10. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции в стационарном случае. Вихревой характер магнитного поля.

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции поля постоянных токов в вакууме может быть доказана на основе закона Био-Савара, что, в общем случае, достаточно сложно.

- циркуляция вектора магнитной индукции по любому замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов охватываемых этим контуром.

Ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта

РИС.76 РИС.77

Если ток распределен по объему, в котором расположен контур, то полный ток охваченный контуром , где интеграл берется по произвольной поверхности натянутой на контур, плотность тока соответствует токе расположения площадки. В этом случае теорема о циркуляции:

Теорема о циркуляции позволяет достаточно просто рассчитать индукцию магнитного по известному распределению токов, если можно выбрать контур, вдоль которого модуль вектора магнитной индукции и направление постоянно.

Поле внутри соленоида тем более однородно, чем больше длина соленоида по сравнению с его диаметром. Для «бесконечного» соленоида снаружи вблизи его поверхности магнитного поля нет и можно выбрать контур, лишь часть которого совпадает с линией магнитной индукции

Ток охватываемый контуром , гдеN – число витков с током, охваченных контуром. Тогда:

Следовательно, индукцию магнитного поля внутри «бесконечного» соленоида можно рассчитать по формуле

, где n – число витков соленоида на единицу длины.

Факт, что циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру не равна нулю, означает, что, в отличие от электростатического, магнитное поле – не потенциально.

Используем теорему Стокса и сравним это выражение с записью теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции в случае непрерывного распределения тока в некотором объеме.

- дифференциальная (локальная) форма теоремы о циркуляции. Математическая констатация того факта, что линии вектора магнитной индукции замкнуты вокруг вектора плотности тока по правилу правого буравчика и поэтому магнитное поле называют вихревым или соленоидальным.

Используем, что или с помощью определителя:

, .

11. Электростатическое поле при наличии диэлектриков. Поляризация. Связанные и свободные заряды. Электростатическая теорема Гаусса при наличии диэлектриков.

Свободные заряды – заряды, способные под влиянием электрического поля перемещаться на макроскопические расстояния и переносить ток (электроны в металлах, ионы в газах и электролитах) и заряды, нанесенные извне на поверхность диэлектрика и нарушающие их нейтральность.

Заряды, входящие в состав нейтральных молекул диэлектриков, ионы, закрепленные в твердых диэлектриках вокруг определенных положений равновесия, называются связанными.

Проводники — вещества, у которых есть свободные заряды.

Диэлектрики (изоляторы) — вещества, у которых отсутствуют свободные заряды. Они не проводят электрический постоянный ток.

1) Поведение диэлектриков в электрическом поле

Существует три типа поляризации в диэлектрике:

1. Неполярные диэлектрики

В отсутствии внешнего электрического поля молекулы не обладают электрическим моментом — H₂, N₂, O₂, CO₂, CH₄. Если наложить электрическое поле , то молекула поляризуется (Рис. 33), у нее появляется электрический момент(центры положительного и отрицательного зарядов смещаются друг относительно друга).

Рис. 33

Момент молекулы прямо пропорционален напряженности поля, действующей на молекулу.отличается от полявнутри диэлектрика.

Величина характеризует поляризуемость молекулы. Молекулярная диэлектрическая восприимчивость определяется внутренними свойствами молекулы и несущественно зависит отиT.

Данный вид поляризации (сдвиг положительных зарядов в направлении внешнего поля , а отрицательных противоположно и преобретение диэлектрического дипольного момента) —электронная поляризация смещения.

2. Полярные диэлектрики (CO, N₂O, SO₂ ,H₂O и другие)

В отсутствии внешнего электрического поля каждая молекула имеет определенный дипольный момент . Вследствие теплового движения в отсутствии поля молекулы, молекулы располагаются хаотически. Векторная сумма всех дипольных моментов(Рис. 34, а). При наложении внешнего поляна каждый диполь действуют силы, стремящиеся повернуть (ориентировать) его параллельно(Рис. 34,б).

