Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Методичка по Математике

.pdf
Скачиваний:
113
Добавлен:
29.02.2016
Размер:
3.18 Mб
Скачать

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

ГЛАВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И КАДРОВ

Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ»

Кафедра высшей математики

МАТЕМАТИКА

Ч а с т ь 1

Методические указания по выполнению контрольной работы для студентов заочной формы получения образования специальности 1-74 06 01 – техническое обеспечение процессов сельскохозяйственного производства

Горки

БГСХА

2014

3

УДК 517(072) ББК 22.1я73

В93

Рекомендовано методической комиссией инженерного факультета.

Протокол № 8/14 от 24 октября 2014 г.

Авторы:

кандидат технических наук, доцент С. В. Курзенков; кандидат экономических наук, доцент Т. Б. Воронкова; старший преподаватель Т. В. Левкина

Рецензенты:

кандидат технических наук, доцент В. В. Дятлов; старший преподаватель И. А. Мазаев

Математика. Ч а с т ь 1 : методические указания по В93 выполнению контрольной работы / С. В. Курзенков [и др.]. –

Горки : БГСХА, 2014. – 100 с.

Включают перечень экзаменационных вопросов 1-го семестра по дисциплине, теоретический материал по темам, вынесенным для самостоятельного изучения в 1-ом семестре, рекомендуемую литературу. С целью отработки навыков решения задач предложены задания, рекомендуемые для самостоятельного решения и варианты индивидуальных заданий. Приведен типовой пример теста с ответами.

Для студентов специальности 1-74 06 01 – техническое обеспечение процессов сельскохозяйственного производства.

.

УДК 517(072)

ББК 22.1я73

© УО «Белорусская государственная сельскохозяйственная академия», 2014

4

ВВЕДЕНИЕ

Всовременном образовании наиболее актуальной является проблема эффективности профессиональной подготовки будущих специалистов. Основными задачами высшей технической школы являются формирование у выпускников вузов системы необходимых знаний, умений и навыков, а также развитие способности и готовности пополнять и применять эти знания в профессиональной деятельности современных инженеров.

Изучение математики в вузе дает в распоряжение будущих инженеров не только определенные знания, но и развивает способность ставить, исследовать и решать самые разнообразные задачи,

втом числе и профессиональные, а значит, позволяет будущим специалистам расширять свой кругозор и развивать мышление. Полученные студентами математические знания являются фундаментом для дисциплин естественнонаучного, общепрофессионального и специального циклов. Универсальность математических методов позволяет обнаруживать существующие взаимосвязи разных дисциплин и способствует в будущем успешной профессиональной деятельности.

Цель учебной дисциплины «Математика» – формирование у студентов знаний, умений и профессиональных компетенций помогающих анализировать, моделировать и решать прикладные инженерные задачи.

Задачи учебной дисциплины – дать студентам представление о месте математики в системе естественных наук и о математике как особом способе познания мира.

Врезультате изучения учебной дисциплины студент должен:

знать:

– методы математического анализа, аналитической геометрии,

линейной, векторной и высшей алгебры, методы решения дифференциальных уравнений;

– основные понятия и методы теории вероятностей и математической статистики;

5

особенности и правила применения теоретических основ математики при решении технических задач, задач по совершенствованию технологических и производственных процессов.

уметь:

решать математические формализованные задачи линейной алгебры и аналитической геометрии;

дифференцировать и интегрировать функции, вычислять интегралы по площадям и объемам;

решать дифференциальные уравнения и их системы;

ставить и решать вероятностные задачи и применять статистические методы обработки данных;

–строить математические модели физических процессов;

владеть:

методами решения прикладных математических задач при оптимизации производства.

Для оценки учебных достижений студентов заочной формы получения образования специальности 1-74 06 01 «Техническое обеспечение процессов сельскохозяйственного производства» во время подготовки их к сессии в первом и втором семестрах запланированы контрольные работы. Они выполняются в виде АКТ (аудиторного контрольного тестирования) в первые дни появления студентов на сессии. Спецификация и типовой пример такого опроса для первого семестра приведены в разделе 7 данных методических указаний.

В соответствии с учебным планом завершающим этапом изучения математического курса в обоих семестрах является сдача экзаменов.

Основной формой обучения студентов-заочников является самостоятельная работа над учебным материалом: изучение учебников, решение задач, выполнение тренировочных заданий, ответы на вопросы теста по пройденным разделам.

Самостоятельную работу над учебным материалом рекомендуется проводить студентам по следующей схеме: изучение теоретических сведений по учебникам и пособиям, решение задач, самопроверка.

Во время изучения учебника следует переходить к следующему вопросу только после правильного понимания предыдущего, проделывая самостоятельно рекомендуемые к решению задания, восстанавливая все промежуточные вычисления. Весьма полезным является краткое конспектирование изучаемого теоретического материала с выделением в конспекте важнейших формул. Как правило,

6

при сдаче экзамена, в случае необходимости разрешается воспользоваться таким конспектом.

