Молекулярная физика (11-18)

ИЗУЧЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МОЛЕКУЛ ГАЗА ПО СКОРОСТЯМ НА МЕХАНИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Цель работы. Изучение распределений Гаусса и Максв елла на примере использования механической модели – доски Гальтона.

Краткая теория

В молекулярной физике часто приходится пользоваться понятием математической вероятности и среднего значения физической величины. Знакомство с этими понятиями тем более не обходимо, т.к. научное понятие о вероятности отличается от того, которым пользуются в обыденной жизни. Главное отличие состоит в том, что в науке вероятности событий можно выражать числами и сравнивать их количественно. Как находят такие числа?

1. Математическая вероятность. Рассмотрим пример с газом. Пусть объем

сосуда, в котором находится газ, равен V. Допустим, что одну молекулу газа мы как-то пометили и следим за ее перемещением. Какова же вероятность того, что

эта молекула в данный момент времени наход ится в объеме V, который является

частью объема V? Ответ на этот вопрос можно отыскать двумя способами.

1-й способ. Допустим, что у нас есть двое часов, причем одни часы обыкновенные, а другие имеют ту особенность, что идут, когда отмеченная нами

молекула находится в объеме V и останавливаются, когда она из него выходит. Установив часы на нуль, пустим их в ход на длительное время τ. Это время τ

В формуле (1) предполагается, что предел существует. Существование его несомненно, если внешние условия, в которых находится частица, со временем не изменяются. В противном случае предела быть не может: его нет, например, если газ непрерывно расширяется.

2-й способ. Если время наблюдения τ очень велико, то частица многократно

3

достоверностью, если математическая вероятность равна 1.

Математическая вероятность события всегда выражается отношением двух чисел и не может быть больше единицы.

Рассмотрим в виде примера такой вопрос. Молекулы газа, двигаясь хаотически, могут иметь всевозможные скорости. Какова вероятность того, что

численное значение скорости u данной молекулы лежит между u1 и (u1 + du)? Пусть n – общее число молекул, а dn – число молекул, скорости которых лежат между u1 и (u1 + du). Тогда искомая вероятность определится по формуле

Но n1 / n есть вероятность w1 того, что величина x принимает значение x1;

отношение n2 / n – вероятность того, что она принимает значение x2 и т.д., поэтому равенство (6) можно переписать в виде:

4

Итак, среднее значение переменной величины x равно сумме произведений всех значений этой величины на вероятность того, что она принимает данное значение.

Если какая-либо величина принимает непрерывный ряд значений между 0 и ∞, то среднее значение этой величины выражается интегралом:

x xdw,

(9)

0

где dw есть вероятность того, что значение x лежит в бесконечно малом

интервале между x и (x + dx).

Средним квадратичным данной величины называют корень квадратный из ее

Для нахождения среднего квадрата можно воспользоваться формулами ( 5) –

(9). Тогда в случае, когда величина x2 принимает непрерывный ряд значений в интервале от 0 до ∞, ее средний квадрат, согласно (9), определяется по формуле:

Если, возведя обе части равенства (9) в квадрат, сравнить результат с формулой (11), то станет ясно, что квадрат средней величины не равен среднему

квадрату этой величины, т.е. x 2 x2 .

Понятие о статистическом законе распределения

Нам известно, что молекулы при столкновении меняют свои скорости, но мы не можем предвидеть, с какой скоростью станет двигаться произвольно выбранная молекула в тот или иной момент времени. Мы говорим, что скорость любой молекулы в данный момент времени случайна. Однако и число молекул, скорости которых лежат в том или другом интервале скоростей, подчиняется определенному статистическому закону распределения.

Наглядное представление о случайном явлении и о стати стическом законе дает модельный опыт с доской Гальтона (рис .1, а). В верхней части доски забиты гвоздики в шахматном порядке. Внизу расп оложены желобки одинаковой ширины. Спереди прибор закрыт стеклом. Вверху над гвоздиками укреплена воронка. Будем бросать в воронку по одной дробинке, следя за ее движением.

5

Ударяясь о гвоздики, дробинки меняют направление дв ижения и падают в какойнибудь желобок. Допустим, что первая дробинка упала в жел об 3. Вторая дробинка, конечно, будет двигаться по иной траектории и, вер оятно, упадет в другой желобок. Но может случиться и так, что и она упадет в ж елобок 3. Повторим опыт много раз, записывая, в какой желобок упадет дробинка. Вот начало записи в одном из опытов: 5, 4, 2, 3, 1, 5, 9, 3, 3, 3, 2, 1,…. Есть ли какаялибо закономерность в чередование этих чисел? Не существует ли закона, который позволил бы предсказать, в какой желоб попадет дробинка при том, или ином бросании, например, 101-м? Такого закона нет: и траектория дробинки, и столкновение ее с тем или другим гвоздиком, и попадание в тот или иной желобок – все это явление случайное.

