Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Методичка по Математике

.pdf
Скачиваний:
122
Добавлен:
29.02.2016
Размер:
3.18 Mб
Скачать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

j

 

k

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

0

 

k

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

k

 

0

 

i

k

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

j

 

i

 

0

 

Рис. 11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

координатной форме векторное

 

 

 

 

 

 

a(xa

; ya ; za ) и b(xb ; yb ; zb ) равно:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

j

k

 

xa

ya

za

 

a

b =

 

 

 

xb

yb

zb

произведение векторов

.

Применение векторного произведения векторов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 и

1. Проверка векторов на коллинеарность. Если a | |b , то

a b

наоборот.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1 .

Проверить векторы

a 2i

5 j

k и

b

i

2 j 3k на

коллинеарность.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р еше н ие .

Запишем векторы в координатной форме

 

5;

1),

a (2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b (1; 2; –3) и найдем их векторное произведение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

j

k

 

 

 

5 1

 

 

 

2

1

 

 

 

2 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

b

2

5 1

 

i

 

2

3

 

j

 

1

3

k

 

1

2

17i

7 j

k .

 

 

 

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 , то эти векторы не коллинеарны.

 

 

 

 

 

 

Так как a b

 

 

 

 

 

 

2.

Нахождение площадей

параллелограмма

и

треугольника.

Согласно определению векторного

произведения векторов

 

и

 

a

b

модуль этого произведения численно равен площади параллелограмма,

построенного на векторах

 

и

 

 

 

 

 

a

b , как на сторонах, т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

j

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sпар

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

b

 

a

 

b

sin( )

xa

ya

za

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xb

yb

zb

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а значит площадь соответствующего треугольника будет равна

33

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

i

 

 

j

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

a

b

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

b

sin( )

 

 

 

 

xa

 

ya

za

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xb

 

yb

zb

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2 . Найти площадь параллелограмма,

построенного на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

векторах a

3b,

3a b ,

 

 

 

a

 

b

 

1, (a

ˆ; b)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р еше н ие . П лощадь параллелограмма определяется по формуле

 

 

Sпар

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a

 

3b)

(3a

b)

. Найдем (a

3b) (3a b)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3a a

a

b

9b

a

3b

b

b a 9b a

8 (b

a) .

 

 

Тогда S

 

 

 

 

8

 

b

 

 

 

 

sin30 4 (ед.2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пар

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример

3 .

 

 

Вычислить

 

 

площадь

треугольника

 

с

 

 

вершинами

А(2; 2; 2), В(4; 0; 3), С(0; 1; 0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р еше н ие .

 

Найдем координаты векторов AC и AB :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AC(0 2; 1 2;

 

0 2),

 

или AC( 2;

1;

 

2);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB(4 2;

 

0 2;

 

 

3 2), или AB(2; 2;

1) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

2

2

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда AC AB

2

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

2

 

 

1

 

 

j

 

2

1

 

 

k

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i ( 1 4)

j( 2 4) k (4 2) 5i

2 j 6k ,

 

 

а

его

 

модуль

равен

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AC AB

 

 

 

 

25 4 36

 

 

65.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, площадь треугольника равна S

 

 

65

 

 

(ед.2).

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Определение момента силы относительно точки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть в точке А приложена сила F и пусть А – некоторая точка

пространства (рис. 12).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из физики известно, что моментом силы F относительно точки А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

называется вектор M ,

 

который проходит через точку А численно

равен произведению силы на плечо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

F

ON

 

F

 

r

sin( )

F

 

OA

sin(F

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

34

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и образует правую тройку векторов с векторами OA и AB .

 

M

 

F

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

A

 

 

B

N

Рис. 12

Из вышесказанного можно сделать вывод, что

M r F AB F .

Пример 4 . Найти величину момента силы F(1; 0; 1) относительно точки A( 2; 1; 3) , если сила приложена к точке B(3; 1; 0) .

Р еше н ие . Определим координаты вектора AB(3 2; 1 1; 0 3) , AB(5; 2; 3). М омент M силы F относительно точки А найдем как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

j

 

k

 

 

2

3

 

 

 

 

 

5

3

 

 

 

 

5 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M AB F

5 2 3

i

j

 

k

 

2i 8 j 2k ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

1

 

 

 

0

 

1

 

 

 

 

 

1

1

 

 

1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M ( 2; 8; 2) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда величина

 

момента

силы

 

F

равна

модулю

 

вектора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

( 2)2 ( 8)2 22

72 6 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.12. Смешанное произведение тройки векторов,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

его свойства и применение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Смешанным произведением векторов

 

 

 

называется число,

 

 

 

a ,

b и

c

равное скалярному

произведению вектора

 

 

на вектор,

 

равный

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

векторному произведению векторов b и

c . Обозначается как abc .

