Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Методичка по Математике

.pdf
Скачиваний:
121
Добавлен:
29.02.2016
Размер:
3.18 Mб
Скачать

Таким образом, уравнение (x a)2 ( y b)2

R2 определяет

окружность с центром в точке С(a; b) и радиусом R. Если же центр окружности совпадает с началом координат, то ее уравнение будет

выглядеть следующим образом x2 y2 R2 .

Уравнение линии позволяет заменить изучение геометрических свойств линии исследованием еe уравнения. Так, для того чтобы установить, лежит ли точка М0(х0; у0) на данной линии, достаточно проверить, удовлетворяют ли координаты точки М0 уравнению этой линии в выбранной системе координат.

Пример. Лежат ли точки А(2; –7) и В(–2; – 6) на линии

(x 2)2 ( y 4)2 9 .

Реше н ие . Линией является окружность с центром в точке С(2; – 4)

ирадиусом 3 единицы длины. Подставим в уравнение окружности вместо x и у координаты точек А и В, получим:

(2 2)2 ( 7 4)2 02 ( 3)2 9 ; ( 2 2)2 ( 6 4)2 ( 4)2 ( 2)2 20 9 .

Следовательно, точка А лежит на данной линии, а точка В не лежит на ней.

Алгебраической линией n-го порядка называется линия, которая определяется алгебраическим уравнением n-й степени (n – наивысший показатель степени переменных, входящих в уравнение).

Рассмотрим алгебраические линии, которые задаются уравнением второй степени, Ах2 Вxy Cy2 Dx Ey F 0 .

Если А2 В2 C2 0 , то данное уравнение на координатной

плоскости определяет одну из кривых второго порядка: окружность, эллипс, гиперболу или параболу. Иначе данное уравнение преобразуется к алгебраическому уравнению первой степени, которое определяет на координатной плоскости прямую линию.

4.2. Уравнение прямой на плоскости

Известно, что прямую на координатной плоскости однозначно определяют две заданные точки.

На пр им ер . Для построения прямой, заданной уравнением 2x y 4 0 , достаточно знать координаты двух её произвольных

43

точек. Результаты вычислений при этом обычно

y

 

 

 

 

представляют в виде таблицы:

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

x

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

–4

–2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

Построим эти

точки на координатной плос-

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кости и проведем через них прямую (рис. 16).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим различные

способы аналитичес-

 

 

Рис. 16

 

кого задания прямой линии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.3. Уравнение прямой, проходящей через точку

 

перпендикулярно заданному вектору

 

 

 

 

Пусть искомая

прямая

проходит через

точку

М0(х0;

у0)

 

 

 

 

 

(рис. 17). Ненулевой

вектор

 

перпендикулярно вектору n A; B

n ,

перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором прямой.

Выберем на прямой ℓ текущую точку

 

М(x; y) и найдем координаты вектора

n(A, B)

 

 

 

M0M(x x0 ; y y0 ) . Можно заметить, что

 

M(x; y)

 

 

векторы M0M

 

ортогональны. Это

 

 

и n

M0

(x0; y0 )

означает, что их скалярное произведение

 

 

будет равно нулю, т. е

Рис. 17

 

 

A(x x0 ) B( y y0 ) 0 .

Это уравнение называется уравнением прямой, проходящей через точку перпендикулярно заданному вектору.

На пр им ер . Уравнение прямой, проходящей через точку С(–3; 5)

перпендикулярно вектору n 1; 4 , будет иметь следующий вид:

1 (x 3) 4( y 5) 0 .

4.4. Общее уравнение прямой

Пусть прямая задана уравнением A(x x0 ) B( y y0 ) 0 . Если в нем раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то получим

Ax By C 0 ,

где C Ax0 By0 .

Это уравнение называется общим уравнением прямой.

44

Н а п р и м е р , раскроем скобки и приведем подобные в уравнении

1 (x 3) 4( y 5) 0 , получим x 3 4y 20 0 или общее уравнение прямой примет вид x 4y 23 0 .

Рассмотрим частные случаи общего уравнения прямой:

Ax By 0 С 0 – прямая проходит через начало координат; Ax C 0 B 0 – прямая параллельна оси Oy ;

By C 0 A 0 – прямая параллельна оси Ox ; Ax 0 B C 0 – прямая совпадает с осью Oy ; By 0 A C 0 – прямая совпадает с осью Ox .

