5. Нахождение электрического поля с использованием потенциала, прямым применением закона Кулона и с использованием теоремы Гаусса.

с использованием теоремы Гаусса.

Положения: При использовании теоремы Гаусса для расчета электрических полей нужно учитывать, что:

1) рассчитать можно только поле, которое обладает специальной симметрией (чаще всего плоской, цилиндрической или сферической).

2) симметрия и конфигурация поля должны быть такими, чтобы можно было найти достаточно простую замкнутую поверхность S (называемую гауссовой поверхностью), такую, чтобы отдельные ее части S_i были параллельны вектору (тогда ) илиотдельные ее части S_j были перпендикулярны и напряженность на них была постоянна по модулю (тогда ).

Если этого нет, задачу о нахождении поля приходится решать помощью метода непосредственного интегрирования или с помощью других методов, с которыми мы ознакомимся ниже.

Рассчитаем:

1. поле бесконечной заряж. равном. плоскости

Дано:

- ?

Из симметрии задачи вектор  плоскости и в симметр. отн. плоскости точках одинаков. по модулю и противоп. по направлению (Рис. 11 ). Гауссова поверхность – цилиндр. Тогда поток вектора напр. находится как сумма потоков через основания и боковую поверхность.



 теор. Г.  напр. равном. заряж. плоскости

Выражения для напряженности полей заряженных тел (в вакууме), обладающих специальной симметрией, рассчитанных по теореме Гаусса.

Равномерно заряженная с линейной плотностью λ бесконечная нить (поле цилиндрической симметрии)	(r — расстояние от нити по перпендикуляру к ней)
Равномерно заряженная зарядом q по поверхности сфера радиусом R (поле сферической симметрии)	(r — расстояние от центра сферы)
Заряд равномерно распределен с объемной плотностью ρ по объему шара радиуса R (поле сферической симметрии)	(r — расстояние от центра шара)

прямым применением закона Кулона

Напряженность поля системы точечных неподвижных зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавали бы каждый из зарядов в отдельности:

, (6)

где r_i — расстояние между зарядом q_i и интересующей нас точкой поля.

Это утверждение называют принципом суперпозиции (наложения) электрических полей. Поле точечного заряда является фундаментальным, потому что, используя формулу поля точечного заряда и принцип суперпозиции, можно расчитать поле любого (!) заряда.

Распределение зарядов. Для упрощения математических расчетов во многих случаях бывает удобно игнорировать тот факт, что заряды имеют дискретную структуру (электроны, ядра), и считать, что они «размазаны» определенным образом и пространстве. Другими словами, удобно заменить истинное распределение точечных дискретных зарядов фиктивным непрерывным распределением. Это позволяет значительно упрощать расчеты, не внося сколько-нибудь значительной ошибки.

При переходе к непрерывному распределению вводят понятие о плотности зарядов — объемной ρ, поверхностной σ и линейной λ. По определению,

(7)

где dq — заряд, заключенный соответственно в объеме dV, на поверхности dS и на длине dl.

C учетом этих распределений формула (6) может быть представлена в другой форме. Например, если заряд распределен по объему, то надо заменить q_i на dq = ρ dV и ∑ на ∫, тогда

, (8)

где интегрирование проводится по всему пространству, в котором ρ отлично от нуля (Рис.5).

V

dV

A

dq

q

Рис. 5

Таким образом, зная распределение зарядов, мы можем полностью решить задачу о нахождении напряженности электрического поля по формуле (6), если распределение дискретно, или по формуле (8), если распределение непрерывно. Этот метод нахождения электрического поля получил название метод непосредственного интегрирования. В общем случае расчет сопряжен со значительными трудностями (правда, не принципиального характера). Действительно, для нахождения вектора надо вычислить сначала его проекцииЕ_x , Е_y , Е_z , а это по существу, три интеграла типа (8).

метод непосредственного интегрирования

Пример 1.1 Заряд q > 0 равномерно распределен по тонкому кольцу радиусом R. Найти напряженность Е электрического поля на оси кольца как функцию расстояния z от его центра.

Решение. Легко сообразить, что в данном случае вектор Е должен быть направлен по оси кольца (рис. 2). Выделим на кольце элемент dl. Запишем выражение для составляющей от этого элемента в точке А:

где λ = q/2πR. Для всех элементов кольца r и R будут одними и теми же, поэтому интегрирование этого выражения сводится просто к замене dl на q.

dl

r

R

0 α x

Рис.2

В результате получаем:

Видно, что при x » а поле Е = q/4πε₀x² , т. е. на больших расстояниях эта система ведет себя как точечный заряд.

с использованием потенциала

находим потннциал. Связь потенциала и напряженности:

E = -∆φ