Смешанное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1. Смешанное произведение равно нулю, если:

35

а) хотя бы один из векторов нулевой; б) в произведении есть коллинеарные векторы; в) векторы компланарны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. (a

b) c

a

(b

c) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. (a,b,c)

(b,c, a) (c, a,b)

(b, a,c) (c,b, a) (a,c,b) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. ( a1

a2

,b,c) (a1

,b,c) (a2 ,b,c) .

 

 

 

В координатной

форме

 

смешанное произведение

векторов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a(xa ; ya ; za ) ,

b(xb ; yb ; zb ) и c(xc

; yc ; zc ) равно:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xa

ya

za

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

abc

xb

yb

zb

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xc

yc

zc

 

 

 

 

Применение смешанного произведения векторов.

 

1. Проверка тройки векторов на компланарность. Векторы

 

,

 

 

a

b и

компланарны

тогда

и

только

тогда,

когда

их

смешанное

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 :

 

 

 

произведение равно нулю при условии, что a

0 , b 0 , c

 

 

 

 

xa

ya

za

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zb 0

 

 

 

 

 

 

 

 

abc xb

yb

 

векторы

a ,

b и

c компланарны.

 

 

 

xc yc zc

Пример 1 . Доказать, что точки А(5; 7; – 2), B(3; 1; –1), C(9; 4; –4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.

Р еше н ие . Если заданные точки лежат в одной плоскости, то соответствующая тройка векторов, выходящих из общего начала, будет компланарна. Проверим, компланарны ли векторы с общим

началом в точке А. Найдем координаты этих векторов: AB( 2; 6; 1) ,

АС(4; 3; 2) , AD( 4; 2; 2) . Вычислим их смешанное произведение:

 

2

6

1

 

 

 

2

6

1

 

0

6 1

 

 

 

 

 

 

 

АВ АС АD

4

3

2

 

 

 

0

15

0

 

0

15

0

 

0 .

 

4

2

2

 

 

 

0

10

0

 

0

10

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно, точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.

36

 

2.

Определение

взаимной

ориентации

тройки

векторов

в

пространстве. Тройка векторов

 

 

 

в пространстве право-

a ,

b и

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ориентирована, если abc 0 , и левоориентирована при abc 0 .

 

 

3.

Нахождение

объемов. Смешанное

произведение

 

 

 

по

 

a

b

c

модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах

 

a ,

 

 

, как на сторонах (рис. 13), т. е.

 

 

 

 

 

 

 

b

и c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xa

 

ya

za

 

 

 

Vпар

 

 

 

 

 

 

 

 

abc

xb

 

yb

zb

.

 

 

 

 

 

xc

 

yc

zc

 

 

Объем

 

треугольной

 

пирамиды,

построенной на векторах

 

 

и

 

, как на

a

, b

c

сторонах (рис. 14), равен одной шестой смешанного произведения этих векторов, взятого по абсолютной величине, т. е.

 

1

 

 

 

1

 

xa

ya

za

 

Vпир

 

 

 

 

 

 

 

 

abc

 

xb

yb

zb

.

6

6

 

 

 

 

 

xc

yc

zc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c b

a

Рис. 13

c b

a

Рис. 14

Пример 2 . Найти длину высоты треугольной пирамиды с вершинами A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2), опущенную на

грань BCD.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р еше н ие . Найдем

к оординаты векторов: BA( 2; 3; 4) ,

BD(1; 4; 3),

BC(4; 1; 2) . Тогда объем пирамиды можно вычислить

по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

3

4

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

1

4

3

 

 

2( 8 3) 3( 2 12) 4( 1 16)

 

 

 

 

 

 

пир

6

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

4

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

22 30 68

 

20(ед.3 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

37

Из школьного курса математики известно, что Vпир 13 Sосн h .

