диплом / Задачі_фізичного_змісту_при_вивченні_математики_в_загальноосвітній_школі
.pdf
Розв’язання:
Нехай х км — швидкість велосипедиста на асфальтованій
год
дорозі; тоді (x − 4) км — швидкість велосипедиста на ґрунтовій
год
дорозі.
Складемо рівняння, виходячи з умов задачі: x + 2(x − 4) = 28. Розв'яжемо це рівняння:
x + 2(x − 4) = 28; x + 2x − 8 = 28, 3x = 36,
x = 12.
Відповідь: по асфальтованій дорозі велосипедист їхав зі
швидкістю 12 |
км |
, по ґрунтовій — |
8 |
км |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
год |
|
|
|
|
|
|
|
год |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 6. |
|
|
|
||||||||
|
Від станції до турбази туристи йшли зі швидкістю 4 |
км |
, а на- |
||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
год |
|
зад — |
зі швидкістю 5 |
км |
|
, і тому на той самий шлях витратили на |
|||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
год |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
годину менше. Знайдіть відстань від станції до турбази. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язання: |
|
|
|
||||||||
|
|
Нехай відстань від станції до турбази x |
км. Тоді, ідучи зі |
||||||||||||||||||||||||
швидкістю 4 |
км |
, туристи витратили |
x |
годин, |
ідучи зі швидкістю |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
год |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5 |
км |
- |
|
x |
годин. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
год |
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Отримаємо: |
−1 = |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
звідси |
|
|
|
|
5x − 20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
4x |
, |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
20 |
|
|
|
|
||||||||||
5x − 20 = 4x,
x = 20.
Відповідь: відстань від станції до турбази 20 км.
21
Задача 7.
Відстань між пунктами А і В по залізниці дорівнює 66 км, а по річці 80,5 км. З пункту А поїзд виходить на 4 год пізніше пароплава і прибуває до В на 15 хв раніше. Визначити середню швидкість поїзда,
якщо вона на 30 км більша за швидкість пароплава.
год
|
|
|
|
Розв’язання: |
|
|
|
|
|||
Нехай |
швидкість поїзда дорівнює х |
км |
, |
тоді |
швидкість |
||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
год |
|
|
|
|
||
пароплава буде (х − 30) |
км |
. Весь шлях поїзд проходить за |
|
66 |
год, а |
||||||
|
|
||||||||||
|
80,5 |
|
год |
|
|
х |
|||||
пароплав за |
год. Оскільки поїзд виходить на 4 |
години пізніше, а |
|||||||||
|
|||||||||||
х − 30 |
|||||||||||
прибуває на 15 хвилин раніше, ніж пароплав, то поїзд був у дорозі на
4 1 год менше пароплава, тобто:
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80,5 |
|
− |
66 |
= 4 |
1 |
, |
|
|
||
|
|
|
|
х − 30 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
х |
4 |
|
|
|
||||||
|
|
|
або |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
17х2 − 568х − 7920 = 0, |
||||||||||||
Звідки х = −10 |
10 |
, а х |
|
= 44. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Перший корінь умову задачі не задовольняє. Отже, х=44. |
|||||||||||||||
Відповідь: середня швидкість поїзда становить 44 |
км |
. |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
год |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 8. |
|||||||
Теплохід пройшов відстань між пристанями в одному напрямі |
|||||||||||||||
за 4 год, а в |
протилежному — |
|
за |
5 год. Знайдіть відстань ніж |
|||||||||||
пристанями, якщо швидкість течії річки дорівнює 2 км .
год
Розв’язання:
Нехай швидкість теплохода в стоячій воді дорівнює х км ,
год
тоді швидкість за течією дорівнює (x + 2) км , а швидкість проти
год
22
течії дорівнює (x − 2) км . Відстань між пристанями — 4(x + 2) або
год
5(x - 2).
Отримаємо: 4(x + 2) = 5(x - 2), звідси: 4x + 8 = 5x − 10, 5x − 4x = 8 + 10, x = 18.
