Teoriya avtomatichnogo keruvannya

1. Можливість багатоточкового керування, тобто використання однієї імпульсної САК для керування процесами в кількох однотипних об'єктах за рахунок того, що ці об'єкти по черзі підключаються до одного керуючого пристрою. Це зумовлено тим, що система керування одним із об'єктів замкнута лише незначну частину періоду квантування, і тому решту часу можна використати для керування іншими об'єктами.

2.Можливість використання одного каналу зв'язку для різних САК з об'єктами, віддаленими від імпульсних керуючих пристроїв. Це реалізується за рахунок почергового з'єднання об'єктів та керуючих пристроїв за час періоду квантування.

3.Підвищена захищеність від перешкод. Зумовлена вона тим, що інформація передається у вигляді коротких імпульсів, більшу частину періоду квантування САК залишається розімкнутою і не сприймає перешкод.

Імпульсну систему можна вважати безперервною, в якій з частотою квантування відбувається розмикання контуру регулювання. Якщо частота квантування значно перевищує смугу пропускання безперервної частини системи, то САК у цілому практично не реагує на кожний окремий імпульс і поводиться як безперервна система, що сприймає тільки низькочастотний модулюючий сигнал. Для дослідження таких імпульсних САК можна користуватися всіма методами аналізу і синтезу безперервних систем. Наприклад, у системах керування електроприводами широко застосовуються напівпровідникові перетворювачі для живлення силових кіл електродвигунів. За принципом дії ці перетворюючі є імпульсними (використовуються фазоімпульсна і широтно-імпульсна модуляції), однак частота квантування настільки висока, що в цілому такі системи електропривода розглядаються як безперервні.

Якщо частота квантування не досить висока порівняно зі смугою пропускання безперервної частини системи, то система встигає реагувати на кожний окремий імпульс, і наявність квантування істотно впливає на динаміку системи. Для дослідження таких систем вже не можна користуватися методами, розробленими для безперервних систем, бо необхідно враховувати дискретний характер сигналів. Для цього застосовується спеціальний математичний апарат, що оперує з

500

10.3.Математичне описання

~імпульсного елемента систем з АІМ

поняттями решітчастих функцій, різницевих рівнянь і дискретного перетворення Лапласа.

Імпульсні системи бувають лінійними і нелінійними. Імпульсна система є лінійною, якщо безперервна частина системи та імпульсний елемент описуються лінійними рівняннями. Імпульсний елемент, що здійснює амплітудно-імпульсну модуляцію, звичайно описується лінійними різницевими рівняннями, тому системи з АІМ можуть бути лінійними. Процес широтно-імпульсної та часово-імпульс- ної модуляцій описується нелінійними рівняннями, що зумовлено незалежністю амплітуди вихідних імпульсів від величини вхідного сигналу, тому системи з ІШМ і Ч А Ш є принципово нелінійними.

Основна увага в даній главі приділена лінійним системам з АІМ.

10.3

Математичне описання імпульсного елемента систем з АІМ

Імпульсний елемент у системах з АІМ перетворює безперервний вхідний сигнал у послідовність імпульсів, ширина і частота повторення яких сталі, а амплітуда про-

порційна величині вхідного сигналу в моменти квантування. Імпульсний елемент характеризується такими параметрами:

коефіцієнт передані

кі = А/хпх,

де А — висота (амплітуда) вихідного імпульсу в черговому періоді повторення імпульсів; хвх — величина сигналу на вході імпульсного елемента на початку того самого періоду повторення імпульсів;

501

Г л а в а 10 ДИСКРЕТНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

При математичному описуванні реальний імпульсний елемент подається у вигляді послідовного з'єднання найпростішого імпульсно-

го елемента 1 і формувального кола (формувача імпульсів) 2 (рис. 10.3).

Рис. 10.3

Найпростіший імпульсний елемент перетворює безперервний вхідний сигнал на імпульси з нескінченно малою тривалістю і нескінченно великою амплітудою, площі яких пропорційні вхідному сигналу в моменти квантування, тобто вихідними сигналами цього елемента будуть 8-імпульси, площі яких не дорівнюють одиниці, а є мірою вхідного сигналу в моменти квантування. 8-Імпульси на рис. 10.3 умовно зображені стрілками, довжина яких відповідає площі імпульсів. Найпростіший імпульсний елемент називається також ідеальним імпульсним елементом, або 8-імпульсним елементом, а його

вихідний сигнал — ідеальною імпульсною функцією.

Формувач перетворює 5-імпульси на вході на реальні імпульси. Реакція ланки на одиничні 8-імпульси становить імпульсну перехідну, або вагову функцію и>(0- Зображенням Лапласа вагової функції є передаточна функція

(10.1)

Оскільки на вхід формувача подаються 8-імпульси, його вихідні імпульси є ваговими функціями. Тому для визначення передаточної функції формувача достатньо знайти зображення Лапласа функції, що описує форму реального вихідного імпульсу.