Откуда следует, что h

3 Vпир

Поэтому для нахождения длины

Sосн

 

 

высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.

ij k

BD BC 1

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

i ( 8 3) j ( 2 12) k ( 1 16)

 

4

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11i

10 j 17k.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим модуль векторного произведения векторов:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BD BC

 

112 102 172

 

 

121 100 289

510 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда площадь треугольника BCD равна Sосн =

 

 

510 / 2 (ед.2), а

 

 

 

 

 

 

 

3 Vпир

 

 

2 3 20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

длина искомой высоты –

h

 

 

 

4 510

 

(ед.).

Sосн

 

 

 

 

 

17

 

 

510

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. ЗАДАНИЯ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ

«ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ»

3

6

1

1

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

1. Найти А–В, если А= 8

2

, В= 0

.

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

4

1

2

 

 

 

 

 

 

 

1 1 3

2 4 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Найти матрицу Х из уравнения 4 3

2

1

2Х 10 2 4

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1 3

1 1 10

 

3. Найти АВ, если:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1

 

 

 

 

 

 

1 0 2

 

1

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

3 1 1

 

 

a) A

0 4

 

 

 

 

;

б) А=

 

,

В= 0 1 .

, B

3

4

 

1 2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1

 

 

 

 

 

 

1 3 2

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

38

 

 

 

 

 

 

1

2

5

 

4. Найти А2

 

 

 

 

 

,если А

2

4

10

.

 

 

1

2

5

 

 

 

 

3

6

 

1

0 3

2

. Найти E В 4В А2В.

5. Дано: А=

 

 

,

В =

 

1 1

 

 

2

1

 

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Проверить, выполняются ли равенства AB BA , (AB)C=A(BC)

для матриц:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 0

0

2 0

 

0

 

 

3

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A 0

1 0

, B 0 5

 

0

, C

0

2

0 .

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

0

5

 

0 0

 

0 0

 

4

 

 

0

 

7. Вычислить AB 2CT , если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

1

2

 

 

2 4

6

 

A

 

0

4

 

,

 

 

 

 

B

 

 

, C

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

5 7

3

 

 

 

 

2

1

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Найти все миноры и алгебраические дополнения матрицы

 

2

3

4

7

11 15

0

14

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) А 1

2

5 ; 2)

B

9

4 1 ; 2)

C

8

7

18 .

 

7

 

 

5

 

 

4

33

 

4

6

 

7 12

 

42

9. Вычислить определители:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

 

3

2

 

 

 

 

2

 

1

 

 

2

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

1)

;

2)

;

3)

2 1

3

; 4)

5

2 4

;

 

 

 

 

4

6

 

 

4

5

 

 

2

0

2

 

 

3

3

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

6

 

4

2

 

 

3

4

5

 

 

2

3

1

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

 

2

0

1

 

; 6)

4

 

1

2

; 7)

3

2

2

; 8)

4

1 2

 

.

 

 

4 1

3

 

 

 

 

1

 

3

1

 

 

0

1 1

 

 

3

5

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Решить системы уравнений методом Крамера:

1)

3х 4 у 2

3х 4 у 1

3х 4 у 1

; 2)

; 3)

;

 

2х 3у 7

6х 8у 3

9х 12 у 3

39

2х у 3z 9

3х у

z 1

 

х 2 у 3z 4 0

4) 8х

 

 

 

 

; 6)

2х

 

3у 5z 13 ; 5)

5х 2 у 3z 2

у z 3 0 .

2х

 

8х 3у 2z 3

 

 

3х

 

5у z 5

 

 

3у 2z 7 0

11. Даны точки A(3; 1; 2) и B( 1; 2;1) . Найти координаты векторов

AB и BA , их длину и направляющие косинусы.

12.Определить точку N , с которой совпадает конец вектора a(3; 1; 4) , если его начало совпадает с точкой M(1; 2; 3) .

13.Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы: 1) 45o , 60o , 120o ; 2)

45o , 135o , 60o .

14.Проверить, коллинеарны ли векторы a(2; 1; 3) и b( 6; 3; 9) .

Если да, то установить, какой из них длиннее и во сколько раз. Как они направлены – в одну сторону или в противоположные?

15. Проверить, что

четыре

точки

 

A(3; 1; 2) ,

B(1; 2; 1) ,

C( 1; 1; 3) , D(3; 5; 3)

служат вершинами трапеции.

 

16. Даны точки A(2; 1;3) , B(1;0; 2) , C(2; 4; 1) , D(1; 1; 5) . Найти:

1) координаты вектора 2AB CD ;

2) длину вектора CB 3AD+DС.