Швидкість теплохода в стоячій воді — 18 км , тоді відстань
год
між пристанями дорівнює: 4 × (18 + 2) = 4 × 20 = 80 (км). Відповідь: відстань між пристанями дорівнює 80 км.
Задача 9.
Вертоліт пролетів відстань між двома містами при попутному вітрі за 5,5 год, а при зустрічному — за 6 год. Знайдіть відстань між містами і власну швидкість вертольота, якщо швидкість вітру
дорівнювала 10 км .
год
Розв’язання:
Нехай власна швидкість вертольота — x км , тоді швидкість
год
при попутному вітрі дорівнює (x + 10) км , а швидкість проти вітру
год
дорівнює (x −10) км .
год
Відстань між містами дорівнює: 5,5(x +10) км або 6(x -10) км. Отримаємо: 5,5(x +10) = 6(x -10).
Звідси:
5,5x + 55 = 6x − 60;
0,5x = 115, x = 230.
Швидкість вертольота дорівнює 230 км , тоді відстань між
год
містами дорівнює: 6 × (230 -10) = 1320(км).
23
Відповідь: відстань між містами становить 1320 км; власна
швидкість вертольота становить230 км .
год
Задача 10.
Швидкість моторного човна за течією 23 км , а проти течії
|
|
|
|
|
|
год |
|
|
|
17 |
км |
. Знайдіть власну швидкість човна і швидкість течії. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
|
год |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Розв’язання: |
|
|
|
|
|
Нехай х |
км |
– власна швидкість моторного човна, а |
у |
км |
– |
|||
|
|
|
|||||||
|
|
|
год |
|
год |
||||
швидкість течії річки, тоді х + у = 23 і х − у = 17 . |
|
|
|
||||||
|
Отримали систему рівнянь: |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x + y = 23, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − y = 17; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x = 40, x = 20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 23 − 20, y = 3. |
|
|
|
|
Відповідь: власна швидкість моторного човна дорівнює 20 км ,
год
швидкість течії річки – 3 км .
год
Задача 11.
Туристи проїхали 640 км, з них 7 год потягом і 4 год автобусом.
Знайдіть швидкість потяга, якщо вона на 5 км більша від швидкості
год
автобуса.
Розв’язання: |
|
|
|
||
Нехай швидкість автобуса х |
км |
, а швидкість потяга — |
у |
км |
. |
|
|
||||
|
год |
|
год |
||
Відомо, що х + 5 = у. Потягом туристи проїхали 7 у км, автобусом — 4х км, всього вони проїхали 640 км, отже, 4х + 7 у = 640. Розв'яжемо систему рівнянь:
24
х + 5 = у, |
||
|
х + 7 |
у = 640; |
4 |
||
4х + 7(х + 5) = 640, 4х + 7х + 35 = 640, 11х = 605,
х= 55,
у= 55 + 5,
у= 60.
Відповідь: швидкість потяга дорівнює 60 км .
год
Задача 12.
Два туристи вийшли одночасно з двох міст, відстань між якими 38км, і зустрілись через 4 год. З якою швидкістю йшов кожний, якщо перший до зустрічі пройшов на 2 км більше, ніж другий?
Розв’язання:
Нехай швидкість одного туриста x км , а другого — у км . За
год год
чотири години вони пройшли відповідно 4х км і 4 у км кожний.
Разом вони |
пройшли |
4х + 4 у = 38(км). Оскільки перший турист |
||
пройшов на |
2 км |
більше, |
ніж |
другий, можемо записати: |
4х − 4 у = 2(км). |
|
|
|
|
Отримали систему рівнянь: |
|
|
||
|
|
4х + 4 |
у = 38, |
|
|
|
|
х − 4 |
у = 2; |
|
|
4 |
||
8х = 40, х = 5, 20 − 4 у = 2,−4 у = −18, у = 4,5.
Відповідь: швидкість першого туриста 5 км , швидкість другого
год
туриста – 4,5 км .
год
Задача 13.
Відстань 160 км легковий автомобіль проходить на 2 години швидше, ніж автобус. Знайдіть їх швидкості, якщо вони відносяться,
як 2:1.
