диплом / Задачі_фізичного_змісту_при_вивченні_математики_в_загальноосвітній_школі
.pdf
υcее = |
|
l1 |
+ l2 |
|||
|
|
|
|
. |
||
|
l |
+ |
l |
|||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
υ |
υ |
||||
|
1 |
2 |
|
|
||
Виконуємо підстановку в формулу середньої швидкості значень |
||||||
|
|
= |
|
l |
|
|
|
|
= |
|
|
l |
|||||||||
l1 і l2 відповідно до умови задачі |
l1 |
|
|
|
|
|
, l2 |
|
|
|
|
: |
|||||||||
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
+ |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
υсер |
= |
|
|
2 |
|
2 |
. |
|
|||||||||||||
|
|
l |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
l |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2υ1 |
|
|
|
υ2 |
|
|
|
|
|
|||||||
Скорочуючи на l чисельник і знаменник, отримаємо: |
|||||||||||||||||||||
υсер = |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||
|
2 |
|
υ |
+ |
|
υ |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Виконуючи дії над дробами, дістанемо такі співвідношення:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2υ1υ2 |
|
2 × 40 |
км |
× 60 |
км |
|
|
|
|
|
||||
υсер |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
км |
|
||||||||
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
= |
|
|
год |
|
год |
= 48 |
. |
||||||||||
|
|
|
|
1 |
υ1 |
+υ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
υ1 +υ2 |
|
км |
|
км |
|
год |
||||||||||||||||
|
|
υ |
+ |
υ |
2 |
|
υ υ |
2 |
|
60 год + 40 |
год |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Відповідь: |
|
середня |
швидкість |
на всьому шляху |
становить |
|||||||||||||||||||||||
48 км .
год
Задача 106.
Радіус рукоятки колодязного коловорота в 3 рази більший за радіус валу, на який намотується трос. Яка швидкість кінця рукоятки при підйомі відра з глибини 10 м за 20 с?
Розв’язання:
Лінійна швидкість вала, на який намотується трос, дорівнює швидкості руху відра:
υ1 = υ В |
= |
h |
(1) |
|
t |
||||
|
|
|
При обертанні коловорота кутова швидкість кінця рукоятки дорівнює кутовій швидкості вала ω1 = ω2 , або
υ1 = υ2 ,
R1 R2
111
звідки
υ2 |
= |
υ1 R2 |
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
||||
R1 |
|
значення υ1 із |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Підставляючи |
||||||||||
|
υ1 =υВ = |
h |
|
в υ1 = υ2 υ2 |
= υ1 R2 , З |
|||||||||
|
t |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
R2 |
R1 |
|||||
|
рівностей |
(1) |
і |
(2) |
маємо: |
|||||||||
|
υ2 = |
hR2 |
= |
10м |
×3 = 1,5 |
м |
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
tR1 |
|
|
|
20с |
|
|
с |
|
||
Відповідь: швидкість кінця рукоятки становить 1,5 м.
с
Задача 107.
З човна вікінгів масою 500 кг, що рухається зі швидкістю 1 м ,
с
стрибає воїн масою 80 кг в горизонтальному напрямі зі швидкістю
7 м. Якою буде швидкість човна після стрибка воїна, якщо він
с
стрибає в сторону, протилежну рухові човна? Розв’язання:
За законом збереження імпульсу:
(m1 + m2 )υ заг = m1υ1 + mυ 2 .
Спроектувавши вектори на вісь ОХ маємо:
(m1 + m2 )υ заг = m1υ1 + m2υ 2 (m1 + m2 )υ заг = m1υ1 + m2υ2
Звідси:
112
|
m1υ1 = (m1 + m2 )υзаг + m2υ2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
(m1 + m2 )υзаг |
+ m2υ2 |
|
580кг ×1 |
м |
+ 80кг × 7 |
м |
|
|
|
|
|
|
|
υ1 = |
|
|
|
1140 |
|
м |
|
|||||||
|
= |
|
с |
с |
= |
= 2,28 |
. |
||||||||
m1 |
|
500кг |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
500 |
|
с |
||||||||
|
Відповідь: швидкість човна після стрибка воїна становить |
||||||||||||||
2,28 |
м |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
с |
|
|
Задача 108. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пліт масою m1 |
вільно ковзає по поверхні води зі швидкістю υ1. |
|||||||||||||
На пліт з берега стрибає людина масою m2 . Швидкість людини перпендикулярна швидкості плота і дорівнює υ2 .