Изучение теоретического материала должно сопровождаться решением задач. При этом следует обращать серьезное внимание на правильность арифметических вычислений. Задачи определенного типа необходимо решать до приобретения твердых навыков и только в этом случае можно пропускать однотипные примеры.

Самопроверка состоит из ответов на теоретические вопросы и решений тестовых или индивидуальных заданий. Не стоит расстраиваться и паниковать, если какие-то задания не будут сразу получаться. Нужно попытаться выяснить, из-за чего конкретно не получается правильный ответ, найти аналогичное задание в литературе, и, если есть в этом необходимость, лишь потом обращаться за консультацией.

Данная работа ни в коей мере не заменит учебник. Она лишь служит своеобразным “путеводителем”, обращая внимание студента на принципиальные моменты курса.

1. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ 1-ГО СЕМЕСТРА

1.Матрицы, их виды, действия над матрицами.

2.Определители второго и третьего порядка, их свойства и вычисление.

3.Системы линейных уравнений, основные понятия.

4.Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

5.Векторы, основные понятия.

6.Координаты вектора и его длина.

7.Действия над векторами и их свойства.

8.Операции над векторами в координатах.

9.Деление отрезка в заданном отношении.

10.Скалярное произведение векторов, его свойства и применение.

11.Векторное произведение двух векторов, его свойства и применение.

12.Смешанное произведение тройки векторов, его свойства и применение.

13.Уравнение линии на плоскости.

14.Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно заданному вектору.

15.Общее уравнение прямой.

16.Каноническое уравнение прямой на плоскости.

7

17.Параметрическое уравнение прямой.

18.Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

19.Уравнение прямой в отрезках, отсекаемых от осей координат.

20.Уравнение прямой, проходящей через точку с заданным угловым коэффициентом.

21.Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

22.Угол между прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

23.Точка пересечения двух прямых. Расстояние от точки до прямой.

24.Эллипс, его канонические уравнения.

25.Окружность, ее канонические уравнения.

26.Гипербола, ее канонические уравнения.

27.Парабола, ее канонические уравнения.

28.Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

29.Уравнение поверхности в пространстве.

30.Уравнение плоскости в пространстве.

31.Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Расстояние от точки до плоскости.

32.Прямая в пространстве.

33.Угол между прямыми в пространств. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

34.Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

35.Поверхности второго порядка.

36.Функция одной переменной, её свойства и способы задания.

37.Предел функции в точке и на бесконечности. Свойства пределов и способы вычисления.

 

 

0

 

 

38. Раскрытие неопределенностей

 

 

 

и

.

 

 

 

0

 

 

39.Первый замечательный предел. Применение эквивалентных при вычислении пределов.

40.Непрерывность функции в точке. Точки разрыва графика функции.

41.Определение производной, её физический и геометрический смысл.

42.Основные правила дифференцирования. Таблица производных.

43.Производная от сложных функций. Производные более высокого порядка.

44.Применение производной: дифференциал функции, касательная к графику функции, правило Лопиталя вычисления пределов.

8

45.Монотонность функции, условие строгой монотонности функции на интервале.

46.Точки экстремума графика функции. Достаточное условие существования экстремума функции. Схема исследования.

47.Точки перегиба графика функции, интервалы выпуклости вверх и вниз. Достаточное условие существования перегиба графика функции. Схема исследования.

48.Схема исследования функции для построения её графика.

49.Функция двух переменных, её свойства и способы задания.

50.Частные производные функции двух переменных первого и второго порядка.

51.Применение частных производных функции двух переменных.

52.Исследование функции двух переменных на экстремум.

53.Первообразная и неопределенный интеграл.

54.Свойства неопределенного интеграла.

55.Основная таблица неопределенных интегралов.

56.Методы интегрирования: непосредственное интегрирование, замена переменной, интегрирование по частям.

57.Определенный интеграл, его геометрический и физический смысл, свойства.

58.Интеграл с переменным верхним пределом. Формула НьютонаЛейбница.

59.Методы вычисления определенных интегралов.

60.Приложения определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур и объёмов тел вращения.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Г ус а к , А. Н. Высшая математика: в 2 ч. / А. Н. Гусак. – Минск: ТетраСистемс,

2000. – Ч. 1.

2.Г ус а к , А. А. Справочное пособие к решению задач. Аналитическая геометрия и линейная алгебра / А. А. Гусак. – Минск: Вышэйш.шк., 2001.

3.Ж е в н я к , Р. М. Высшая математика: основы аналитической геометрии и линейной алгебры. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной / Р. М. Жевняк, А. А. Карпук. – Минск: Вышэйш. шк., 1992.

4. К уд р я в ц е в , В. А. Краткий курс высшей математики / В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович. – М.: Наука, 1989.

