Молекулярная физика (11-18)
.pdf
5. По формуле (6) подсчитывают эффективный диаметр молекулы воздуха, предвар и- тельно заменяя в формуле n0 . выражением
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n0 n0' |
PT0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После замены, окончательная формула д ля эффективного диаметра |
|
|
молек улы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(20) |
|
|
|
|
|
|
|
|
d эф |
|
|
|
|
|
TP0 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n0' PT0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
В этой формуле: |
|
n0' |
- число Лошмидта (число молекул, находящихся в 1м 3 идеаль- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ного газа при нормальных условиях). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Р0 Т0 - давление и температура при нормальных условиях, - средняя величина из трех зна- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
чений |
|
|
|
,вычисленных по формуле (19), Р, Т – |
давление и температура, при которых пр о- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
текает опыт, берут из показаний |
|
термометра и барометра, находящихся в лаборат ории. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. По формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
T |
|
2 |
|
|
h |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
P |
|
2 |
|
|
V |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
16( |
|
) |
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
( |
|
|
) |
|
( |
|
) |
|
( |
|
) |
|
( |
|
|
) |
|
( |
|
|
) |
|
( |
|
) |
|
|
||||||||||||
|
|
|
r |
|
4 |
|
T |
|
h |
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
V |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
вычислить относительную и абсолютную погрешность измерения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица измерений и вычислений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V V |
|
|
|
h h |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
d эф |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
опыта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контрольные вопросы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1. Какой газ принимают |
|
за |
идеальный? Ч то |
называют средней длиной |
|
свободного проб е- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
га молекулы, эффективным диаметром ее? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2.Выведите формулу для теоретического вычисления длины свободного пробега молек у- лы.
12
3.Какие явления называют явлениями переноса? Выведите основное уравн ение переноса.
4.Что понимают под вязкостью газов ,причины вязкости. Выведите связь коэффициента вязкости ή с длиной свободного пробега молекулы .
5.Выведите расчетные формулы для определения и dэф.
Индивидуальные задания
1.Начертить и объяснить графики изотермического и изобарного процессов в координатах p и V, p и T, T и V.
2.В сосуде при температуре t = 20оC и давлении p = 0,2 МПа содержится смесь газов – ки-
слорода массой m1 = 16 г и азота массой m 2 = 21 г. Определить плотность смеси. Ответ: 2,5кг/м3.
3.Определить наиболее вероятную скорость газа, плотность которого при давлении 40
кПа составляет 0,35 кг/м3. Ответ: 478м/с.
4.На какой высоте плотность воздуха в два раза меньше, чем его плотность на уровне моря? Считать , что температура воздуха одинакова и равна 273 К.
Ответ: 5,5 км.
5.Определить среднюю длину свободного пробега молекул кислорода, находящегося при
температуре 0 0 С, если среднее число z столкновений, испытываемых молекулой в 1 с, равно 3,7.109 .
Ответ: 115 нм.
6.Определить среднюю продолжительность свободного пробега молекул водорода при температуре 300 К и давлении 5 кПа. Эффективный диаметр молекул водорода пр и- нять равным 0,28 нм.
Ответ: 170 нс.
7.При каком давлении средняя длина свободного пробега молекул водорода равна 2,5 см, если температура газа равна 670С? Диаметр молекулы водорода принять равным 0,28 нм.
Ответ: 0,539 Па.
8.Баллон вместимостью V равно 10 л содержит водород массой m=1г. Определить среднюю длину свободного пробега молекул.
Ответ: 1,55 нм.
9.Найти среднее число N всех соударений, которые происходят в течении t=1с между всеми молекулами водорода, занимающего при нормальных условиях объем V=1мм 3.
Ответ: 1,57.1021.
13
10.Найти среднюю длину свободного пробега атомов гелия при нормальных условиях, если при этих условиях коэффициент внутреннего трения для него равен 1.3·10 -4 Па·с. Ответ: 39 нм.
11.Коэффициенты диффузии и внутреннего трения при некоторых услов иях равны соответственно 1.42·10-4 м2/с и 8.5 мкПа·с. Определить концентрацию молекул воздуха при этих
условиях.
Ответ: 1,25·1024 м-3.
Библиографический список
1. Трофимова, Т.И. « Курс физики», Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов. М., 1998 г. Гл. 8, §§ 46-48. С. 92 – 97.
14
1
Федеральное агентство по образованию Ухтинский государственный технический университет
211
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЁМКОСТЕЙ Сp/Cv
ДЛЯ ВОЗДУХА МЕТОДОМ КЛЕМАНА -ДЕЗОРМА
Методические указания к лабораторной работе для студентов всех специальностей дневной и заочной формы обучения
Ухта
2007
1
УДК 53 (075) С 28
ББК 22.3. Я7
Северова, Н.А. Определение отношения теплоёмкостей С p/Cv для воздуха методом Клемана-Дезорма [Текст]: метод. указания/ Н.А.Северова. – Ухта: УГТУ, 2007. – 12 с.: ил.