C1

A

Рис.1. Доска Гальтона (а) и демонстрация статистического закона распределения дробинок по желобкам (б).

Поместим теперь в воронку сразу много дробинок и не станем обращать внимание на то, как при падении дробинки движутся между гвоздиками, а поинтересуемся только результатом – распределением дробинок по желобкам (рис.1, б). Оказывается, что больше всего дробинки падают в средний желобок, а в боковых ячейках, их окажется тем меньше, чем дальше желобок отс тоит от середины. При повторении опыта всякий раз получит ся одно и то же распределение, независимо от общего числа дробинок, но при непременном условии, что это их общее количество достаточно велико.

Проведем еще один опыт. Прежде чем насыпать дробинки в воронку, пронумеруем их тем или иным способом. Когда они распределятся по желобкам, сосчитаем, сколько дробинок попало в желобок 1, записав их номера. Так же поступим с дробинками, попавшими в остальные желобки. Затем перепишем все дробинки и повторим опыт. Номер дробинок в каждом из желобков будет теперь иным, но в каждом желобке окажется почти столько же дробинок, как и раньше.

Таким образом, в опыте попадание д робинки в тот или иной желобок – явление случайное, а распределение дробинок по желобкам подчиняется

6

определенному статистическому закону. Отобразим этот закон графически. Обозначим через N общее число дробинок, через

желобок 1, через N2 число дробинок, оказавшихся в желобке 2 и т.д. Найдем

отношения N1 / N, N2 / N, N3 / N…., а далее отметим, что закономерность состоит в следующем: эти отношения при повторении опытов остаются приблизительно постоянными, если число дробинок в елико.

Желобки имеют одинаковую ширину. Поэтому число дробинок в каждом желобке пропорционально высоте столбика дробинок в этом желобке.

Таким образом, графически стати стический закон распределения дробинок по желобкам изобразится ломаной линией (рис.1 , б), которую проведем по верхним границам заполненного частицами объема . Но этому графику можно приписать и иной смысл. Будем бросать в воронку одну и ту же дробинку и найдем, сколько раз из общего числа бросаний дробинка попадет в тот или иной

желобок. Пусть n1, n2, n3 и т.д. суть числа попаданий соответственно в желобки 1, 2, 3 и т.д., и пусть общее число бросаний составило n. Тогда вероятность

попадания дробинки в данный желобок будет измерятьс я отношениями n1/n, n2/n, n3/n и т.д.

Построив столбики, высоты которых пропорциональны числам

n3/n и т.д., получим график распределения вероятностей попадания одной дробинки в любой данный желобок. Если этот график сопоставить с тем, кото рый мы до этого получили для распределения множества дробинок по желобкам, то окажется, что эти графики друг от друга не отличаются.

Таким образом, один и тот же график (рис. 1, б) можно истолковать двояко: как изображение статистического закона распределения дробинок по желобкам или как изображение вероятности попадания дробинки в определенный желобок.

Чем уже желобки, тем более гладкой будет кривая распределения дробинок. Предельно мы получим так называемую кривую Гаусса (рис. 2), поскольку

распределение дробинок по желобкам в рассмотренных опытах описывается функцией Гаусса, которую приближенно можно записать так :

7

где n – среднее значение величины n (в рассмотренном примере n есть число

дробинок в желобке), ехр – основание натуральных логарифмов, а wn –

вероятность данного значения n.

Кривая изображающая гауссово распределение (ее называют гауссовой или нормальной), имеет колоколообразную форму, симметричную относительно

максимума, который лежит при n n . Такой кривой описывается, например, распределение ошибок измерения, распред еление компонент скорости молекул газа, находящегося в тепловом равновесии, но сами скорости молекул распределяются по иному закону, кот орый называется максвелловским .

Закон Максвелла о распределении по скоростям для молекул идеального газа, находящегося в состоянии равновесия выражается следующей формулой:

где dw – вероятность того, что молекула имеет скорост ь в интервале между u и (u+du) , n – число молекул в единице объема, dn – среднее число молекул в

единичном объеме со скоростями между u и (u+du) , ехр – основание

натуральных логарифмов, uвер – наиболее вероятная скорость молекулы, F(u) – максвелловская функция распределения молекул газа по модулям их скоростей .