Визначити швидкість плота з людиною. Тертям плота об воду знехтувати.
Перший спосіб розв’язання За законом збереження імпульсу:
m1υ 1 + m2υ 2 = (m1 + m2 )υ.
У проекції на OX :
m2υ2 = (m1 + m2 )υx .
У проекції на OY :
m1υ1 = (m1 + m2 )υy , |
|
|
|||||
υ = |
|
|
, |
|
|
|
|
|
υx2 +υy2 |
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
||
υ = |
|
|
(m1υ1 ) |
+ (m2υ2 ) . |
|||
(m1 + m2 ) |
|||||||
113
Другий спосіб розв’язання. За законом збереження імпульсу:
|
|
|
|
|
m1 |
|
1 + m2 |
|
|
|
2 = (m1 + m2 ) |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
υ |
υ |
υ |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
Отже, |
|
|
|
(m1 |
|
+ m2 ) |
|
— |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
υ |
|
діагональ |
||||||||||||||||||||
паралелограма зі сторонами m1 |
|
|
|
1 і |
||||||||||||||||||||||||
υ |
||||||||||||||||||||||||||||
m2 |
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
За теоремою Піфагора: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
(m1 + m2 )υ = |
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
(m1υ1 )2 + (m2υ2 )2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
звідки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
υ = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(mυ )2 + (m υ )2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
(m1 |
+ m2 ) |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Відповідь: швидкість плота з |
|||||||||||||||||||||||||
людиною виражається формулою υ = |
|
1 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
(mυ )2 + (m υ )2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
(m1 |
+ m2 ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Задача 109.
Шофер побачив на дорозі воронку від вибуху авіабомби на відстані 55 м від неї. Чи зможе він зупинити автомашину до воронки,
якщо початкова швидкість автомашини 60 км , час реакції шофера
год
0,9 с, час спрацювання гальмівної системи 0,3 с, а максимальне
прискорення внаслідок гальмування - 4,0 м ?
с2
Розв’язання:
Введемо такі позначення:
S0 = 55м; t р = 0,9с;
υ0 = 60 км ;
год
tc = 0,3c; υ = 0;
a = −4,0 м .
с2
S1 — шлях, який пройшов автомобіль за час реакції шофера;
114
S2 — шлях, який пройшов автомобіль за час спрацювання гальмівної системи;
S3 — шлях, який пройшов автомобіль за час гальмування;
υ1 — швидкість автомобіля в кінці спрацювання гальмівної
системи.
1.Яку відстань пройде автомобіль до зупинки?
S = S1 + S2 + S3 .
2.Яку відстань пройде автомобіль за час реакції шофера?
S1 = υ0t p .
3.Яку відстань пройде автомобіль за час спрацювання гальмівної системи?
|
|
|
S2 = υ0tc + |
atc2 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Яку відстань пройде автомашина за час гальмування? |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
S |
3 |
= υt2 |
−υ12 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.Яка швидкість автомобіля в кінці спрацювання гальмівної |
|||||||||||||||||||||||
системи? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ = υ |
|
|
+ |
a |
t |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
2 |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Підставивши у вихідну формулу значення невідомих величин, |
|||||||||||||||||||||||
дістанемо вираз для шуканої величини: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
at |
c |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ |
|
− υ |
|
+ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
atc2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
S = υ |
t |
|
+ υ |
t |
|
+ |
|
+ |
|
|
t |
|
|
|
0 |
|
2 |
. |
|||||
p |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
|
0 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Підставивши в нього числові значення величин в одиницях СІ, дістанемо розв’язок задачі: S ≈ 53м.
Відповідь: отже, шофер в змозі зупинити автомобіль, не
доїхавши до воронки. |
|
|
|
|
||
|
|
h1 = 2м |
|
Задача 111. |
|
|
На |
висоті |
над |
серединою круглого стола |
діаметром |
||
D = 3м |
висить |
лампа |
в I1 |
= 100св. Цю лампу |
замінюють іншою |
|
лампою |
в I2 |
= 25св, |
змінивши відстань від |
стола |
так, щоб |
|
освітленість середини стола залишилась такою самою. Як зміниться освітленість краю стола?