4.5. Каноническое уравнение прямой на плоскости

Пусть искомая прямая ℓ проходит через точку М0(х0; у0) параллельно вектору s m; k (рис. 18).

Ненулевой вектор s , параллельный данной пря-

мой, называется направляющим вектором прямой.

Выберем на прямой ℓ произвольную текущую точку М(x; y) и найдем координаты вектора

M0M(x x0 ; y y0 ) . Можно заметить, что векторы

M0 M и s коллинеарны. Это означает, что

M0 (x0; y0 )

s(m; k)

M(x; y)

Рис. 18

соответствующие координаты этих векторов пропорциональны, т. е.

x x0 y y0 . m k

Это уравнение называется каноническим уравнением прямой на плоскости.

4.6. Параметрические уравнения прямой

Приравняем в каноническом уравнении прямой пропорции к параметру t и выразим из них переменные х и у:

x x0 y y0 t . m k

В результате получим параметрические уравнения прямой на плоскости:

45

x x0 mt ,

y y0 kt

где s(m; k) – направляющий вектор прямой;

(x0 ; y0 ) – координаты точки, принадлежащей данной прямой.

Пример. Записать каноническое и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A(–3; 5) параллельно вектору s(2; 6) .

Р еше н ие . Составим каноническое уравнение прямой:

x x0

 

y y0

,

x 3

 

y 5

.

m

k

2

6

 

 

 

 

Приравняем в каноническом уравнении прямой пропорции к параметру t и выразим из них переменные х и у:

x 3 y 5 t .

2 6

Получим параметрические уравнения этой же прямой:

x 2t 3y 6t 5 .

4.7. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Пусть искомая прямая ℓ проходит через две точки М0(х0; у0) и

M1(x1; y1) (рис. 19).

Выберем

на

прямой

текущую

точку

M0 (x0; y0 )

М(x; y)

и

найдем

координаты

векторов

M1(x1; y1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M0M(x x0 ; y y0 ) и

 

M0M1(x1 x0 ; y1 y0 ) .

 

Заметим,

что

векторы

M0M

и

M0M1

M(x; y)

Рис. 19

коллинеарны, т. е. можем записать

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0

 

 

y y0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

y

y

0

 

 

 

 

 

 

1

0

 

1

 

 

 

 

 

Это уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки.

Заметим, что в качестве направляющего вектора можно взять вектор s M0M1(x1 x0 ; y1 y0 ) .

46

Если x1 x0 , то уравнение прямой примет вид x x0 . При y1 y0 уравнение прямой будет иметь вид y y0 .

 

 

На пр им ер , составить уравнение прямой, проходящей через точку

А(–2, –3) и начало координат.

 

 

 

Р еше н ие .

 

Уравнение прямой имеет следующий вид:

 

x x0

 

 

y y0

, где

х0 = у0 =0; x1 = –2; y1 = –3. Тогда

получим

 

x

x

 

y y

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

y 0

;

 

x

 

y

. Избавимся от знаменателей в

левой и

 

2 0

 

3 0

 

 

2

3

 

правой части уравнения, используя свойство пропорции. Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения. В результате общее уравнение прямой примет вид 3x 2y 0.

4.8. Уравнение прямой в отрезках, отсекаемых от осей координат

Пусть искомая прямая ℓ отсекает от осей координат отрезки: а от оси Ох и b

от оси Оу (рис. 20). Тогда уравнение прямой в отрезках, отсекаемых от осей координат будет иметь вид

ax by 1.

y

b

M1(0; b)

 

M0 (a; 0)

 

 

 

0

a

x

 

 

 

Рис. 20

 

Пример. Прямая отсекает от координатных осей равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна, 8 см2.

Р еше н ие . Уравнение прямой в отрезках, отсекаемых от осей

координат, имеет вид

x

 

y

1. Так как прямая отсекает равные

a

b

 

 

 

отрезки, то a = b. Это означает, что образованный при этом прямоугольный треугольник будет иметь площадь, равную a2/2=8.

Таким образом, a = 4 и уравнение прямой примет вид

x

 

y

1.

 

 

 

4

4

 

Умножим обе части уравнения на 4 и перенесем все его слагаемые в левую часть. Тогда общее уравнение прямой будет выглядеть следующим образом х + у – 4 = 0.