17. Векторы a и b образуют угол

2

. Зная, что длины этих

3

 

 

 

 

 

векторов соответственно равны a 3 и b 4 , вычислить:

1) ab ; 2) a ; 3) b ; 4) (a b) .

18. Даны векторы a(4; 2; 4), b(6; 3; 2) . Вычислить:

1) ab ; 2) a ; 3) b ; 4) (2a 3b)(a 2b) ; 5) (a b) ; 6) (a b) .

19. Даны три силы: М(3; 4; 2), N(2; 3; 5) и P( 3; 2; 4) , прило-

женные к одной точке. Вычислить, какую работу производит равнодействующая этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения M1 (5; 3; 7) в положение

M2 (4; 1; 4) .

40

20. Определить, при каком значении векторы a i 3 j 2k

и

b i 2 j k

ортогональны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21. Даны вершины треугольника

 

A( 1; 2; 4),

 

B (

4 ;

2 ; 0 ) ,

C ( 3 ; 2. ;Определить1 )

его внутренний угол при вершине В.

 

 

22. Даны три вектора: a 3i 6 j k , b i 4 j 5k

и c(3; 4;12) .

Вычислить прc

b) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23. Даны

точки

A( 2; 3; 4), B(3; 2; 5), C(1; 1; 2) , D(3; 2; 4) .

Найти:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) (2AB+CD) AC ; 2)

прAD (BA CB) ;

 

 

 

 

 

3) угол между векторами BA AC и DA .

 

 

 

 

 

24. Даны векторы: a 10, b 2

и ab 12 . Вычислить

 

 

 

 

 

a b

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3,

 

26 и

 

a b

 

72 . Вычислить ab .

 

25. Даны векторы:

a

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26. Даны векторы

 

 

a(3; 1; 2)

и

 

b(1; 2; 1) .

Найти координаты

векторных произведений: 1) a b;

2)

(2a b) b;

3) (2a b) (2a b) .

27. Сила P(2; 4; 5)

приложена к точке M0 (4; 2; 3) . Определить

момент этой силы относительно точки A(3; 2; 1) .

 

 

 

 

 

28. Даны три силы: M(2; 1; 3) ,

 

N(3; 2; 1)

и P( 4; 1; 3) , прило-

женные к точке C( 1; 4; 2) . Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки

A(2;3; 1) .

29. Даны вершины треугольника A(1; 1; 2), B(5; 6; 2), C(1; 3; 1). Вычислить длины его высот.

30. Даны три вектора: a i j 3k ; b 2i 2 j k ; c(3; 2; 5). Требуется:

1)вычислить смешанное произведение векторов abc ;

2)установить, компланарны ли векторы a, b, c ;

3)определить ориентацию тройки векторов a, b, c ;

41

M(х; у)
R
C(a; b)
Рис. 15.

4) вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах a,b, c .

31. Проверить, лежат ли точки A(1; 2; 1) , B(0; 1; 5) , C( 1; 2; 1) ,

D(2; 1; 3) в одной плоскости.

32. Даны вершины пирамиды: A(2; 3; 1) , B(4; 1; 2) , C(6; 3; 7) и D( 5; 4; 8) . Найти длину его высоты, опущенной из вершины D.

4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВЕ

4.1. Уравнение линии на плоскости

В аналитической геометрии любую линию на плоскости рассматривают как множество точек, обладающих общими свойствами.

Например, окружность радиуса R – это множество точек плоскости, равноудаленных на расстояние R от заданной точки,

называемой центром окружности.

Уравнением линии называется такое уравнение F(x; y) = 0, связывающее переменные x и у, которому удовлетворяют координаты любой точки данной линии и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на ней. Переменные x и у в уравнении линии

называются текущими координатами точек линии.

Для того чтобы составить уравнение линии, на ней выбирают произвольную текущую точку М(x; y) и посредством координат выбранной точки математически выражают свойства, присущие всем точкам линии.

На пр им ер , составить уравнение окружности с центром в точке С(a; b) и радиусом R (рис. 15).

Р еше н ие . Выберем на окружности текущую точку М(x; y). Известно, что все точки окружности равноудалены от центра С на

расстояние R. Тогда длина вектора CM будет равна R. Выразим длину вектора CM . Так как вектор имеет координаты CM(x a; y b) , то

его длина равна (x a)2 ( y b)2 R , или

(x a)2 ( y b)2

R2 .

42

 

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.