Нехай, наприклад, вихідний сигнал реального імпульсного елемента є послідовністю одиничних прямокутних імпульсів, ширина яких 7] = уТ0. Вагова функція формувача м>ф(ґ) становить прямокутний імпульс, який можна подати у вигляді різниці додатної і від'ємної ступінчастих функцій, зсунутих на час уТ0 (рис. 10.4), тобто

502

10.3.Математичне описання

імпульсного елемента систем з АІМ

по менша, ніж період повторення (у « 1),то передаточну функцію формувача можна подати у вигляді

Справді, розклавши чисельник виразу (10.2) в ряд Маклорена поблизу точки у = 0, дістанемо

Якщо у « 1, то ряд швидко збігається і можна обмежитися першими двома членами, тобто

503

Г л а в а 10 ДИСКРЕТНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

•Приклад 10.1. Імпульси на виході реального імпульсного елемента мають трикутну форму (рис. 10.5, а). Визначити передаточну функцію формувача.

504

10.3.Математичне описання

~імпульсного елемента систем з АІМ

Ро з в ' я з а н н я . Вихідний сигнал формувача можна подати у вигляді суми трьох сигналів, графіки яких зображено на рис. 10.5, б— г. Отже,

1-е

Під час аналізу імпульсних систем часто замість реального часу і використовується відносний час і = ї/Т(). У цьому разі час вимірюєть- ся кількістю періодів^повторення імпульсів Т(). Відносний період повторення імпульсів Т{) дорівнює одиниці.

Введемо позначення

Ш(1)} = ]е-ф~м(ї)сІЇ = IV (д),

де д = Т05 — комплексна змінна перетворення Лапласа у відносному часі.

Визначимо співвідношення між №(д) і IV(з). За теоремою про зміну масштабу

/ \

у

але оскільки ґТ0 = Г, то

Тому для одержання зображення !У(д) функції >у(/) у відносному масштабі часу необхідно в зображенні Жфункції>у(/)аргумент ^за-

505

Г л а в а 10 ДИСКРЕТНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

10.4

Математичний апарат для дослідження імпульсних САК

Решітчасті функції. Вихідний сигнал імпульсного елемента визначається величиною вхідного сигна-

лу тільки в дискретні моменти часу на початку кожного періоду повторення імпульсів і надалі не залежить від змінювання вхідного сигналу до початку наступного періоду повторення. Тому достатньо знати значення вхідного сигналу лише в дискретні моменти часу, тобто в моменти п, де п — ціле число. На підставі цього безперервну функцію на вході імпульсного елемента можна замінити так званою решітчастою функцією. Решітчастою називається функція дискретного аргументу, значення якої визначені в дискретні моменти часу І = пТ0. Між цими моментами функція дорівнює нулю.

Решітчасту функцію звичайно позначають /[пТ0]або, якщо перейти до відносного часу, /[п]. Заміна безперервної функції решітчастою

ЛпТ0] = /(1)\,-_пТ„

або

№=№

пояснюється на рис. 10.6.

Використовується також поняття зміщеної решітчастої функції.

Аргумент цієї функції і = пТ0 + А/, тобто дискретні значення функції вибираються для моментів часу, зміщених на Аї відносно пТ{]. Зміщення А/ = соп5і може бути додатним або від'ємним за умови, що

506

Різниці решітчастих функцій та різницеві рівняння.

Різниці решітчастих функцій є аналогами похідних безперервних функцій.

Різниця першого порядку (перша різниця) решітчастої функції /[п]

Аналогія між першою різницею і першою похідною пояснюється тим, що перша різниця, як і перша похідна, по суті дорівнює відношенню приросту функції до приросту аргументу А/[п]/Ап, сіле через те, що Ап = (п + 1) - п - 1, перша різниця дорівнює А/[п].

Різниця другого порядку (друга різниця) обчислюється за формулою

або, якщо розкрити перші різниці за формулою (10.8),

507

Глава 10 ДИСКРЕТНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

У повній сумі, на відміну від неповної, значення /[п] в момент часу 1 = пТ0 також бере участь у формуванні результату.

Аналогами диференціальних рівнянь є різницеві рівняння (рівняння

у кінцевих різницях). Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами при використанні прямих різниць мають вигляд

Де / М . ^ М — відповідно задана і шукана решітчасті функції. Якщо /[//]= 0, то рівняння (10.17) називається однорідним.

Враховуючи вираз (10.11), рівняння (10.17) можна записати у вигляді рекурентного рівняння через повні значення решітчастих функцій:

508

10.4.Математичний апарат

для дослідження імпульсних САК

Для розв'язування різницевих рівнянь мають задаватися початкові умови у вигляді значень шуканої функції у[п]тл її різниць від першої до різниці (т - 1)-го порядку, якщо рівняння подано у вигляді (10.17), абоувигляді значень цієї функції в точках у[0],у[1],..., у[т - 1] для рівняння типу (10.18).

Різницеві рівняння вигляду (10.17) можна розглядати як рекурентні співвідношення, які дають змогу обчислювати значення у[п\ при п - 1, 2, 3,... для заданих початкових умов, а рівняння вигляду (10.18) — значення у[п + т] при п = 0, 1, 2,...

Наприклад, якщо задано різницеве рівняння третього порядку

а0у[п + 3] + аЛу\п + 2] + а2у[п + 1] + а3у[п] = Дп\

і відомі функції /[//] та початкові умови у[0], у[\] і у[2], то дискретні значення функції обчислюються так:

при п = 0

а0у[3] + аіу[2] + а2у[1]+а3у[0]=/[0]

при п - 1

і Т. д.

Різницеві рівняння можна розв'язувати також класичним і операторним методами, аналогічними методам розв'язування диференціальних рівнянь. З операторних методів найпоширенішим є метод,

509