Міністерство освіти і науки україни

НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені М. П. Драгоманова

Фізико-математичний інститут

Кафедра математики і теорії та методики навчання математики

Спеціальність 8.080101 Математика

Допущено до захисту на засіданні ДЕК

______________ ________ Швець В.О.

Завідуючий кафедрою математики і теорії

та методики навчання математики, професор

«___» _________________ 2013 р.

МАГІСТЕРСЬКА РОБОТА

Розвиток умінь старшокласників доводити числові нерівності

Студентки V курсу

Денної форми навчання

Калиняк Лілії Станіславівни

Науковий керівник:

Кандидат педагогічних наук, професор

Швець Василь Олександрович

Оцінка ДЕК __________ Голова ДЕК_______________

Члени ____________________

_____________________

_____________________

_____________________

Київ – 2013

ВСТУП

РОЗДІЛ І. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ КВАЛІФІКАЦІЙНОЇ РОБОТИ…..

§1. Порівняння чисел. Властивості числових нерівностей……………………

§2. Нерівності зі змінними……………………………………………………….

§3. Місце теми в шкільному курсі математики………………………………….

§4. Основні методи доведення нерівностей…………………………………….

3.1 Доведення нерівностей за допомогою означення…………………….

3.2 Синтетичний метод……………………………………………………..

3.3 Метод від супротивного………………………………………………..

3.4 Метод математичної індукції…………………………………………..

3.5 Підсилення нерівності………………………………………………….

3.6 Методи диференціального числення………………………………….

§5. Класичні нерівності………………………………………………………….

4.1 Нерівність трикутника…………………………………………………

4.2 Нерівність Коші…………………………………………………………

4.3 Нерівність Коші-Буняковського……………………………………….

4.4 Нерівність Єнсена………………………………………………………

4.5.Нерівність Гельдера…………………………………………………….

РОЗДІЛ ІІ. МЕТОДИКА ФОРМУВАННЯ ТА РОЗВИТОК ВМІНЬ УЧНІВ ДОВЕДЕННЯ ЧИСЛОВИХ НЕРІВНОСТЕЙ ……………………..

§5. Програма курсу за вибором «Доведення числових нерівностей»…………

Висновки……………………………………………………………………………

Список використаної літератури………………………………………………….

ВСТУП

Серед наук, які мають вирішальний вплив на зростання технічної озброєності, безперечно, важливе місце належить математиці. Ця наука має численний арсенал засобів, які дають можливість розв'язувати різноманітні задачі. Одним з них є нерівності. За допомогою нерівностей формулюється багато задач, виражається більшість результатів математичних досліджень.

З нерівностями, як правило, пов'язують задачі двох типів:

1) знаходження умов, за якими дана нерівність перетворюється в істинне висловлення (розв'язання нерівності);

2) доведення того, що за певних наперед заданих умов дана нерівність перетворюється в істинне висловлення. Такі задачі виражають суть багатьох проблем наукового і практичного характеру, вони є у всіх розділах математики.

Задачі на доведення нерівностей дають можливість закріпити велике коло теоретичних питань, що вивчаються у шкільному курсі математики (теорію нерівностей, властивості функцій, питання рівносильних перетворень тощо), по-новому висвітлити відомі факти.

За допомогою нерівностей можна показати, яку роль відіграє апарат математичної логіки в дедуктивних міркуваннях, у розумінні самого процесу доведення.

І, отже, знання основних методів і способів доведення не­рівностей, деяких специфічних нерівностей дають можливість ширше застосовувати їх у розв'язуванні проблем прикладного характеру.

Вибір даної теми обумовлено її актуальністю, яка виражається тим, що у загальноосвітній школі в класах рівня стандарту, академічного та профільного рівнів вивчення теми «Доведення нерівностей» не передбачено. Програма для класів з поглибленим вивченням математики передбачає вивчення теми «Нерівності» у 8 класі, а теми «Доведення нерівностей» у 9 класі. Таким чином діти втрачають можливість навчитися доводити числові нерівності в середній школі. Тому доцільною є розробка програми курсу за вибором на тему «Доведення числових нерівностей», адже завдання на доведення нерівностей часто зустрічаються на математичних олімпіадах, ЗНО та при вступі у ВНЗ. Відповідно до цієї проблеми сформулюємо об’єкт, предмет та мету дослідження.

Об’єкт дослідження – навчання алгебри учнів основної та старшої школи.

Предмет дослідження – методика формування в учнів умінь доводити числові нерівності.

Мета дослідження - розробити програму курсу за вибором «Доведення числових нерівностей», методичні рекомендації і добірку задач, які дають можливість проводити цей курс в школі.

У відповідності з вищезазначеною метою в роботі поставлено такі завдання:

1. Проаналізувати навчальну, педагогічну, методичну та наукову літературу з проблеми дослідження.

2. Розробити навчальну програму курсу за вибором «Доведення числових нерівностей в шкільному курсі математики».

3. Створити добірку завдань на доведення числових нерівностей відповідно до теми курсу алгебри і початків аналізу, та методичні рекомендації щодо їх розв’язання.

4. Апробувати розроблені матеріали на практиці.

РОЗДІЛ І. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ КВАЛІФІКАЦІЙНОЇ РОБОТИ