Методические указания предназначены для выполнения лаборато рной работы по физике по теме «Термодинамика» для студентов всех специальностей.
Содержание методических указаний соответствует рабочей учебной программе.
Методические указания рассмотрены и одобрены кафедрой физики от 19.02.07г., пр. № 5 и предложены для издания.
Рецензент: |
Пономарев Н.С., к.ф-м.н., доцент кафедры физики Ухтинского |
|
государственного технического университета. |
Редактор: |
Шамбулина В.Н., доцент кафедры физики Ухтинского |
|
государственного технического университета. |
В методических указаниях учтены предложения рецензента и редактора.
План 2007 г., позиция 35.
Подписано в печать 30.11.07 г. Компьютерный набор: Северова Н.А.
Объем 12 с. |
Тираж 60 экз. |
Заказ № 215. |
© Ухтинский государственный технический университет, 2007 169300, г. Ухта, ул. Первомайская,13.
Отдел оперативной полиграфии УГТУ . 169300, г. Ухта, ул. Октябрьская,13.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЁМКОСТЕЙ Сp /Cv ДЛЯ ВОЗДУХА
МЕТОДОМ КЛЕМАНА-ДЕЗОРМА
Цель работы: экспериментальное определение показателя адиабаты Сp /Cv для воздуха.
Краткая теория
Согласно первому началу термодинамики: сообщенное системе количество теплоты расходуется на увеличение внутренней энергии системы и совершение системой работы:
Q U A. |
(1) |
Удельной теплоёмкостью с вещества называется величина, |
числен но |
равная количеству теплоты, необходим ой для нагревания единицы массы этого вещества на 1К:
с Q /(m T) . |
(2) |
Молярной теплоёмкостью С вещества называется величина, численно равная количеству теплоты, необходимой для нагревания одного моля вещества
на 1К: |
С Q /( T) . |
(3) |
Следовательно, удельная и молярная теплоемкости связаны соотношением |
||
|
С с . |
(4) |
Для |
газов величина теплоёмкости зависит от |
условий нагревания. Если |
производить нагревание газа при V const , то получаем, соответственно, теплоёмкость газа при постоянном объёме (удельную – сV или молярную –
CV ). Если производить нагревание газа при P const , то получим теплоёмкость газа при постоянном давлении (удельную – сp или молярную –
C p ).
Для газов теплоемкость (как удельная, так и молярная) при постоянном объеме всегда меньше теплоемкости при постоянном давлении CV <Cp . Этот
факт объясняется тем, что при нагревании газа при постоянном давлении (изобарический процесс) подводимое к газу тепло идет как на изменение внутренней энергии, так и на совершение работы расширения. Например, если газ заключен в сосуд с подвижным поршнем, обеспечивающим постоянное давление, то, нагреваясь, он расширяется и поднимает поршень, совершая , таким образом, работу против внешних сил. При нагревании газа при постоянном объёме (изохорический процесс) все тепло, подведенное к газу, идёт только на увеличение его внутренней энергии, т.к. работа газа при изохорическом процессе равна нулю.
Из молекулярно-кинетической теории газов известно, что молярные теплоёмкости выражаются следующим образом:
С |
i |
R, |
C |
p |
i 2 R , |
(5) |
|
||||||
V |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3
где i – число степеней свободы молекулы газа; R – универсальная газовая постоянная.
Используя выражения (5) для отношения теплоёмкостей газа получаем:
|
Сp |
|
i 2 |
. |
(6) |
|
C |
i |
|||||
|
|
|
|
|||
|
V |
|
|
|
|
Всоответствии с (6) для одноатомных молекул газа ( i = 3) имеем:
53 1,67 ,
для жёстких одноатомных молекул ( i = 5):
75 1,40 , для жёстких трёхатомных молекул ( i = 6):
86 1,33.
Непосредственное определение CV и Сp газов затруднительно в силу того,
что теплоёмкости газа малы по сравнению с теплоёмкостью сосуда, в котором заключён газ. Проще определять отношение теплоёмкостей Сp /CV ,
пользуясь уравнением Пуассона для адиабатического процесса в газах: |
|
PV const . |
(7) |
Отношение теплоёмкости при постоянном давлении СP к теплоёмкости при
постоянном объёме CV для газов играет большую роль при адиабатических или
близким к ним процессах. Так, например, это отношение используется для определения скорости распространения з вука в газах, при изучении течения газа по трубам со звуковыми и сверхзвуковыми скоростями.
Описание установки
На передней панели (рис. 1, 2) расположены: водяной U-образный манометр
(1) с измерительной линейкой (2), кран K1 напуска воздуха (3), клапан K2 сброса
давления (4), расположен пневмопровод (5) и тумблер включения микропроцессора «КОМПРЕССОР» с индикацией включения (6). U-образный манометр имеет переливной бачок (7).
Установка содержит стеклянный баллон (8), наполняемый воздухом. Баллон соединен с водяным U-образным манометром (1) и компpессоpом с помощью
пневмопровода (рис. 2). На схеме обозначены также клапан K1 и клапан K2 , с помощью которых баллон может быть соединен с компpессоpом и с атмосферой. Поперечное сечение клапана K2 достаточно велико. Процесс установления атмосферного давления в сосуде происходит достаточно быстро.
