобувної дільниці	p0*q0	p1*q1=ipq* p0*q0
1	1200	1,0*1200 = 1200
2	1800	1,03*1800 = 1854
3	970	0,98*970 = 951
Усього	3970	4005

3. 1,0088 або 100,88 %.

Відповідь.Загальний індекс вартості видобутого вугілля по шахті склав 100.88 %.

Приклад 3. Відомо, що роздрібна ціна на пиво виросла на 55%, а об'єм споживання пива скоротився на 30 % у порівнянні з базовим періодом. Як змінилися загальні обсяги реалізації пива?

Рішення

1. Агрегатний індекс цін на пиво у звітному періоді – І_р =1,55.

2. Агрегатний індекс фізичного обсягу споживання – І_q = 0,70.

3. Агрегатний індекс обсягу реалізації пива визначимо наступним чином:

I_pq = I_p*I_q = 1,55_*0,70 = 1,085 або 108,5 %.

Відповідь. Агрегатний індекс обсягу реалізації пива склав 108,5 %.

Приклад 4. За даними наведеними в таблиці обчисліть індекс середньої собівартості змінного складу, індекс собівартості постійного складу і індекс структурних зрушень.

Вид продукції	Собівартість одиниці продукції, грн.		Обсяг виробництва продукції, шт.
	базисний період	звітний період	базисний період	звітний період
1	75	72	200	150
2	30	28	100	160
3	50	45	500	600

Рішення

1. Індекс собівартості змінного складу має вигляд:

.

2. Індекс собівартості постійного (фіксованого) складу:

.

3. Індекс структурних зрушень:

.

4. Рішення задачі надамо в таблиці.

Вид продукції	z0	z1	q0	q1	z0*q0	z1*q1	z0*q1
	75	72	200	150	15000	10800	14400
	30	28	100	160	3000	4480	2800
	50	45	500	600	25000	27000	22500
Усього	х	х	800	910	43000	42280	39700

5. =0,8644 або 86,44 %;

6. 1,0650 або 106,50 %;

7. 0,8117 або 81,17 %.

Перевірка: 1,0650 _* 0,8117 = 0,8645.

Відповідь. Індекс собівартості змінного складу – 86,44 %, індекс собівартості фіксованого складу – 106,50 %, індекс структурних зрушень – 0,8117.

Тести

1. Фактичну економію одержану підприємством від зниження цін у звітному періоді у порівнянні з базисним характеризує:

а) агрегатний індекс цін в якому у якості ваги прийнято дані про кількість реалізованої продукції у звітному періоді;

б) індивідуальний індекс цін перемножений на кількість реалізованої продукції у звітному періоді;

в) агрегатний індекс цін в якому у якості ваги прийнято дані про кількість реалізованої продукції у базисному періоді;

г) індекс фізичного обсягу продукції.

2. Умовну економію, яку могло б одержати підприємство від зниження цін у звітному періоді у порівнянні з базисним характеризує:

а) агрегатний індекс цін в якому у якості ваги прийнято дані про кількість реалізованої продукції у звітному періоді;

б) індивідуальний індекс цін перемножений на кількість реалізованої продукції у звітному періоді;

в) агрегатний індекс цін в якому у якості ваги прийнято дані про кількість реалізованої продукції у базисному періоді;

г) індекс фізичного обсягу продукції.

3. Співмножники собівартості одиниці продукції при розрахунку агрегатного індексу собівартості слід брати на рівні:

а) базисного періоду;

б) звітного періоду;

в) базисного або звітного періоду;

г) співмножників не повинно бути взагалі.

4. Співмножники фізичного обсягу продукції при розрахунку агрегатного індексу цін слід брати:

а) базисного періоду;

б) звітного періоду;

в) базисного або звітного періоду;

г) співмножників не повинно бути взагалі.

5. Співмножники ціни одиниці продукції при розрахунку індивідуального індексу цін слід брати:

а) базисного періоду;

б) звітного періоду;

в) базисного або звітного періоду;

г) співмножників не повинно бути взагалі.

6. Індекс, який розраховується як співвідношення двох зважених середніх з різними вагами, називають:

а) індексом структурних зрушень;

б) індексом фіксованого складу;

в) індексом змінного складу;

г) агрегатним індексом індексованого показника.

Контрольні питання

1. Статистичні індекси: визначення поняття; класифікація; агрегатні індекси собівартості одиниці продукції та витрат на виробництво.

2. Індекси середніх величин: підприємство випускає і реалізує n видів продукції; по кожному з видів продукції є дані про ціну реалізації – p_i та обсяг виробництва – q_i відповідно за базисний та звітний періоди. Запишіть формули для розрахунку індексів ціни перемінного складу, постійного складу та структурних здвигів.

3. П’ять показників (a,b,c,d,e) зв’язані між собою наступним чином – a = b*c*d*e. Запишіть для цих показників систему взаємозв’язаних індексів.

4. Наведіть правило зважування агрегатних індексів та продемонструйте його на прикладі індексів собівартості одиниці продукції та кількості виробленої продукції.

Завдання для контрольної та самостійної роботи

8.1 Згідно таблиці варіантів, яка наведена у таблиці 1 додатку Ж, для свого варіанту обчисліть груповий агрегатний індекс цін, груповий агрегатний індекс фізичного об'єму продажів на товари представлені в таблиці 2 додатку Ж.

8.2 Згідно таблиці варіантів, яка наведена у таблиці 1 додатку Ж, для свого варіанту обчисліть загальний індекс фізичного об'єму СМР на види робіт представлені в таблиці 3 додатку Ж.

8.3 Згідно таблиці варіантів, яка наведена у таблиці 1 додатку Ж, для свого варіанту дайте відповідь на питання, які поставлені в таблиці 4 додатку Ж.

8.4 Згідно таблиці варіантів, яка наведена у таблиці 1 додатку Ж, для свого варіанту обчисліть індекс середньої собівартості змінного складу, індекс собівартості постійного складу і індекс структурних зрушень по двом заводам, дані по яким представлені в таблиці 5 додатку Ж.