2.3. Этапы экономико-математического моделирования

Для исследования системы на модели необходимо выполнить следующие этапы.

1. Постановка (формулировка) задачи и обоснование критерия оптимальности. От решения вопросов первого этапа во многом зависит качество получаемых результатов. Постановка задачи включает решение следующих вопросов:

а) выбор и формулировка цели задачи, решение которой наиболее важно в данный момент времени;

б) выбор периода планирования (т. е. краткосрочный, среднесрочный, долгосрочный или текущего планирования);

в) определение объемов основных ресурсов моделируемой системы и тех параметров, которые оказывают влияние на функционирование системы;

г) выявление возможных альтернатив решения применительно к исследуемой конкретной ситуации. Лицо, принимающее решение, должно иметь возможность оценивать различные варианты функционирования системы, соответствующие разным стратегиям. Для оценки этих стратегий используется критерий оптимальности. Наряду с этим понятием в экономической литературе можно встретить термины «критерий эффективности», «показатель эффективности», «критерий качества».

Под критерием оптимальности понимается экономическая категория, выражающая предельную меру экономического эффекта принимаемого хозяйственного решения. Критерий оптимальности должен обладать следующими свойствами:

– быть простым, т. е. не содержать большого количества факторов;

– быть представительным, т. е. отражать основную цель поставленной задачи;

– быть критичным, т. е. сильно реагировать на изменения параметров исследуемых стратегий функционирования системы;

– быть единственным, т. е. каждой модели соответствует единственный критерий оптимальности.

Критерий оптимальности подразделяется на глобальный и локальный.

Глобальный критерий оптимальности является народнохозяйственным, он вытекает из действия основного экономического закона любой системы, т. е. интенсивного использования ресурсов с целью максимального производства продукции, снижения издержек производства, создания условий для нормального функционирования общества.

Локальный – это частный критерий оптимальности, он связан с детализацией глобального. Этот критерий используют для решения задач более низкого уровня. Требуется, чтобы локальный критерий оптимальности учитывал основные положения глобального критерия оптимальности и не противоречил ему.

Критерий оптимальности может быть выражен как количественно, так и качественно. Математически критерий оптимальности, соответствующий качественной цели, записывается следующим образом:

В литературе такие критерии называются порядковыми или ранговыми критериями оптимальности. Они определяют, какая стратегия лучше или хуже других, но не поясняют насколько.

В основном критерий оптимальности носит количественный характер, состоящий в стремлении к увеличению (максимизации) или уменьшению (минимизации) показателя, характеризующего уровень достижения поставленной цели и зависящего от рассматриваемых стратегий и входных параметров модели.

Количественным выражением критерия оптимальности в экономико-математических моделях является целевая функция. Особенность ее в том, что она однозначна. Это означает, что если при одних и тех же условиях задачи изменить целевую функцию, то получим новое ее решение. В силу специфики своего развития агропромышленное производство многокритериально, т. е. общество заинтересовано в получении максимальной прибыли, в росте производительности труда, снижении издержек и т. д.

Возникает необходимость поиска многих решений, отвечающих разным критериям оптимальности. В этом случае критерий оказывается векторным, т. е. включающим несколько показателей. Многоцелевой характер критерия оптимальности чаще всего выражается в модели следующим образом:

1) применяют прием ведущего критерия, т. е. один из наиболее предпочтительных критериев используется в качестве целевой функции задачи, а требования всех оптимальных учитываются при составлении ограничений задачи;

2) прием последовательных уступок. Сущность данного приема состоит в замене многокритериальной задачи оптимизации последовательностью однокритериальных задач. Вначале исследуемые критерии ранжируются в порядке убывания их значимости. Задача решается с первым по значимости критерием , и определяется его экстремальное значение. Затем назначается величина допустимого отклонения критерия от его оптимального значения, т. е. уступка Δ, и решается задача еще раз, но уже со вторым по значимости критерием, при условии, что отклонение первого критерия от его оптимального значения не превзойдет величины уступки. Далее назначается уступка для второго критерия, и задача решается с третьим критерием и т. д. Таким образом, решение каждой исследуемой задачи основано на решении предыдущей задачи, так как оно содержит дополнительные ограничения, характеризующие величину уступки по критериям;

3) используют прием скаляризации векторного критерия (приведения его к скаляру), который может быть осуществлен следующими способами:

1) аддитивная свертка критериев –

;

2) мультипликативная свертка –

;

3) логарифмически-аддитивная свертка –

,

где – локальный критерий видаi, ;

–вес критерия вида i, .

