Молекулярная физика (11-18)

УДК 53 075 Ш 19 ББК 22.3. Я7

Шамбулина, В.Н. Физика. Определение средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекулы воздуха [Текст]: метод. указания/ В.Н. Шамбулина. – Ухта : УГТУ, 2008 г. – 14 с.; ил.

Методические указания предназначены для выполнения лабораторной работы по физике по теме «Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов» для студентов cпециальностей 290700, 290300 и направлению 550100.

Методические указания рассмотрены и одобрены кафедрой физики от 11.12.08г., пр. № 4.

Содержание методических указаний соответствует рабочей уче бной программе.

Рецензент: Филиппов Г.П., старший преподаватель кафедры физики Ухтинского государственного технического университ ета.

Редактор: Северова Н.А., доцент кафедры физики Ухтинского государственн о- го технического университета.

В методических указаниях учтены предложения рецензента и редактора.

©Ухтинский государственный технический униве рситет, 2008 169300, г. Ухта, ул. Первомайская, 13.

Отдел оперативной полиграфии УГТУ. 169300, г. Ухта, ул. Октябрьская, 13.

2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА И ЭФФЕКТИВНОГО ДИАМЕТРА МОЛЕКУЛЫ ВОЗДУХА

Краткая теория

1. Число столкновений и средняя длина свободного пробега молекулы

Идеальным газом называется газ, молекулы которого не взаимодействуют друг с др у- гом на расстоянии и имеют исчезающе малые собственные размеры. У реальных газов мол е- кулы испытывают силы межмолекулярного взаим одействия.

При взаимных столкновениях и соударениях со стенками сосуда молекулы идеального газа ведут себя как абсолютно упругие шары. Минимальное расстояние, на которое сближ а- ются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром моле-

кулы d эф. Величина d эф. называется эффективным сечением молекулы.

3

лой газа в единицу времени можно вычислить из весьма простых соображений.

Представим себе каждую отдельную молекулу в виде шарика радиусом r, все молекулы кроме одной неподвижны и лишь одна из молекул движетс я по прямой в газе, в ко-

тором частицы равномерно распределены по объему так, что в единицу объема находится n0

молекул.

Тогда наша единственная движущаяся молекула, пройдя за 1 с расстояние равное ее

средней скорости V , столкнется со всеми молекулами, которые окажутся на ее пути.

столкновений Z , которые испытывает наша молекула в единицу времени

Это, однако, не изменяет результаты расчета; полагая, что молекула движется по прямой, мы только мысленно « выпрямили » ломаный цилиндр, изображенный на рис. 4. Следует учесть,

что движется не одна, а все молекулы газа. Это значит, что в выражение для Z должна входить не абсолютная (относительно стенок сосуда) скорость молекулы, а скорость ее Vотн.

4

относительно тех молекул, с которыми она сталкивается. Относительная скорость связана с

Тогда для среднего числа столкновений молекулы в единицу времени получим формулу

(3)Z = 2 V n0

или, поскольку мы условились считать молекулы шариками,

(4)Z 42 r 2 V n0

Зная число столкновений, испытываемых одной молеку лой в единицу времени, легко вычислить и среднюю длину свободного пробега.

ломов на этом пути столько, сколько произошло столкновений, т. к. каждый изл ом и вызван столкновением. Средняя длина свободного пробега, т. е. средняя длина прямолинейного о т-

резка между столкновениями, равна отношению длины пути, пройденного молекулой, к числу испытанных ею на этом пути столкновений:

2. Зависимость длины свободного пробега от давл ения

Как видно из формулы (6), длина свободного пробега молекул обратно пропорци о- нальна их числу в единицу объема, а следовательно, (согласно основному уравнению молек у-

Поэтому, для данного газа при постоянной температуре и разных давлениях имеем:

P const .

Втаблице 1 приведены значения средней длины свободного пробега молекул воздуха при температуре 273 К и различных давлениях.

Из таблицы 1 видим, что с уменьшением дав ления длина свободного пробега возрастает в той же мере, в какой падает давление. При определенном значении давления она станет равной размерам сосуда, в котором газ заключен, а при дальнейшем понижении давления пр е-

5

давлении 5·10-5 мм рт. ст. Такое давление сравнительно легко создать, т.к. современные

столкновения молекул в газе практически уже не происходит, и весь путь от стенки до стенки молекулы проходят, двигаясь прямолинейно.

3. Зависимость длины свободного пробега от температуры

Из формулы (6 «а») следует, что длина свободного пробега молекул не должна зав и- сеть от температуры. Опыт между тем показывает, что такая зависимость, хотя и слабая, с у- ществует: с повышением температуры длина свободного пробега возрастает. Это объясняе т- ся тем, что с повышением температуры увеличивается скорость молекул, благодаря чему сталкивающиеся молекулы могут ближе подходить друг к другу (преодолевая силы межм о- лекулярного отталкивания). Таким образом, с повышением температуры уменьшается р адиус шарообразной модели молекулы, а вместе с ним уменьшается объем цилиндра (рис.3) и число

Зависимость средней длины свободного пробега от Т выражается формулой Сезе р- ленда (1893 г.)