5.М и л о в а н о в , М. В. Алгебра и аналитическая геометрия: в 2 ч. / М. В. Милованов, Р. И. Тышкевич, А. С. Феденко. – Минск: Вышэйш. шк., 1984. – Ч. 1.

6.П и с ь м е н н ы й , Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: в 3 ч./ Д. Т. Письменный. – 2-е изд., испр. – М.: Айрис-пресс, 2004. – Ч. 1.

7.К л е т е н и к , Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии / Д. В. Клетеник – М.: Наука, 1998.

9

2. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

2.1. Матрицы и их виды, действия над матрицами

Матрицей размерности m на n (m n) называется прямоугольная таблица чисел или буквенных обозначений, содержащая m строк (горизонтальных рядов) и n столбцов (вертикальных рядов) одинаковой длины. Матрица записывается в виде

 

a

a

...

a

 

 

11

12

 

1n

А =

a21

a22

...

a2n .

 

... ...

...

...

 

 

 

am3

...

 

 

 

am1

amn

Сокращенно матрицу Am n можно представить как

aij ,

где i 1,m (т. е. i 1,2,3,...,m) номер строки; j 1, n (т. е. j 1,2,3,...,n) номер столбца; aij элементы матрицы.

Матрицы А и В называются равными, если равны все соответствующие элементы этих матриц, т. е. aij bij , где i 1,m; j 1,n.

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера n n называют матрицей n-

го порядка.

Элементы квадратной матрицы aij , для которых номера строк и

столбцов совпадают (i=j), образуют ее главную диагональ. Другая диагональ матрицы называется побочной.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной и обозначается

 

 

 

 

a11

0

...

0

 

 

 

 

 

 

0

a

...

0

 

diag(a ,

a ,

..., a

 

)

 

22

 

 

.

nn

 

 

 

 

11

22

 

...

...

...

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

...

 

 

 

 

 

 

 

ann

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

1

0

0

 

 

 

 

 

 

Например, diag( 1, 4, 5)

0

4

0

.

 

0

0

5

 

 

 

Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной и обозначается E:

 

1

0 ...

0

 

 

 

0

1 ...

0

 

 

E =

 

 

.

...

... ...

...

 

 

 

 

0

0 ...

1

 

 

 

 

 

 

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается О.

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной к дан-

ной, и обозначается T .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

8

 

является матрица

 

Например, транспонированной к

 

 

 

 

 

 

 

 

5

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

5

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Α

 

 

3

3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

5

8

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сложение и вычитание матриц. Операция сложения и вычитания

матриц вводится только для матриц одинаковой размерности.

Суммой двух матриц m n

aij и m n bij

называется матрица

Cm n cij такая, что cij aij bij ; i

 

;

 

 

 

 

 

 

1,m

j 1,n.

Например,

2

3

0

3

3 1

5 0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

4 5

6

2

4

2 0

 

10

Разностью

двух

матриц

m n

aij и m n bij называется

матрица Dm n

dij такая, что dij aij bij ; i

 

; j

 

 

1,m

1,n.

 

2

3

0

3

3 1

1 6 1

Например,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

4 5

6

2

4

6

10 2

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Умножение матрицы на число. Данная операция определена для

матриц любой размерности.

 

m n aij

 

 

 

 

 

 

Произведением матрицы

 

на

число называется

матрица m n bij такая, что

 

 

 

 

 

bij aij ; i 1,m

; j

1,n.

0

2 4

 

 

0

4

 

8

Например, 2

 

 

 

 

 

 

 

.

 

8 10

 

 

 

16

 

 

 

6

 

 

12

20

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число

обладают следующими свойствами (А, В, С – матрицы,

и –

числа):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) ;

 

 

 

 

2) С С;

 

3) ;

 

 

 

 

4) ;

 

 

 

 

 

 

 

5) 1

 

 

 

 

6) α α α ;

 

 

7) α β α β ;

 

 

 

8) α αβ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

1

3

4

 

 

 

 

 

 

 

2

1

4

 

 

 

5

7

8

 

. Найти

Прим ер 1 . Даны матрицы А =

; B =

 

 

 

 

 

 

 

3

2

3

 

 

 

1

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2А + В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

6

 

 

 

 

3

7

10

 

 

 

4

2

8

 

; 2)

 

 

 

 

9

9

16

 

 

 

Р еше н ие . 1) 2А=

 

2А + В =

.

 

 

 

6

4

6

 

 

 

 

 

 

7

6

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Произведение матриц. Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы

равно числу строк второй матрицы.

n p b jk

Произведением матрицы m n aij на матрицу

называется матрица Cm p cik такая, что

 

 

 

 

 

cik ai1

b1k ai2 b2k ... ain bnk ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где i 1,m; j 1,n; k 1, p,

т. е. элемент i-й строки и

k-гo столбца

результирующей матрицы С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-гo столбца матрицы В.

Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения А В и В А всегда существуют.

12

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.