При этом и≥0, .

Вектор весов критериев =(,,…,) обычно определяется на основе экспертных оценок.

2. Определение перечня переменных и ограничений базовой модели. Установление перечня переменных величин или неизвестных экономико-математической задачи играет важную роль, так как определяет размерность задачи. К переменным величинам задачи предъявляются следующие требования:

1. Перечень переменных величин должен отражать характер, основное содержание моделируемой экономической системы. Например, при моделировании рецептуры выпускаемых продуктов в качестве переменных будет выступать вес различного сырья в рецептурной смеси;

2. Количество и состав переменных в каждой модели определяются вычислительными возможностями прикладных компьютерных программ;

3. Количество переменных зависит от выбора периода планирования, который оказывает влияние на степень их детализации. Чем короче период, на который составляется модель, тем более детализированы переменные. Например, при краткосрочном планировании рекомендуют переменные, обозначающие посевную площадь зерновых культур, вводить в модель по их видам: озимая рожь, ячмень, яровая пшеница и т. д. При моделировании на более отдаленную перспективу в модели оптимизации основных параметров маркетинговой системы сельскохозяйственного предприятия в качестве переменных используются, например, зерновые культуры и другие объединенные группы отраслей.

В экономико-математической модели переменные можно разделить на следующие группы:

– основные;

– дополнительные;

– вспомогательные.

Основные переменные отражают характер и основное содержание моделируемого процесса: для модели оптимизации распределения рекламного бюджета в качестве основных переменных используется количество денежных средств, выделяемых для конкретного вида рекламы.

Дополнительные переменные детализируют или поясняют содержание основных переменных: для моделей оптимизации ассортимента выпуска и обоснование каналов сбыта конкретной продукции сельскохозяйственного или перерабатывающего предприятия в качестве дополнительных величин принимают объем реализации продукции в ассортименте в разрезе каналов сбыта.

Вспомогательные переменные используются для определения некоторых расчетных величин. Например, для модели оптимизации объемов и структуры товарооборота торгового предприятия в качестве вспомогательных величин используют издержки обращения, товарооборот.

Нахождение оптимальных решений задач маркетинга зависит от правильного определения состава ограничений модели. Ограничения записываются тремя типами линейных соотношений: меньше или равно , больше или равнои равно.

Полнота и точность отражения в модели всех ограничений повышает качество составляемой модели, а для этого важен учет всех условий – природно-климатических, социально-экономических, технических и др.

Ограничения могут налагаться на отдельные переменные, часть их или на все одновременно. По своей роли в модели они подразделяются на следующие группы:

– основные;

– дополнительные;

– вспомогательные.

Основные ограничения выражают главные, наиболее существенные условия задачи. Они накладываются на все или большинство переменных модели. К основным относятся ограничения по использованию производственных ресурсов. Например, для модели оптимизации основных параметров маркетинговой системы сельскохозяйственного предприятия к этой группе относятся условия по использованию земельных, трудовых ресурсов, ресурсов кормов и т. д.

Дополнительные ограничения накладываются на отдельные переменные или небольшие их группы. Обычно они формулируются в виде неравенств, ограничивающих по нижней и верхней границе объемы продажи отдельных видов продукции по рыночным каналам, потребление животными отдельных видов кормов, площади посевов культур, исходя из агротехнических требований севооборотов и др.

Вспомогательные ограничения вводят для облегчения разработки развернутой модели и обеспечения правильной формулировки экономических требований. Например, на их основе можно найти определенные пропорциональные взаимосвязи.