Розв’язання:
1.Яка відстань від першої лампи до краю стола?
115
l12 = h12 + r 2 ;
l1 = 
h12 + r 2 ;
l1 = 
22 +1,52 = 2,5м. 2.Чому дорівнює косинус кута падіння променів від першої
лампи на край стола?
cosα = |
h1 |
= |
2м |
= 0,8. |
|
|
|||
|
l1 |
100св |
||
3.Яка освітленість краю стола від першої лампи?
Е = I1 cosα = 100св× 0,8 » 12,8лк.
l 2 |
2,52 |
1 |
|
4.Яка висота другої лампи над столом?
Е = |
I1 |
= |
I2 |
; |
|
|
||
h2 |
h2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
||
h22 = |
I2 × h12 |
= |
25cв× (2м)2 |
; |
||||
|
100св |
|||||||
|
|
|
I1 |
|
|
|
||
h2 = 1м.
5.Чому дорівнює відстань від другої лампи до краю стола?
l22 = h22 + r 2 ;
l2 = 
h22 + r 2 ;
l2 = 1,8м.
6.Чому дорівнює косинус кута падіння променів від другої лампи на край стола?
cos β = h2 = 1 . l2 1,8
7.Яка освітленість краю стола від другої лампи?
|
|
|
cos β |
|
25св× |
1 |
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|||
Е2 = |
2 |
= |
1,8 |
» 4,3 |
лк. |
||||
|
|
l 2 |
(1,8м)2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
8.У скільки разів зменшилась освітленість краю стола?
116
n = |
E1 |
= |
12,8лк |
≈ 3рази. |
|
|
|
|
|||
|
E2 |
|
4,3лк |
|
|
Відповідь: освітленість краю стола зменшилась приблизно |
в |
||||
3 рази. |
|
|
|
|
|
|
Задача 111. |
|
|||
Літак ІЛ—14 летить при |
боковому вітрі з Новосибірська |
до |
|||
Красноярська, відстань між якими по трасі 690км. Скільки часу
триватиме політ, якщо повітряна швидкість літака 360 км , а
год
швидкість вітру 40 км ?
год
Розв’язання:
Позначимо:
υ0 — швидкість вітру;
υп — повітряна швидкість літака;
υ— шляхова швидкість;
t — час польоту літака.
Побудуємо паралелограм переміщень літака.
Тут υ0t — переміщення літака під дією вітру; υпt — переміщення
літака під дією сили тяги двигунів; υt — переміщення літака відносно землі. Відповідно до теореми Піфагора:
υ 2t 2 + υ02t 2 = υп2t 2 = υп2t 2 ,
(3602 − 402 )t 2 = 6902 ,
звідки t = 1год56хв.
Відповідь: політ триватиме близько 1год56хв.
Задача 112.
Човняр гребе, переміщуючись з швидкістю υ1 відносно води під
кутом α до течії. Знаючи швидкість течії води, знайти результуючу швидкість човна.
117
Розв’язання: Нехай швидкість течії води дорівнює υ2 .
Побудуємо паралелограм швидкостей. Оскільки човен бере участь одночасно в двох рухах, напрямлених під кутом один до одного, то результуюча швидкість його дорівнює геометричній сумі
його швидкостей.
Треба знайти величину і напрям результуючої швидкості.
а)Знайдемо величину результуючої швидкості. За теоремою косинусів із трикутника ОВС маємо:
υ 2 |
= υ 2 |
+ υ 2 |
− 2υ υ |
2 |
cosγ , |
|
1 |
2 |
1 |
cos(180° − α ), |
|
υ 2 |
= υ 2 |
+ υ 2 |
− 2υ υ |
2 |
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
υ 2 |
= υ 2 |
+ υ 2 |
+ 2υ υ |
2 |
cosα , |
|
1 |
2 |
1 |
|
звідки
υ = 
υ12 + υ22 + 2υ1υ2 cosα .
б)Знайдемо напрям результуючої швидкості, тобто кут між напрямом результуючої швидкості і берегами.