Как следует из (14), функция распределения, равная

закон распределения Максвелла по абсолютным значениям скоростей, необходимо проинтегрировать по всем значениям скоростей, лежащим и внутри

тонкого шарового слоя радиусом u и толщиной du. Объем этого слоя равен

4πu2du.

Из физического смысла функции распределения следует условие нормировки для максвелловского распределения:

8

температур, причем Т1< Т2. По оси абсцисс отложены скорости, а по оси ординат функция распределения F(u). Площадь выделенной фигуры (вертикальной полоски) численно равна доле dn/n от общего числа молекул, которую образуют

молекулы со скоростями между u и (u+du). При меньшей температуре доля молекул, приходящихся на определенный интервал скоростей, больше, чем при более высокой температуре, на величину выступаю щей части узкой выделенной

больших скоростях, следует, что очень большие скорости молекул маловероятны. Скорость, которая соответствует максимуму кривой распределения, является

наиболее вероятной скоростью uвер и определяется по формуле:

где k – постоянная Больцмана, R – универсальная газовая постоянная, T –

температура газа, m – масса одной молекулы, M – молярная масса вещества. Если при графическом представлении закона Максвелла по оси абсцисс

откладывать отношение скорости к наиболее вероятной (некое х = u/uвер), то для всех температур и любых масс молекул получится одна и та же кривая. Поэтому

9

при решении задач на закон распределения молекул по скоростям удобно пользоваться этой кривой, а в ее отсутствии таблицей 1 (См. приложения), в

которой даны значения N /(N u) для различных значений х.

Зная закон статистического распределения молекул по скоростям и, пользуясь предоставленной в начале работы, математической справкой, можно определить основные величины, характеризующие газ – среднюю квадратичную скорость (18) и среднюю скорость молекул (19):

Из соотношений (17), (18) и (19) следует, что наиболее вероятная, средняя и средняя квадратичная скорости образуют следующую пропорцию :

Экспериментальным подтверждением закона распределения молекул по скоростям могут служить опыт Штерна и опыт Ламмерта [2].

Описание установки

Доска Гальтона, используемая в работе, представлена на рисунке 1. В верхней части доски находятся гвоздики А зафиксированные в шахматном порядке. Внизу расположены желобки (ячейки) В одинаковой ширины (в количестве 47). Спереди прибор закрыт стеклом. Вверху над гвоздиками укреплена воронка С1. Для повторного проведения опыта желобки приемника освобождаются от шариков путем выдвигания вправо и влево горизонтальных пластин D, являющихся подвижным дном для желобков . Шарики ссыпаются в емкость для хранения по воронке С 2.

Во втором опыте используются шарики большей массы примерно в таком же количестве.

10

Порядок выполнения работы

1.Медленно высыпать через воронку шарики и, если они мелкие и в большом количестве, то измерить линейкой их уровни yi последовательно во всех ячейках приемника ( i – номер ячейки), начиная от начальной. Если используются крупные шарики, то принять за yi – их количество в конкретной ячейке. Данные занести в таблицу.

2.Сложить значения уровней шариков во всех ячейках (или их количество в отдельных ячейках). В первом случае величина yi – пропорциональна

общему числу шариков, во втором – определяет их общее количество . Записать суммарную величину в таблицу.

3.Рассчитать и занести в таблицу для каждой ячейки отношение yi / yi ,

пропорциональное вероятности Pi попадания шариков в данную ячейку при ширине ячеек, равной единице.

4.Построить график зависимости yi / yi от номера ячейки для первого опыта.

5.Освободить ячейки, предварительно подставив под нижнюю воронку емкость для шариков.

6.Аналогичные измерения проделать для шариков с большей массой, произвести расчеты по п. 1, 2, 3 и данные расчета занести на тот же график в виде второй кривой.

7.По максимумам двух кривых определить наиболее вероятные скорости

uвер и uвер (в наших условных единицах, т.е. по номеру ячейки, в

которую попало наибольшее количество шариков ) и затем отношение масс шариков:

11

Таблица измерений и вычислений

Контрольные вопросы

1.Поясните, что называют математической вероятностью события.

2.Что называют средним значением переменной величины и как определить среднее значение с использованием понятия вероятность?

3.Что называют средним квадратичным величины?

4.Поясните, как, используя доску Гальтона, можно продемонстрировать статистический закон распределения случайных величин?

5.Нарисуйте кривую распределения Гаусса и поясните ее.

12