3. Построение структурной модели.

Под экономико-математической линейной моделью понимают программу вычислений, обеспечивающую нахождение наилучшего, т. е. оптимального решения задачи, условия которой заданы в виде линейных уравнений или неравенств, сведены в единую систему, подчиненную цели решения задачи (т. е. целевой функции, записанной в виде линейного уравнения).

В зависимости от характера моделируемой экономической системы структура моделей может быть различной. Но имеются и общие элементы модели, включающие следующие группы:

1) неизвестные величины, значения которых определяются в результате решения задачи. Обычно их обозначают x_j, где i = 1,…,m или y_i, где j = 1,…,n. Решить задачу – значит найти величины неизвестных переменных;

2) технико-экономические коэффициенты, т. е. известные величины при переменных. Они служат для отображения закономерных взаимосвязей ресурсов с результатами решения задачи. Технико-экономические коэффициенты обычно характеризуются двумя индексами и обозначаются малыми латинскими буквами. Например, индексы при а_ij показывают, что коэффициент а стоит в i-й строке (или в ограничении вида i) и в j-м столбце (или при переменной вида j), где i = 1,…,n; j = 1,…,m;

3) известные величины, стоящие в правой части ограничений (т. е. уравнений или неравенств). Они отображают возможные объемы ресурсов и ограничивающие условия, влияющие на результаты решения задачи. Эти элементы обозначаются большими латинскими буквами. Например A_i, где i = 1,…,m. Известных величин столько, сколько ограничений в экономико-математической задаче;

4) коэффициенты целевой функции, или коэффициенты F-строки, которая определяет цель решения задачи. Они обозначаются малыми латинскими буквами. Например, , гдеj = 1,…,n. Коэффициентов целевой функции столько, сколько переменных в экономико-математической задаче.

Элементы второй, третьей и четвертой групп составляют исходную информацию экономико-математической задачи. Чтобы получить достоверное решение, необходимо правильно количественно описать моделируемый объект, т. е. следует правильно обосновать исходную информацию задачи.

Используя приведенные четыре группы элементов, запишем общую задачу линейного программирования.

Экономико-математическая модель записана развернуто в виде системы неравенств и уравнений. Для более компактной записи применяют общепринятую систему условных обозначений переменных величин, технико-экономических коэффициентов, свободных членов (констант) и коэффициентов при переменных в целевой функции и записывают модель в структурном виде, для чего используют следующие условные обозначения.

1. Индексация. Индексация используется для обозначения номеров строк и номеров столбцов. Обычно номера столбцов переменной обозначаются через j (j = 1,…,n), а номера строк – через i (i = 1,…,m). Номера строк и столбцов могут обозначаться и другими индексами. Иногда среди индексов номеров строк или номеров столбцов выделяются группы ограничений и группы переменных. Допустим, – номер переменной определенной группы,(знак обозначает принадлежность).

В разрезе групп индексов осуществляются те или иные операции (суммирование и др.) и тогда возникает необходимость их объединения. Например, i – номер ресурса. В рамках этого общего индекса выделяют группы, которые описывают соответствующими множествами: I₀ – множество видов сельскохозяйственных угодий; I₁ – множество видов трудовых ресурсов; I₂ – множество видов товарной продукции и т. д.

В структурной модели операция суммирования обозначается знаком суммы (). Под знаком  записывают индексы, которые показывают, в рамках какой группы переменных необходимо осуществить суммирование. Допустим, имеем запись:

где – множество отраслей животноводства.

Таким образом, необходимо произвести суммирование по всем j (по всем переменным), принадлежащим отраслям животноводства.

В структурной модели могут встречаться знаки двойной суммы:

где – множество отраслей организации;R₀ – множество составляющих объектов АПК района.

При введении индексов встречаются ситуации, когда в рамках множества нужно выделить подмножества. Например, если H₀ – множество кормов сельскохозяйственной организации, то в его рамках выделяются группы кормов разного предназначения. Поэтому вводят подмножества, например, H₁ – группа основных кормов, Н₂ – группа покупных кормов. Взаимосвязь между множествами выражается через такой знак: . Значит, Н₁Н₀ или Н₂Н₀.