25
|
|
|
|
|
Розв’язання: |
|
||||||||
Нехай легковий автомобіль проходить 160 км за x |
годин, тоді |
|||||||||||||
автобус проходить цю відстань за (x + 2) годин. Отже, |
швидкість |
|||||||||||||
автомобіля дорівнює |
160 |
|
км |
, а автобуса |
160 |
|
км |
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
х год |
|
|
|
|
x + 2 год |
|
|||||||
Отримаємо рівняння: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
160 : 160 |
|
= 2 :1. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
х |
|
х + 2 |
|
|
|
|
|||
|
160 |
: |
160 |
|
= 2; |
|
|
|
|
|||||
х |
х + 2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
160(х + 2) |
= 2; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
х ×160 |
|
|
|
|
|
|
|||
х + 2 = 2;
х
х + 2 - 2х = 0;
- х + 2 = 0; х = 2.
Дане значення х є коренем рівняння, оскільки знаменник при цьому не дорівнює 0.
Автомобіль проходить 160 км за 2 години, тоді автобус за 4
|
|
км |
|
|
години. Отже, швидкість автомобіля дорівнює |
160 : 2 = 80 |
|
, |
а |
|
||||
|
|
год |
|
|
|
км |
|
швидкість автобуса дорівнює 160 : 4 = 40 |
|
. |
|
||
|
год |
|
Відповідь: швидкість автомобіля становить 80 км ; швидкість
год
автобуса становить 40 км .
год
Задача 14.
Теплохід пройшов за течією річки 48 км і стільки ж проти течії і затратив на весь шлях 5 год. Знайдіть власну швидкість теплохода,
якщо швидкість течії річки 4 км .
год
26
Розв’язання:
Нехай власна швидкість теплохода дорівнює x км , тоді
год
швидкість за течією дорівнює (х + 4) км . На шлях за течією теплохід
год
затратив |
48 |
годин, |
|
на шлях проти течії – |
48 |
годин, а всього |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
х + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х - 4 |
||||
затратив 5 годин. Отримуємо рівняння: |
|
|
|
||||||||||||||
|
48 |
|
|
+ |
48 |
|
|
= 5; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
х + 4 |
х - 4 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
х ¹ 4, х ¹ -4. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
48(х - 4) + 48(х + 4) - 5(х2 -16) |
= 0; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х2 -16 |
|
|
|
|
|
|
- 5х2 + 96х + 80 = 0; |
|
|
|
||||||||||||
|
|
5х2 - 96х - 80 = 0; |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
D = 2304 + 400 = 2704; |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
х |
|
= |
48 ± 52 |
; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1,2 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
= |
48 + 52 |
= 20; |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х2 |
|
= |
48 - 52 |
= -0,8. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, що від’ємне значення кореня не задовольняє умову
задачі. Отже, власна швидкість теплохода дорівнює 20 км .
год
Відповідь: власна швидкість теплохода становить 20 км .
год
Задача 15.
Човен пройшов проти течії 22,5 км і за течією 28,5 км, затративши на весь шлях 8 годин. Швидкість течії річки
2,5 км .Знайдіть власну швидкість човна.
год
27
Розв’язання:
Нехай власна швидкість човна дорівнює x км . Тоді швидкість
год
за течією складає (х + 2,5) км , а швидкість проти течії дорівнює
год
(х − 2,5) |
км |
. На дорогу проти течії човен затратив |
22,5 |
годин, а на |
||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
год |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х − 2,5 |
|||
дорогу за течією – |
28,5 |
|
годин. Всього він витратив 8 годин на весь |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
х + 2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
шлях. Отримуємо рівняння: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
28,5 |
+ |
22,5 |
|
|
= 8; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
х + 2,5 |
х − 2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
28,5(х − 2,5) + 22,5(х + 2,5) − 8(х2 |
− 6,25) = 0; |
|||||||||||||||||||||
|
|
28,5х − 71,25 + 22,5х + 56,25 − 8х2 + 50 = 0; |
||||||||||||||||||||||
|
|
− 8х2 + 51х + 35 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
8х2 − 51х − 35 = 0. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
D = 2601 + 1120 = 3721; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
51 ± |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
3721 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1,2 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
х |
= |
51 + 61 |
|
|
= 7; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
х2 |
|
= |
51 − 61 |
= − |
10 |
= − |
5 |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
16 |
|
|
|
|
||||||||
Очевидно, що від’ємне значення кореня не задовольняє умову
задачі. Отже, власна швидкість човна дорівнює 7 км .