47

 

 

 

4.9. Уравнение прямой, проходящей через точку

 

 

 

 

 

 

с заданным угловым коэффициентом

 

 

Пусть искомая прямая ℓ проходит через две точки М0(х0; у0) и

M1 (x1; y1 ) (рис. 7). При этом она будет задаваться уравнением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0

y y0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x

y

y

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

1

 

 

 

 

Выразим

из

данного

уравнения

числитель

правой

части:

y y

0

y1

y0 (x x )

и

введем

обозначение

k y1 y0 ,

коэф-

 

 

x1

x0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

x1 x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

фициент

k

будем

называть

 

угловым

 

 

 

коэффициентом.

Тогда

 

уравнение

прямой

y

M1(x1; y1)

примет вид

y y0

k(x x0 ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это

уравнение

называют

уравнением

 

 

 

прямой,

проходящей через

точку с заданным

 

 

0

x0

 

угловым коэффициентом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

Допустим,

что

прямая

проходит

через

y0

 

M0 (x0; y0 ) A

точку М0(х0; у0) и образует с положительным

 

Рис. 21

 

направлением оси Ох угол (рис. 21).

 

 

 

Рассмотрим прямоугольный треугольник М0AM1. Можно заметить,

что величина

y1 y0

определяет величину противолежащего катета к

углу ,

a x1 x0

величину прилежащего катета. Это означает, что с

геометрической точки зрения угловой коэффициент прямой

определяет тангенс угла наклона этой прямой с положительным

направлением оси Ох:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

y1 y0

tg(α) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

 

 

 

 

4.10. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Приведем подобные в уравнении y y0 k(x x0 ).

y

k tg()

В результате получим

y kx ( y0 kx0 ) .

Введем

 

 

 

 

обозначение b y0 kx0 .

Тогда уравнение

прямой

0

x

(рис. 22) примет вид

 

 

 

b

y kx b ,

 

 

Рис. 22

 

48

 

 

 

где k – угловой коэффициент прямой (т. е. тангенс угла , который прямая образует с положительным направлением оси Ox );

b – ордината точки пересечения прямой с осью Oy .

Пример. Дано общее уравнение прямой 12 х –5 у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой.

Р еше н ие . Выполним преобразования данного уравнения, приводящие к уравнению прямой в отрезках, отсекаемых ею от осей

координат: 12х – 5у = 65,

12

х

5

у 1 ,

 

х

 

 

y

 

1 .

 

 

(65 /12)

( 13)

65

 

65

 

 

 

 

 

Преобразуем общее уравнение к уравнению прямой с угловым

коэффициентом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12х – 5у–65 =0, –5у = 65 – 12х, y

12

 

x

65

 

, y

12

x 13.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

5

 

 

 

5

 

Угловой коэффициент данной прямой

k

12

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

4.11. Угол между прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Рассмотрим две прямые 1 и 2 на плоскости (рис. 23).

Углом между прямыми называется острый из двух смежных углов, образованных этими прямыми.

Если прямые 1 и 2 заданы уравнениями с

y

2

 

 

 

 

 

угловым коэффициентом: y = k1x + b1, y = k2x + b2,

 

 

1

 

2

 

то острый угол между этими прямыми будет

 

 

1

 

 

 

определяться по формуле

0

 

 

x

arctg

k2 k1

 

.

 

1 k1k2

Рис. 23

 

 

 

 

 

При этом прямые

1 и 2 параллельны, если k1 = k2, и

перпендикулярны, когда k1 = –1/k2.

Пример. Определить угол между прямыми: y = –3x + 7; y = 2x + 1.

Р еше н ие . Выпишем угловые коэффициенты

 

данных

 

прямых:

k1 = –3; k2 = 2 и найдем угол между ними: = arctg

 

2 ( 3)

 

1 , или

 

 

 

 

 

 

1 ( 3) 2

 

 

 

 

 

= /4.

Пусть прямые 1 и 2 заданы общими уравнениями соответственно:

49

Ах+Ву+С=0 и А1х+В1у+С1=0. Тогда угол между ними будет равен углу между их векторами нормалей:

arccos

n1

n2

 

 

 

 

 

A A1 B B1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

n

2

 

 

 

 

 

 

A2 B2

A2 B2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

При этом условие параллельности прямых

1

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

коллинеарности их нормальных векторов n1

 

и

n2

 

записано в следующем виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

B

 

 

C

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1

 

 

B1

 

C1

 

 

 

 

.