2. Неизвестные величины. Для обозначения переменных величин вводятся символы из латинского и греческого алфавитов (чаще всего х). Если необходимо выделить группу переменных, отличающихся некоторыми особенностями, то искомые переменные обозначают тем же символом с черточками или другими дополнительными обозначениями и т. д.), а также вводя другие символы:и др.

3. Известные величины. Известные величины можно подразделить на три группы: свободные члены, технико-экономические коэффициенты и коэффициенты целевой функции.

Известные величины (свободные члены каждого ограничения) обозначаются большими латинскими буквами: А – сельскохозяйственные угодья; В – трудовые ресурсы организации и т. д.

Технико-экономические коэффициенты, т. е. коэффициенты при неизвестных переменных, обозначаются малыми буквами a, b, d и т. д. с индексами ij. При этом первый индекс i указывает номер строки, второй – j – номер столбца матрицы модели.

Коэффициенты целевой функции обычно обозначают символами с или , а суммарное значение функции –F, f(x) или Z.

Используя условные обозначения, запишем общую задачу линейного программирования в структурном виде.

Требуется найти максимум прибыли предприятия:

.

При условиях:

1) по использованию ресурсов –

;

2) неотрицательность переменных –

.

Индексация:

i – индекс ресурса;

I – множество ресурсов;

j – индекс продукции;

J – множество продукции.

Неизвестные величины:

х_j – количество выпускаемой продукции вида j.

Известные величины:

a_ij – расход сырья вида i на единицу производства продукции вида j;

А_i – количество имеющегося ресурса вида i;

р_j – прибыль от реализации единицы продукции вида j.

Структурная запись модели позволяет:

а) определить число групп однородных условий, т. е. совпадающих по смыслу. Например, в соотношении по использованию земельных угодий однородные ограничения – по пашне, сенокосам, пастбищам;

б) определить необходимые неизвестные и известные величины, а также тип ограничений развернутой модели;

в) уточнить описываемые взаимосвязи между всеми видами переменных и известными величинами;

г) предопределить содержание и возможный метод решения экономико-математической задачи.

4. Обоснование исходной информации.

Исходная информация модели может быть обоснована с использованием ряда методов, основные из которых следующие:

1) метод экстраполяции применяется в том случае, если предполагается устойчивость явлений при стабильном функционировании моделируемой системы. При таких условиях динамика процессов (а следовательно, и планируемых показателей) определяется тенденциями их изменения в прошлом периоде. Данный метод используется для обоснования информации на ближайшую перспективу;

2) нормативный метод основывается на использовании различных норм и нормативов. Например, нормативы затрат труда на единицу производимой продукции, материально-денежные затраты на производство единицы продукции и т. д.;

3) метод экспертных оценок базируется на рациональных доводах и интуиции высококвалифицированных специалистов (экспертов), обработке их информации о прогнозируемых параметрах. Метод экспертных оценок позволяет дать ответ на вопрос: в каком направлении осуществлять развитие (например, какой вид сельскохозяйственной продукции будет наиболее конкурентоспособным с учетом ряда качественных признаков – цена, степень охвата рынка, срок хранения, реклама в средствах массовой информации и т. д.);

4) использование системы различных моделей основывается на применении различных видов взаимосвязанных эконометрических моделей (при прогнозировании урожайности зерновых культур с учетом найденного значения рассчитываются урожайности других сельхозкультур и т. д.). Кроме того, возможно решение частных оптимизационных моделей (например, с помощью экономико-математической задачи оптимизации рецептуры выпускаемой продукции можно найти рациональные нормы использования сырья, показатели которых становятся исходными параметрами ЭММ оптимизации ассортиментной загрузки производственных мощностей);

5) метод монографического исследования применяется в том случае, если изучается отдельно взятое, чаще всего передовое предприятие (отличающееся наиболее рациональным использованием ресурсов или же типичное), параметры которого можно взять в качестве прогнозных показателей для моделируемой экономической системы;

6) использование анкетирования, интервьюирования, ресурсов Интернет, технологических карт, предварительных расчетов и т. д.