год
Відповідь: власна швидкість човна становить 7 км .
год
Задача 16.
Електропотяг затримався в дорозі на 4 хв і ліквідував запізнення
на перегоні в 20 км, пройшовши зі швидкістю на 10 км більшою, ніж
год
за розкладом. З якою швидкістю йшов потяг на цьому перегоні?
28
Розв’язання:
Нехай швидкість електропотяга за розкладом дорівнює x км ,
год
тоді перегін в 20 км він проїхав би за 20 годин, але він їхав на цьому
х
перегоні зі швидкістю (х +10) км і проїхав його на 4 хвилини
год
швидше. Оскільки 4 хвилини складають 1 години, маємо рівняння:
|
|
|
|
15 |
|
||||
|
20 |
- |
20 |
= |
|
1 |
|
; |
|
|
х +10 |
|
|
||||||
|
х |
15 |
|
||||||
|
20 |
- |
20 |
- |
1 |
= 0; |
|
||
|
х +10 |
|
|||||||
|
х |
15 |
|
|
|||||
15 × 20(х +10) -15 × 20х - х(х +10) |
= 0; |
||||||||
15х(х +10)
300х + 3000 - 300х - х2 -10х = 0; - х2 -10х + 3000 = 0;
х2 +10х - 3000 = 0;
х= -60 або х = 50.
Від’ємне значення кореня не задовольняє умову задачі, тому
швидкість електропотяга за розкладом дорівнює 50 км , а швидкість
год
на перегоні дорівнює 60 км .
год
Відповідь: потяг на перегоні їхав з швидкістю 60 км .
год
Задача 17.
З пункту А відправили за течією річки пліт. Через 5 год 20 хв з пункту А слідом за плотом вийшов моторний човен, який наздогнав пліт, пройшовши 20 км. Знайдіть швидкість течії річки, знаючи, що човен проходив щогодини на 12 км більше, ніж пліт.
29
Розв’язання:
Позначимо швидкість течії ріки через x км . Очевидно, що пліт
год
рухався зі швидкістю x км . Оскільки моторний човен проходив за
год
годину на 12 км більше, можна сказати, що його швидкість була
(х + 12) |
км |
. Тоді 20 км він пройшов за |
20 |
годин. Пліт знаходився |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
год |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х + 12 |
|||||||
в дорозі |
на |
5 год 20 |
хв |
довше |
|
і проплив ті ж 20 км, тобто |
|||||||||||||||||||
|
20 |
− |
20 |
|
|
= 5 |
1 |
(тут ми врахували, |
|
що 20 хв складають |
1 |
години). |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x |
x + 12 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||
Розв’яжемо це рівняння: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
− |
|
20 |
= |
|
16 |
; |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 12 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
х |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
− |
|
20 |
− |
16 |
= 0; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 12 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
х |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60(х + 12) − 60х − 16х(х + 12) |
= 0; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3х(х + 12) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60х + 720 − 60х − 16х2 − 192 = 0; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 16х2 |
− 192х + 720 = 0; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х2 |
+ 12х − 45 = 0, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х = −15 або |
х = 3. |
|||||||||||||
Від’ємне значення кореня не задовольняє умову задачі. Отже,
швидкість течії ріки дорівнює 3 км .
год
Відповідь: швидкість течії річки становить 3 км .
год
Задача 18.
На середині шляху між А і В потяг затримали на 10 хв. Щоб прибути в В за розкладом, довелось початкову швидкість потяга
збільшити на 12 км . Знайдіть початкову швидкість потяга, якщо
год
відстань між А і В дорівнює 120 км.
30