диплом / Задачі_фізичного_змісту_при_вивченні_математики_в_загальноосвітній_школі

Ox : F × cosα - Fтр. max = 0;

Oy : F ×sin α + N - mg = 0

N = mg - F sin α

Максимальна сила тертя спокою пропорційна силі, яка тисне, рівна по модулю N , тобто

Fтр. max = μ(mg − F sinα ). Виходить, що зменшуючи кут α , ми збільшуємо Fx , але при цьому зростає і Fтр. max , яку потрібно

компенсувати.

Маємо:

F × cosα - μmg + μF × sinα = 0 .

= μmg

Звідси F cosα + μ × sinα .

Оскільки чисельник сталий, дослідимо на екстремум знаменник. Продиференціюємо знаменник і прирівняємо до нуля, отримаємо:

− sinα + μ cosα = 0 , звідки α = arctgμ . Тоді екстремум функції

= μmg

F cos(arctgμ ) + μ sin(arctgμ ) .

Додаткове дослідження показує, що це мінімум.

Задача 5.

В горизонтальній трубі довжиною l знаходиться позитивно заряджена кулька. Поблизу протилежних кінців труби знаходяться закріплені позитивні заряди q1 і q2 . Знайдіть положення рівноваги

кульки із умов мінімальності потенціальної енергії системи в цьому положенні.

181

Звернемо увагу на те, що отриманий результат фактично виражає умову компенсації кулонівських сил. Мінімум потенціальної енергії відповідає умові компенсації сил. Ми отримуємо можливість характеризувати умову рівноваги як стан, в якому потенціальна енергія системи мінімальна. Це широко використовувана у фізиці інтерпретація умови рівноваги.

Перший корінь не відповідає умові, оскільки при r l кулька поза трубою. Тому кулька в рівновазі, коли відстань від заряду q1 рівна:

182

r = q1 - q1 × q2 × l . q1 - q2

Задача 6.

Два однакових додатних заряди величиною q розміщені на

відстані a один від одного. В якій точці на осі симетрії напруженість результуючого поля, створеного цими зарядами, максимальна?

Розв’язання:

Побудуємо графік і введемо позначення:

OA = x;

Напруженість поля, створюваного кожним

зарядом в точці A, рівна

Для знаходження екстремуму отриманої функції продиференціюємо її і прирівняємо похідну до нуля:

183

входять в область допустимих значень функції.

Це значення напруженості буде в точках, симетрично розміщених відносно лінії, яка з’єднує заряди.

Задача 7.

При дії на механічну коливальну систему, гармонічно змінюючи внутрішню силу F = F0 × sin ωt , в ній встановлюються вимушені

коливання з амплітудою:

A = F0 ,

m (ω02 -ω 2 )2 + 4β 2ω 2

де m – маса системи, ω0 – власна циклічна частота коливань системи, β – показник затухання, який характеризує силу опору

середовища. При якій частоті ω періодичної внутрішньої сили настане резонанс, тобто амплітуда стане максимальною?

Розв’язання:

Знайдемо частоту, при якій підкореневий вираз знаменника

Продиференціювавши його і прирівнявши до нуля, отримаємо:

184

2(ω02 -ω 2 )(- 2ω ) + 8β 2ω = 0;

- 4ω (ω02 - ω 2 - 2β 2 ) = 0;

ω1 = 0;

ω2 = ω 02 - 2β 2 .

Перший корінь не відповідає умові задачі, тому кінцево:

ω рез. = ω 02 - 2β 2 .

Тоді:

Задача 8.

По похилій площині, яка утворює кут α з горизонтом, втягують за шнурок ящик. Коефіцієнт тертя ящика об площину μ . При якому куті β між шнуром і горизонтом потрібна мінімальна сила для витягування ящика?

Розв’язання:

Отримаємо функцію, яка виражає залежність необхідної сили від кута β . Нехай до ящика прикладена сила F під кутом β до

горизонту. Направимо координатні осі вздовж похилої площини і перпендикулярно до неї. Тоді умова рівноваги в проекціях:

Ox : F cos(β − α ) − Fтр. − mg sinα = 0 ;

Oy : F sin(β − α ) + N − mg cosα = 0 .

Виразимо із Oy : F sin(β − α ) + N − mg cosα = 0 N : N = mg cosα − F sin(β − α ), і тоді для сили тертя:

Fтр. = μ(mg cosα − F sin(β − α )). З врахуванням отриманого для сили тертя формула Ox : F cos(β − α ) − Fтр. − mg sinα = 0 набуде вигляду:

F cos(β − α ) − μmg cosα + μF sin(β − α ) − mg sinα = 0. Звідси

185

cos(β -α ) + μ sin(β -α )

Цю функцію треба дослідити на екстремум, вважаючи змінною

(β − α ).

Задача 9.

Людина може рухатися по полю з швидкістю v , а по шосе – з швидкістю u . Їй необхідно із точки A в полі потрапити в точку C на шосе. Під яким кутом до шосе їй потрібно рухатися, щоб потрапити в точку C за мінімальний час?