5. Построение развернутой модели.

Реализация и детализация структурной модели происходит через составление и решение развернутой экономико-математической задачи применительно к конкретному объекту. Основой развернутой является матрица, содержащая основную информацию о моделируемой системе. Она представляет собой специальную таблицу, содержащую обозначения переменных, ограничений, целевой функции, а также их числовое выражение в виде конкретных коэффициентов. Обычно вначале записывают ограничения развернутой ЭМЗ в виде системы линейных неравенств и уравнений с целевой функцией. Например:

Затем, имея развернутую модель, ее информацию заносят в матрицу (табл. 2.1).

Т а б л и ц а 2.1. Матричная запись модели

Номер ограничений	Переменные величины						Тип ограничений	Свободные члены
	х1	х2	…	хj	…	хn
1	а11	а12	…	а1j	…	а1n	=	А1
2	а21	а22	…	а2j	…	а2n		А2
…	…	…	…	…	…	…	…	…
i	аi1	аi2	…	аij	…	аin		Аi
…	…	…	…	…	…	…	…	…
m	am1	am2	…	аmj	…	аmn	=	Аm
F	c1	c2	…	сj	…	сn		max(min)

6. Решение задачи.

Решить данную задачу – значит найти такие значения переменных, которые удовлетворяют требованиям всех ограничений и придают целевой функции минимальное или максимальное (в нашем случае максимальное) значение.

Для того чтобы задача имела решение, а полученные значения переменных отвечали интересам экономики предприятий АПК, необходимо соблюдать при составлении задач следующие требования:

1) составленная модель должна адекватно отображать все взаимосвязи в моделируемой экономической системе;

2) математические требования к содержанию системы ограничений выражаются через теорию определителей, матриц, векторов, выпуклых множеств линейных неравенств, уравнений;

3) при решении задачи на максимум в системе ограничений должно быть хотя бы одно ограничение типа ≤ или =, при решении задачи на минимум должно быть хотя бы одно ограничение типа ≥ или =.

В противном случае, если при решении задачи на максимум нет ни одного ограничения типа ≤ или =, то с экономической точки зрения достижение максимума не ограничивается никаким ресурсом или ресурсами, что противоречит требованиям реальной экономики, так как достижение максимальных результатов всегда связано с использованием ограниченных ресурсов. Если при решении задачи на минимум нет ни одного ограничения типа ≥ или =, то в этом случае минимум может быть достигнут в начальной точке системы координат, т. е. неизвестные величины задачи будут равны нулю. В действительности минимум функции достигается при соблюдении определенных требований, которые выражаются в наличии ограничений типа ≥ или =.

Задачи линейного программирования имеют следующие свойства, сформулированные приведенными ниже теоремами.

Теорема 1. Множество всех допустимых решений системы ограничений задачи линейного программирования является выпуклым.

Теорема 2. Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то целевая функция принимает максимальное (минимальное) значение в одной из угловых точек многогранника решений. Если целевая функция принимает максимальное (минимальное) значение более чем в одной угловой точке, то она принимает его в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих точек.

Теорема 3. Каждому допустимому базисному решению задачи линейного программирования соответствует угловая точка многогранника решений и, наоборот, каждой угловой точке многогранника решений соответствует допустимое базисное решение.

Из теорем 2 и 3 следует, что, если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то оно совпадает, по крайней мере, с одним из ее допустимых базисных решений.

Отсюда следует, что оптимум целевой функции задачи линейного программирования следует искать среди конечного числа ее допустимых базисных решений.

Поиск оптимального решения задачи линейного программирования осуществляется симплексным методом.

7. Анализ оптимального решения задачи и внедрение результатов решения в производство.

На этом этапе может возникнуть необходимость корректировки модели и улучшения полученного решения. Результаты оптимального решения задачи сравнивают с фактической информацией экономической системы и разрабатывают мероприятия для внедрения его в производство.