4
Рис.1. Внешний вид экспериментальной установки
Рис.2. Схема установки
5
Быстрое изменение давления в сосуде происходит практически без теплообмена с окружающей средой, поэтому процесс, происхо дящий при
открывании клапана K2 , с достаточной точностью можно считать адиабатным.
Пусть с помощью компрессора в баллон накачали воздух, затем закрыли клапан К1. Через несколько минут температура воздуха в баллоне станет равной
температуре в лаборатории. Обозначим эту температуру |
T 1 . Давление воздуха в |
|
баллоне P1 при этом равно: |
|
|
P1 P0 |
P', |
(5) |
здесь P0 - атмосферное давление; P' - избыточное давление воздуха, которое
можно определить по показаниям манометра. Выберем мысленно в сосуде объем V вдали от клапана. Будем считать, что число молекул в этом "объеме" неизменно. Начальное состояние воздуха в объеме характ еризуется параметрами
P1 ,T1,V1. . Если открыть на короткое время клапан K 2, то часть воздуха выйдет из
сосуда, давление станет равным P2 P0 , выбранный нами «объем» увеличится
до значения V2 . Температура воздуха понизится, так как при вытекании из сосуда воздух совершает работу против давления окружающего баллон воздуха.
Итак, T2 T1. |
|
|
|
|
|
|
"объема" |
В тот момент времени, когда клапан закрывают, состояние |
|||||||
характеризуется |
параметрами |
P2 ,T2 ,V2 . Считая переход |
из состояния 1 в |
||||
состояние 2 адиабатным процессом, из (4) получим: |
|
|
|||||
|
|
P V |
P V . |
|
(6) |
||
|
|
1 |
1 |
2 |
2 |
|
|
После того |
как клапан |
K2 |
закрыли, |
происходит |
изохорный |
процесс |
|
теплообмена с окружающей средой; температура воздуха приближаетс я к температуре в лаборатории T1, давление воздуха по окончании этого процесса:
P3 P0 P'', |
(7) |
где P'' измеряется по манометру. Параметры воздуха |
после окончания |
изохорного процесса P3 ,T1 ,V3 , причем V3 V2 .
Так как температуры воздуха в первом и третьем состояниях одинаковы, а число молекул в выбранном нами «объёме» постоянно (объем V выбран вдали от клапана), то для состояний 1 и 3 можно применить закон Бойля – Мариотта:
P1 V1 |
P3 |
V3 |
P2 V2 . |
(8) |
||
Решая систему уравнений (6), (8), получим: |
|
|
||||
|
|
|
|
P2 . |
|
|
|
|
|
(9) |
|||
P3 |
|
|
||||
|
P |
|
|
P |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
Прологарифмировав это соотношение, найдем:
6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сp |
|
|
ln |
P1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
(10) |
|||||
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
P1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
P |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Используя соотношения (5) и (7), получим: |
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Сp |
|
|
|
ln |
1 P' |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
. |
|
|
(11) |
|||||
|
|
|
CV |
ln |
1 P'' |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
P' |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Так как избыточное |
давление |
и P'' весьма малы |
по сравнению с |
|||||||||||||||
атмосферным давлением |
P0 , можно использовать |
разложение |
функции типа |
|||||||||||||||
ln(1 + x) в ряд, ограничившись первым членом разложения (при х << 1): |
||||||||||||||||||
Отсюда из (11) получаем: |
ln(1 + x) = x. |
|
|
(12) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Сp |
|
|
|
P' |
. |
|
|
|
|
|
(13) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
C |
|
P' P'' |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Избыточное давление, определяемое по манометру, можно выразить |
||||||||||||||||||
соотношением: |
P a h, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(14) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где h - разность уровней жидкости в манометре; a - постоянный для данного манометра коэффициент, зависящий от плотности жидкости.
Из (13) и (14) получаем:
|
СP |
H |
|
, |
(15) |
|
(H h |
) |
|||||
|
C |
|
|
|||
|
V |
o |
|
|
|
здесь Н и h0 - разности уровней жидкости в манометре в первом и третьем состояниях.
Отметим, что значение h0 соответствует условию, что клапан K 2 закрыли
точно в момент окончания адиабатного процесса. Если закрыть клапан K 2 раньше (до выравнивания давлений) или спустя некоторое время после адиабатного процесса, то результат вычислений по формуле (15) даст в первом случае
завышенное, во втором случае - заниженное значение Сp /CV . Для получения
наиболее точного экспериментального значения определяемой величины необходимо закрыть клапан точно в момент окончания адиабатного про цесса. Так как мы не знаем времени протекания адиабатного процесса, значение разности уровней определяют косвенным графическим методом.
Пусть клапан K2 остается открытым в течение некоторого времени t. В этом
случае процессы, происходящие в объ еме V, можно условно изобразить графически (рис. 3), где 1 - 2 – адиабатный процесс, 2 - 4– изобарный процесс,
7