екстремум.

Задача 10.

В вертикальній трубі знаходиться стовп рідини висотою H . На якій висоті h від основи слід зробити отвір в стінці труби, щоб дальність польоту струменя виявилась максимальною?

186

Розв’язання:

Горизонтальна дальність польоту струменя залежить від її швидкості і часу польоту

x = v0 x ×t . Початкова швидкість струменя визначається розміщенням отвору відносно рівня вільної

поверхні: v0 x = 2g(H - h), а час польоту залежить від

2 g

основі наведених співвідношень для горизонтальної дальності

отримаємо: x = 2g(H - h) × 2h чи x = 2 h × (H - h) . Вважаючи h

g

змінною, функцію x = 2h × (H - h) досліджуємо на екстремум.

Задача 11.

Гелій масою m в циліндрі під поршнем займає об’єм V1 при тиску p1 . Цей газ повільно переводять в стан з параметрами V2 і p2 , причому процес переходу характеризується законом p = b - a ×V . Визначте максимальну температуру в цьому процесі.

Розв’язання:

Макроскопічні параметри стану газу зв’язані рівнянням

Менделєєва-Клапейрона: pV = m RT . Тут M – молярна маса газу,

M

R – універсальна газова стала. Підставимо сюди вираз для p :

(b - aV ) ×V = m RT . Звідси температура як функція об’єму:

M

T (V ) = M × (bV - aV 2 ). mR

187

Значення параметрів початкового і кінцевого стану газу дозволяє конкретизувати коефіцієнти a і b .

І так, слід дослідити на екстремум функцію

T (V ) = M × (bV - aV 2 ) і використати отримані вирази для mR

коефіцієнтів.

Задача 12.

Електрично заряджена частинка з зарядом e і масою m , пролетівши поле конденсатора, вилітає із нього під кутом β до пластини. Напруженість поля всередині конденсатора E , довжина пластини l . Оцініть інтервал значень кінетичної енергії влітаючої частинки, якщо кут α , під яким вона влітає, не реєструється.

Розв’язання:

В електричному полі конденсатора на частинку діє кулонівська сила, яка надає їй прискорення, напрямлена вздовж лінії напруженості. Проекція вектора швидкості на вісь x ,

перпендикулярна вектору E , залишається незмінною. При невизначеному α можливі два випадки: коли кут між напрямками початкової швидкості частинки і вектором напруженості тупий і коли кут між вказаними напрямками гострий.

Розглянемо перший випадок. Оскільки проекція швидкості на вісь x незмінна, то v cos β = v0 cosα . Для другої проекції швидкості:

vy = v0 y − ayt. Прискорення за другим законом Ньютона: a y = eE , і m

188

тому v sin β = v0 sinα - eE × t. Час польоту частинки через конденсатор m

2

Ek = mv , виразимо кінетичну енергію влітаючої частинки: 2

Отримали функцію, яку треба дослідити на екстремум. Її дослідження дозволяє визначити мінімум, тобто нижню границю, кінетичної енергії влітаючої частинки.

В другому випадку проекція початкової швидкості частинки на

Дослідження на екстремум нової залежності дозволить визначити друге граничне значення кінетичної енергії влітаючої частинки.

Про електричний струм, похідну та комплексні числа

Ми вже якось звикли чути і самі говоримо учням, що математика є могутнім засобом дослідження законів та явищ природи і суспільства, одним із основних чинників науково-технічного прогресу. Учні охоче вірять цьому. Проте шкільний курс математики не

189

передбачає побудови цікавих і змістовних моделей, які б підтверджували подібні висловлювання.

Можна, звичайно, не погодитися з цим, оскільки більшість фізичних законів і правил подаються у вигляді математичних співвідношень. Та в процесі вивчення курсу фізики складається враження, що математика є лише мовою, з допомогою якої зручно записувати ці закони. Тому на прикладі елементарної електротехніки спробуємо з’ясувати, як математика може виступати засобом не лише опису явищ, але і їх дослідження, одержання важливих наслідків, відкриття нових закономірностей.

Даний матеріал можна використати під час викладання математики учням старших класів за умови, що вони володіють поняттям похідної функції як швидкості зміни процесу, який описує дана функція. Базові поняття з теорії комплексних чисел, наведені нижче, не виходять за межі програмових.

Комплексне число α в алгебраїчній формі має вигляд

α = a + bi ,

де a, b — дійсні числа, i 2 = −1.

Комплексне число α зображається точкою на координатній площині з координатами ( a і b ) або вектором 0α з такими самими координатами.

Поряд з алгебраїчною формою числа α вживають тригонометричну

форму:

α = r(cosϕ + i sin ϕ ),

де а = r, r = a 2 + b2 , а ϕ – кут

нахилу вектора 0α до осі x , причому

sin ϕ = b , r

cosϕ = a . r

Наприклад, якщо α = 1 − i3, то

190