- значение средней длины свободного пробега, вычисленное по формуле (6).

С - характерная для каждого газа постоянная величина, имеющая размерность температуры и носящая название постоянной Сезерленда.

4. Явления переноса. Уравнение переноса

Представление о среднем свободном пр обеге молекулы играет большую роль при м о- лекулярно-кинетическом объяснении механизма многих физических явлений, как внутреннее трение (вязкость), теплопроводность и диффузия.

Если молекулы отличаются одна от другой какой -либо характерной величиной (импульсом, энергией, массой) причем их распределение по значениям указанной характер и-

6

стики неоднородно, то вследствие теплового движение молекул эта величина переносится из одного места в другое. В результате возникает поток рассматриваемой величины, обусла вливающий вязкость, теплопроводность и диффузию соответственно и явления эти называют яв-

лениями переноса.

Исходя из представлений молекулярно -кинетической теории выведем общее для явл е- ний переноса уравнение переноса.

Вместе с тем, перенос происходит из точек с большей величиной G в точки с меньшей ее величиной, и поэтому знак потока должен быть обратным знаку производной dG /dх , или градиенту величины G . Таким образом величина потока равна

этих слоях. Если V - средняя скорость молекул, то слева направо перейдут за времяt все молекулы, движущиеся в направлении положительной оси Х и находящиеся в

момент t0 внутри слоя толщиной V t . Т. к. число таких молекул составляет 1/6 от

7

Сравнивая последнее соотношение и (8), получим следующее молекулярно -кинетическое значение коэффициента переноса для всех газов:

8

Применим общую формулу (8) к рассматриваемому случаю переноса импуль са. Переносимой величиной в данном случае является импульс, т. е.

G = mU,

где m - масса молекулы.

Подставляя это значение G в формулу (8), находим

Следовательно,

(16)13 n0 mV 13 V ,

где - плотность газа.

Как мы видим, коэффициент вязкости в системе СИ имеет разме рность Н с/м2..

Между пуазом и единицей вязкости в системе СИ имеется соотношение.

лекулой также растет. В результате суммарный импульс, переносимый всеми молекулами

нее значения плотности . из уравнения Менделеева-Клапейрона

9

где Р – давление атмосферы, Т – температура воздуха во время эксперимента,

R - универсальная газовая постоянная.

В данной работе используют также известную формулу Пуазейля

V r 4 dP , где 8 dx

V - объем газа, в данном случае воздуха, проходящего через трубку К за время , r - радиус трубки,

- коэффициент вязкости воздуха,

dP - модуль градиента давления, одинаковый по всей длине трубки. dx

Эта формула применима к течению газа (или жидкости) через цилиндрическую тру б- ку, если сжимаемостью газа можно пренебречь, а это возможно при малых перепадах давл е- ния на концах трубки и ламинарном течении газа при постоянной температуре.

При соблюдении этих условий градиент давления можно принять равным отношению разности давлений у концов трубки к ее дл ине . Тогда

Если перепад давления измерять с помощью жидкостного манометра, то

- плотность жидкости в манометре,

h - разность высот уровней жидкости в манометре.

Из формулы (17) и (18) средняя длина свободного пробега молекул воздуха

Уравнение (19) является расчетной формулой для определения средней длины свободн о- го пробега молекул воздуха в данной работе.

10

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Установка состоит из капилляра К, маномет ра М, кранов К1 и К2 и двух сообщающихся сосудов А и Б (рис. 8).

Если посредством крана К1 соединить сосуд А с капилляром, то при ослаблении зажима К2 вода из сосуда А будет переливаться в сосуд Б, в результате чего атмосферный воздух б у- дет засасываться в систему через капилляр К. Для измерения объема воздуха, прошедшего через капилляр, сосуд А снабжен шкалой, проградуированной в миллилитрах. Если темпер а- тура атмосферного воздуха равна температуре воды в сосуде А, то объем вытекшей воды из него равен объему протекшего через капиллярную трубку возд уха.

Разность давлений, возникающая на концах капиллярной трубки, измеряется с помощью

Рис.8

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ

1. Повернуть кран К1 на атмосферу, сосуд Б поставить на полку и ослабить зажим К 2. Наполнив сосуд А водой выше нулевой отметки, завернуть зажим К 2, кран К1 поставить в положение «капилляр», сосуд Б п оставить на стол.

2.Ослабить зажим К2 так, чтобы манометр показал разность давлений 30 – 40 мм (по указанию преподавателя).

Поддерживая разность давлений неизменной, что достигается дальнейшим плавным

ослаблением зажима К2, измерить время вытекания 200 – 600 мл воды (по указанию преподавателя).

3.Несколько раз (4 – 6) повторить опыт по измерению времени вытекания одного и того же количества воды при одном и т ом же значении разности давлений. Результ а-

ты измерений записать в таблицу для измерений и вычислений.

11