Методичка по Математике

нормального вектора искомой плоскости можно взять этот же вектор. Подставим координаты точки А и вектора n в уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору: 3(x 2) 2(y 4) + (z+1) = 0 или 3x 2y + z + 3 = 0.

Пример 2. Определить угол между плоскостями 2x + y 2z + 3 = 0

иx+y 5=0.

Реше н ие . Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами и определяется по формуле (8):

Запишем нормальные векторы для данных плоскостей: n1(2; 1; 2), n2 (1; 1; 0) . Подставим координаты этих векторов в формулу (8):

Следовательно, = 45 .

Пример 3 . Даны пары плоскостей:

1) 3x 4y + 5z 3 = 0 и 6x 8y + 10z + 5 = 0; 2) 2x y + 5z 5 = 0 и 4x + 3y z + 1 = 0;

3) x 3y + z 1 = 0 и 2x + 4y 3z + 2 = 0.

Определить, какие из них параллельны, а какие – перпендикулярны.

Р еше н ие . 1) Запишем нормальные векторы плоскостей: n1 (3; 4; 5) и n2 (6; 8; 10) .

Пример 4. Найти расстояние d от точки A(4; –6; 6) до плоскости

3x 5y 5z 13 0.

Р еше н ие . Воспользуемся приведенной выше формулой

4.21.Прямая в пространстве

Слюбой прямой в пространстве связан ненулевой вектор, который лежит на этой прямой или ей параллельный. Такой вектор называется

направляющим вектором прямой и обозначается s(l; m; n) .

По аналогии с уравнением прямой в плоскости уравнения прямой,

проходящей через точку M0(x0; y0; z0) параллельно вектору s(l; m; n) в

пространстве (или канонические уравнения прямой), могут быть записаны в следующем виде:

Рассмотрим данные равенства как пропорции с коэффициентом пропорциональности t:

и выразим из них текущие координаты точки, принадлежащей заданной прямой. В результате получим параметрические уравнения прямой:

x x0 lt

y y0 mtz z0 nt.

76

Пример 1. Составить параметрические и канонические уравнения прямой, проходящей через точку M0 (1; 2; 3) параллельно вектору

s(2; 1; 3) .

Р еше н ие . По условию x0 1 , y0 2 , z0 3 , l 2 , m 3 , n 1 .

Подставим эти величины в параметрические (12) и канонические (13) уравнения прямой. В результате получим:

Рассмотрим случай, когда прямая в пространстве задается двумя точками M1 (x1; y1; z1 ) и M2 (x2 ; y2 ; z2 ) . Тогда по аналогии с уравнением прямой на плоскости уравнения прямой, проходящей через две точки, имеют следующий вид:

Пример 2. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точки M1 (1; 3; 2) и M2 ( 1; 2; 4) .

Р еше н ие . Подставим координаты заданных точек в уравнение

n 2 . Подставим в параметрические уравнения прямой и получим искомые уравнения:

x 1 2ty 3 5tz 2 2t.

Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей:

77

A1x B1 y C1z D1 0A2 x B2 y C2 z D2 0.

Такой способ задания прямой в пространстве называется общими уравнениями прямой.

Часто на практике требуется от общих перейти к каноническим уравнениям прямой. В этом случае координаты произвольной точки M0 прямой можно определить из приведенной выше системы, придав одной из ее неизвестных произвольное значение (например, z = 0). Так как плоскости не параллельны, а искомая прямая перпендикулярна

Пример 3. Записать канонические уравнения прямой:

2x y 3z 1 05x 4 y z 7 0.

Р еше н ие . Для нахождения произвольной точки прямой примем ее координату х = 0, а затем подставим это значение в заданную систему уравнений:

11i 17 j 13k .

Тогда канонические уравнения прямой будут иметь следующий вид:

x y 2 z 1. 11 17 13

Пример 4 . Записать канонические уравнения прямой:

78

2x y 5z 3 03x 2 y 4z 2 0.

Р еше н ие . Разрешим данную систему относительно x и y. Первое

4x 2 y 10z 6 0,

уравнение умножим на ( 2): Сложим со вто-

3x 2 y 4z 2 0.

прямой, являющейся линией пересечения двух данных плоскостей.

4.22. Угол между прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых

Пусть даны две прямые (рис. 43), заданные уравнениями:

лельности двух прямых.

Две прямые взаимно перпендикулярны, если их направляющие векторы s1(l1; m1; n1) и s2 (l2 ; m2 ; n2 ) ортогональны. Следовательно,

79

скалярное произведение этих векторов равно нулю, т. е. l1l2 m1m2

n1n2 0 . Это равенство выражает необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Даны пары прямых:

Определить, какие из этих пар прямых параллельны, а какие – взаимно перпендикулярны. В случае если прямые не являются параллельными или перпендикулярными, определить угол между ними.

1 ( 8) 0 . В данном случае выполняется условие перпендикулярности прямых, т. е. прямые взаимно перпендикулярны.

3) Координаты направляющих векторов s1(1; 0; 1) и s2 (2; 2; 1)

прямых не пропорциональны и скалярное произведение этих векторов не равно нулю, т. е. прямые не параллельны и не перпендикулярны. Найдем угол между прямыми, который равен углу между их направляющими векторами:

Следовательно, 45 .

80

означает, что прямая параллельна плоскости.

3. Координаты направляющего вектора s( 1; 1; 2) прямой и нормального вектора n(2; 4; 2) плоскости не удовлетворяют ни условию

параллельности, ни условию перпендикулярности прямой и плоскости. Найдём угол между прямой и плоскостью:

Таким образом, прямая и плоскость пересекаются под углом 30 .

В случае, когда требуется найти координаты точки пересечения прямой и плоскости в пространстве, выполняют приведенные ниже вычисления.

1. Так как искомая точка принадлежит и плоскости, и прямой, то необходимо решить систему уравнений

2) Для этого канонические уравнения прямой преобразуют к параметрическому виду:

Тогда система уравнений примет следующий вид:

82