2 вытекает из и может быть

Условие перпендикулярности

прямых

1 и 2

следует из

 

 

 

 

 

 

ортогональности векторов n1

и

n2

и

определяется

следующим

равенством:

A A1 B B1 0 .

Пример. Вычислить угол между прямыми:

а) 2x 3y 10 0 и 5x y 4 0 ;

б) у

3

х 2 и 8x 6y 5 0 .

4

 

 

 

Р еше н ие . а) В данном случае прямые заданы общими уравнениями. Выпишем координаты нормальных векторов этих прямых:

 

 

3),

 

 

 

1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n1

(2;

n2 (5;

Воспользуемся расчетной формулой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

5

( 3) ( 1)

 

 

 

 

 

 

10 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arccos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arccos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

( 3)

2 52 ( 1)

 

 

 

4 9

25 1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

arccos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arccos

 

 

 

 

arccos

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

2

13

2

 

 

2

 

 

б) В данном случае k1 34 . Найдем k2 .

8x 6 y 5 0 6 y 8x 5 y 86 x 56 y 43 x 56 . Тогда k2 43 .

Следует отметить, что угловые коэффициенты прямых связаны соотношением k1= –1/k2, т. е. прямые перпендикулярны.

50

4.12. Точка пересечения двух прямых. Расстояние от точки до прямой

Пусть две непараллельные прямые 1 и 2 заданы общими уравнениями соответственно: Ах+Ву+С=0 и А1х+В1у+С1=0 и требуется найти точку их пересечения М0(х0; y0). Для этого необходимо решить систему линейных уравнений:

Ax By С 0

A1x B1 y С1 0 .

Преобразуем ее к виду

Ax By C

A1x B1 y С1 .

и решим методом Крамера. В результате получим

 

 

 

 

 

 

C

B

 

 

 

 

 

 

 

A

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

0

 

 

C1 B1

 

;

y

0

 

 

 

A1 C1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

A

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1

B1

 

 

 

 

 

 

 

A1

B1

 

 

 

 

Пример. Показать, что прямые

3x 2y 1 0 и

2x 5y 12 0

пересекаются и найти координаты точки пересечения этих прямых.

Р еше н ие . Так как

3

 

2

, т. е.

k

 

k

 

, то прямые пересекаются.

 

 

 

2

 

 

2

 

 

5

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Координаты точки пересечения прямых найдем из системы уравнений:

3x 2 y 1 0

 

 

3x 2 y 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, или

 

 

 

 

 

.

2x 5y 12

0

 

 

2x 5y 12

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

5 24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

12

5

 

 

 

 

 

 

 

 

19

1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

15 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19

 

 

 

 

2

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

2

12

 

 

 

 

 

36 2

 

38

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

15 4

19

 

 

 

 

 

 

 

2

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

51

 

 

 

 

 

 

 

Точка пересечения имеет координаты М(1; 2).

M0

 

Пусть требуется найти расстояние от точки

 

 

М0(х0; y0) до прямой : Ах+Ву+С=0 (рис. 24).

d

M1

Точка М11, у1) – основание перпендикуляра,

 

 

 

опущенного из точки М0

на заданную прямую.

 

 

Тогда расстояние

 

между

точками М0 и М1

Рис. 24

 

 

 

 

 

 

 

 

d (x x )2 ( y y )2 .

 

 

1

0

1

0

 

 

 

Составим уравнение прямой, перпендикулярной данной и проходящей через точку М0. В качестве направляющего вектора к этой

прямой можно взять вектор s( A; B) . Тогда уравнение

перпендикулярной прямой будет иметь вид (x x0 ) ( y y0 ) .

A B

Найдем координаты М1 как решение следующей системы уравнений:

Ax By С 0

 

 

 

(x x )

 

( y y ) .

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

A

 

B

 

 

Для этого запишем второе уравнение системы в параметрическом

виде:

 

Ax By С 0

 

 

 

x At x0

.

 

 

y Bt y0

 

Подставим правые части второго и третьего равенства в первое уравнение системы и выразим параметр t

 

t

Ax0 By0 C

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2 B2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда можем записать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0

At

Ax0

By0

C

 

 

A;

A2 B2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y y0

Bt

Ax0

By0

C

 

 

B.

A2 B2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ax0 By0 C

 

 

.

Таким образом, d (x

 

x )2

( y

y )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

0

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

A2 B2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

52

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.