За теоремою синусів із трикутників ОВС , дістаємо:
|
sin β |
= |
sin γ |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
υ1 |
|
|
|
|
|
υ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
sin β |
= |
sin(180 − α ) |
, |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
υ1 |
|
|
|
|
|
|
|
υ |
|
|
|
|
|
||
або |
sin β |
|
sin α |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
= |
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
υ1 |
|
|
|
|
υ |
|
|
|
|
|
||
Звідси |
|
|
|
|
|
υ1 sin α |
|
|
|
|
|
|||||
sin β = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
υ 2 |
+ υ 2 + 2υ υ |
2 |
cosα |
|||||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
||||||
118
Відповідь :результуюча швидкість човна напрямлена до берега
під кутом β , sin β = |
|
|
υ1 sin α |
|
|
|
, |
а її величина дорівнює |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
υ 2 |
+υ 2 |
+ 2υ υ |
2 |
cosα |
|||||
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|||
υ12 +υ22 + 2υ1υ2 cosα .
Задача 113.
З Москви до Хабаровська вирушає швидкий потяг, а через 40 хв за ним навздогін з пасажиром, що відстав від потяга, відправляється автомобіль. З якою швидкістю повинен їхати автомобіль, щоб наздогнати потяг на ст.Александров, розташованій на відстані 110 км
від Москви? Вважати, що швидкість руху потяга дорівнює 55 км , а
год
відстань залізницею така сама, як і автотрасою. Розв’язання:
1.За який час швидкий потяг пройде відстань Москва— Александров?
110км = 2год.
55 км год
2.За який час цю відстань повинен пройти автомобіль?
2 - 2 =11 = 4 (год). 3 3 3
3.Скільки кілометрів за годину повинен проходити автомобіль, щоб наздогнати потяг?
4 |
|
110 × 3 |
|
км |
||||
110 : |
|
= |
|
|
|
= 82,5 |
|
|
|
4 |
|
|
|||||
3 |
|
|
|
год |
||||
Розв’яжемо задачу алгебраїчно.
S = 110км;
t = 40хв = 2 год; 3
υп = 55 км ;
год
υав - ?
Швидкість, з якою повинен їхати автомобіль:
υав = S . tав
Час руху автомобіля:
119
tав = tп − t.
Час руху потяга:
tп = υS .
п
Підставивши здобуті дані у вихідну формулу, матимемо:
υав |
= |
|
|
S |
||
|
|
|
. |
|||
S |
|
|||||
|
|
|
− t |
|||
|
|
υ |
п |
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Обчислимо швидкість, з якою повинен їхати автомобіль:
|
|
|
110 |
|
|
км |
||||
υ |
|
= |
|
|
|
|
|
= 82,5 |
|
|
ав |
110 |
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
− |
|
год |
|||||
|
|
|
55 |
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Відповідь: автомобіль, щоб наздогнати потяг на ст.Александров, |
||||||||||
повинен їхати з швидкістю82,5 |
км |
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
год |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Задача 114. |
|
|
||||
Визначити середню |
швидкість |
електропотяга на ділянці АС, |
||||||||
якщо від пункту А до пункту В, що лежить на середині шляху, він
йшов з швидкістю 80 км , а від пункту В до пункту С— з швидкістю
год
100 км .
год
Розв’язання:
Нехай весь шлях АС позначимо через S, а повний час руху
електропотяга t |
розіб’ємо на t — |
|
|
час руху з швидкістю υ = 22,2 |
м |
і |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
с |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t |
— час руху з |
швидкістю |
υ |
|
= 27,7 |
|
м |
. |
Із |
означення середньої |
||||||||
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
год |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
швидкості випливає, що υ |
|
= |
S |
= |
|
S |
. |
(Не |
слід забувати, що |
|||||||||
ср |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
t1 |
+ t2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
формула υср = υ1 + υ2 застосовується тільки для рівномірного руху). 2
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
S |
||||
|
S |
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оскільки АВ = |
і BC = |
, |
то t |
= |
2 |
, |
а t |
|
= |
|
|
2 |
. Тепер |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
2 |
|
1 |
υ1 |
|
2 |
|
υ2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
підставимо ці значення в формулу середньої швидкості:
120