Рис. 34,а Рис. 34,б

Возникает частичное упорядочивание в расположении диполей, и оно тем большее, чем сильнее и нижеT. Такой тип поляризации называется ориентированной или дипольной поляризацией.

В)Твердые диэлектрики (ионные кристаллы)

Для твердых диэлектриков существует еще один механизм поляризации — поляризация ионного смещения (NaCl, KCl, …).

Кристаллическая решетка — две подрешетки с положительными и отрицательными ионами, сдвинутые по отношению друг к другу. Под влиянием внешнего поля решетки смещаются по отношению друг к другу (так как на каждую из подрешеток действуют различные по модулю и направлению силы).

2) Поляризованность

Для количественной характеристики поляризации диэлектрика вводят физическую величину — поляризованность , равную векторной сумме электрических моментов всех молекул, заключенных в единице объема

, (35)

—диэлектрическая неполяризованность.

—диэлектрическая поляризованность.

Поляризованность зависит от напряженности внешнего поля. В общем случае:

, (i,j,k – по осям)

—диэлектрическая восприимчивость вещества.

Матричная запись

—зависит от высших степеней , следовательно, нелинейный диэлектрик (в сильных)

—линейный диэлектрик

а) Диэлектрик называется анизотропным, если его свойства различны по направлениям. Девятикомпонентный тензор полностью характеризует свойства такого диэлектрика.

б) Диэлектрик называется линейным изотропным, если его свойства по всем направлениям одинаковы. Они характеризуются одной скалярной величиной .

(36)

Величина . Например у воды, у спирта, а у сегнетоэлектриков достигает нескольких тысяч.

в) Существуют, однако, и диэлектрики, для которых эта формула не применима. Это некоторые ионные кристаллы и электреты, а также сегнетоэлектрики. У сегнетоэлектриков связь между инелинейная и зависит от предшествующих значений (это явление называютгистерезисом).

1. Неполярные диэлектрики

Рис. 35, а Рис. 35,б

, следовательно, , а значит

1) Разряженные газы (внешнее поле<< поля внутри атома и молекулы, поэтому смещение заряда внутри молекулы мало и линейно зависит от)

, следовательно, , гдеn – концентрация молекул.

—относительная диэлектрическая проницаемость. Для изотропных диэлектриков это скалярная величина, для анизотропных — девятикомпонентный тензор.

, (39)

где ρ – плотность, т.е. ε не зависит от температуры (лишь при высоких температурах молекулы переходят в возбужденное состояние – диссоциируются при этом ε(Т)).

—для линейного изотропного диэлектрика.

2) Плотные газы (неразряженные и неполярные жидкости):

Формула  (где поляризованность вещества) получена для кристалла с кубической решеткой Лоренцем и справедлива для плотных газов поостренных из точечных неполярных молекул.учитывает действие всех зарядов за исключением рассматриваемых.



2. Полярные диэлектрики (HCl, H₂O, CO, HI, спирты, эфир и др.)

Рис. 36, а Рис. 36, б

1) Когда = 0, то, но вследствие хаотического теплового движения, следовательно.

2) ≠ 0. Поле частично ориентирует молекулы

Здесь  среднее значение проекции дипольного момента молекул на направление поля .

а) В случае неоднородной поляризации связанные заряды появляются не только на поверхности, но и внутри. Причем, если диэлектрика взять замкнутую поверхность S, то поток вектора равен заряду поляризованному (связанному)внутри объемаV, ограниченной этой поверхностью – теорема Гаусса для вектора .

Так при наличии диэлектрика поле определяется всеми зарядамисвязанными и свободными, значит теорема Гаусса для вектора :

(46)

где q и q^' — сторонние и связанные заряды, охватываемые поверхностью S.

Это затруднение, однако, можно обойти, если выразить заряд q^' через поток вектора потеорема Гаусса для вектора .

(47)

Эту формулу иногда называют электростатическая теорема Гаусса при наличии диэлектриков. Она справедлива при любом расположении диэлектриков и граничных поверхностей : часть или весь объем может быть заполнен различными диэлектриками, поверхность S может проходить в вакууме или пересекать диэлектрик.