Методичка по Математике

Легко показать, что , где А – квадратная матрица, Е – единичная матрица того же размера.

не определено, так как число столбцов матрицы А равно трем.

Оно не совпадает с числом строк матрицы В, равным двум, но при этом определено произведение , которое вычисляют следующим

Если для заданных матриц операция умножения определена, то

2.2. Определители второго и третьего порядка, их свойства и вычисление

Квадратной матрице А порядка n можно поставить в соответствие

Для того чтобы обобщить методику вычисления определителей квадратных матриц, введем понятие минора и алгебраического дополнения.

Минором Mij выбранного элемента aij матрицы n-го порядка

называется определитель п–1-го порядка, полученный из исходной матрицы путем вычеркивания в ней строки и столбца, на пересечении которых находится этот элемент.

Например, если исходной матрицей является матрица 3-го порядка

называется ее минор, взятый со знаком плюс, если сумма индексов выбранного элемента i j – четное число, и со знаком минус, если эта

сумма нечетная, т. е. ij 1 i j Mij .

Например, для матрицы 3-го порядка 11 M11, 32 M32 . Прим ер 2 . Выписать минор М22 и алгебраическое дополнение А23

Р еше н ие . Для получения минора М22 исключим из матрицы

матрицы вторую строку, третий столбец. Учтем местоположение элемента a23 с помощью коэффициента (–1)2+3 = (–1)5= –1. В результате

Ответ: М22= – 29, А23= – 22.

14

Определитель матрицы n-го порядка при n>2 вычисляется на основе разложения его по элементам некоторого ряда, т. е. равен сумме произведений элементов некоторого ряда заданной квадратной матрицы на соответствующие им алгебраические дополнения. При этом схемы разложений определителя по выбранной к-й строке или выбранному p-му столбцу будут выглядеть соответственно:

где akj и aip – элементы выбранного ряда;

Akj и Aip – алгебраические дополнения соответствующим элементам выбранного ряда матрицы.

Определители матриц обладают приведенными ниже свойствами:

1)определитель не изменится, если строки определителя заменить столбцами, а столбцы – соответствующими строками;

2)общий множитель элементов любой строки (или столбца) может быть вынесен за знак определителя;

3)если элементы одной строки (столбца) определителя соответственно равны элементам другой строки (столбца), то определитель равен нулю;

4)при перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный;

5)определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответственно элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

15

виде матрицы-столбца элементами которого являются значения с1,

с2,…, сn.

Система уравнений называется совместной, если имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет ни одного решения. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет более одного решения. В случае неопределенной системы каждое ее решение называется частным решением. Совокупность всех частных решений системы называется ее общим решением.

Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна. В случае совместности системы находится ее общее решение.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой и наоборот. Эквивалентные системы получаются, в частности,

при элементарных преобразованиях системы при условии, что пре-

образования выполняются лишь над строками матрицы.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

Однородная система всегда совместна, так как x1 x2 xn 0 является решением системы. Это решение называется нулевым.

2.4. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными, т. е.

квадратная система

или в матричной форме A х=b. Определитель этой матрицы

17

называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.

Правило Крамера решения системы n линейных уравнений с n неизвестными можно сформулировать так:

– если определитель системы не равен нулю ( 0), то система

– если определитель системы равен нулю ( =0) и все i=0, i 1, n , то система имеет бесчисленное множество решений;

– если определитель системы равен нулю ( =0) и найдется такое к, что к 0, то система является несовместной, т. е. не имеет ни одного решения.

как он не равен нулю, то можем сделать вывод, что система имеет

Тогда x1 77 1, x2 147 2.

2x 3y 1

Прим ер 2 . Решить систему линейных уравнений

4x 6 y 2.

методом Крамера.

Р еше н ие . Вычислим определители системы:

21

2 4 2 4 4 0 .

Так как все определители 1 2 0 , то данная система урав-

нений является неопределенной. Найдем множество решений системы, придавая одной из переменных произвольные значения. Пусть x R , тогда выражаем переменную y через х, например, из первого

34

2 9 1 3 36 33 .

Так как определитель системы 0 , а вспомогательные определи-

19

Значит, система имеет единственное решение x1= 1/ =1; x2= 2/ =2; x3= 3/ =3.

2.5. Векторы, основные понятия

Вектором называется направленный отрезок. Вектор с началом в

точке А и концом в точке В обозначается символом AB (или a ,

b , …).

Модулем (длиной) вектора AB называется расстояние от начальной

точки А до конечной точки В вектора и обозначается AB , à .

одной прямой или на параллельных прямых; записывают a | |b .

Компланарными называются три вектора и более, если они лежат в

если они одинаково направлены и имеют равные длины.

Всякие векторы можно привести к общему началу, т. е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из

20

i, j, k – орты координатных осей Ox,Oy,Oz соответственно (или

базисные векторы).

Длина вектора a определяется по формуле

теореме косинусов

AC a b a 2 b 2 2 ab cos( ABC)

22