диплом / Задачі_фізичного_змісту_при_вивченні_математики_в_загальноосвітній_школі
.pdf
Розв’язання:
Позначимо початкову швидкість потяга через x км . Оскільки
год
відстань від А до В дорівнює 120 км, половина цієї відстані дорівнює 60 км. Якщо б потяг ішов з початковою швидкістю, то він пройшов
би цю відстань за |
60 |
|
|
годин. Він |
же |
пройшов цю |
відстань зі |
||||||||||||||
x |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
швидкістю (x + 12) |
км |
|
|
і |
|
пройшов |
її |
на |
10 хв або на |
|
години |
||||||||||
год |
6 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
швидше. Отримуємо рівняння: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
60 |
− |
60 |
= |
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
х + 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
х |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
60 |
− |
60 |
− |
1 |
= 0; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
х + 12 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
х |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
360(х + 12) − 360х − х(х + 12) |
= 0; |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6(х + 12)х |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
360х + 4320 − 360х − х2 |
− 12х = 0; |
|
|
|
||||||||||||||||
|
− х2 |
− 12х + 4320 = 0; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
х2 |
+ 12х − 4320 = 0, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
х = −72 або |
х = 60. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Від’ємне значення кореня не задовольняє умову задачі.
Початкова швидкість потяга60 км .
год
Відповідь: початкова швидкість потягу становить 60 км .
год
Задача 19.
Теплохід пройшов униз річкою 150 км і повернувся назад, витративши на весь шлях 5,5 год. Знайдіть швидкість течії річки,
якщо швидкість теплохода в стоячій воді 55 км .
год
Розв’язання:
Позначимо швидкість течії річки через х км . Тоді теплохід за
год
течією йшов зі швидкістю (55 + х) км , а проти течії зі швидкістю
год
31
(55 − х) |
км |
. Йдучи за течією він затратив |
150 |
|
годин, проти течії – |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
150 |
|
год |
|
|
|
55 + |
х |
|||||||
годин, а всього затратив 5,5 годин. Складемо рівняння: |
||||||||||||||
|
||||||||||||||
55 − х |
||||||||||||||
|
150 |
|
+ |
150 |
|
= 5,5; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
55 + |
|
55 − |
|
|
|
|
|
||||||
|
х |
х |
|
|
|
|||||||||
|
150 |
|
+ |
150 |
|
− 5,5 = 0; |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
55 + |
|
55 − |
|
|
|
|
|||||||
|
х |
х |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
150(55 − х) + 150(55 + х) − 5,5(3025 − х2 ) |
= 0; |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3025 − х2 |
|
|
|
||
|
|
|
8250 − 150х + 8250 − 150х − 16637,5 + 5,5х2 = 0; |
|||||||||||
|
|
|
5,5х2 |
− 137,5 = 0; |
|
|
|
|||||||
5,5х2 = 137,5;
х2 = 25;
х= ±5.
Від’ємне значення кореня не задовольняє умову задачі.
Швидкість течії річки дорівнює 5 км .
год
Відповідь: швидкість течії річки становить 5 км .
год
Задача 20.
Турист проплив моторним човном вгору річкою 25 км, а назад спустився плотом. Човном він плив на 10 год менше, ніж плотом. Знайдіть швидкість течії річки, якщо швидкість човна в стоячій
воді 12 км .
год
|
|
|
Розв’язання: |
|
|
|
|
|
||||
Нехай швидкість |
течії річки дорівнює x |
км |
. |
|
Угору по річці |
|||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
год |
|
|
|
|
|
|||
моторний |
човен плив |
зі |
швидкістю (12 − х) |
км |
, |
пліт |
|
плив |
зі |
|||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
год |
|
|
|
|
|
||
швидкістю, |
що дорівнює |
швидкості течії річки, тобто |
x |
км |
. |
На |
||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
год |
|
|
32
моторному човні турист подолав 25 км за |
25 |
годин, пливучи |
12 − x |
плотом, він подолав ту ж відстань за час, що на 10 годин більше часу плавання човном. Отримуємо рівняння:
|
25 |
− |
25 |
|
= 10; |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
12 − x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
25 |
− |
25 |
|
−10 = 0; |
|
|
|||||||||
|
|
12 − x |
|
|
||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
25(12 − x) − 25x −10(12 − x)x |
= 0; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x(12 − x) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
300 − 25x − 25x −120x + 10x2 |
= 0; |
|||||||||||||||
10x2 |
−170x + 300 = 0; |
|
|
|||||||||||||
|
x2 |
−17x + 30 = 0; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
D = 289 −120 = 169; |
|
|
|||||||||||||
|
|
= |
17 ± |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
|
169 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x = |
17 + 13 |
|
= 15; x |
|
= |
17 −13 |
|
= 2. |
|||||||
|
|
|
2 |
|
||||||||||||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Корінь x1 = 15 нам не підходить, тому що швидкість течії річки не може бути більшою швидкості моторного човна. Отже, швидкість
течії річки дорівнює 2 км .
год
Відповідь: швидкість течії річки становить 2 км .
год
Задача 21.
Велосипедист проїхав 96 км на 1,6 години швидше, ніж передбачав. При цьому за кожну годину він проїжджав на 2 км більше, ніж розраховував проїжджати. З якою швидкістю він їхав?
Розв’язання:
Позначимо |
швидкість велосипедиста через x |
км |
, тоді |
|
|||
|
|
год |
|
швидкість, з |
якою передбачав їхати велосипедист, дорівнює |
||
(х − 2) км . Відстань
год
33
96 км він проїхав за 96 годин і це швидше, ніж передбачалось,
х
на 1,6 години, тобто:
96 |
− |
96 |
= 1,6; |
х − 2 |
|
||
|
х |
||
96 |
− |
96 |
− 1,6 = 0; |
х − 2 |
|
||
|
х |
||
96х − 96(х(− 2) −)1,6(х − 2) = 0;
х х − 2 96х − 96х + 192 − 1,6х2 + 3,2х = 0;
− 1,6х2 + 3,2х + 192 = 0; х2 − 2х − 120 = 0;
х = −10 або х = 12.
Від'ємне значення кореня не задовольняє умову задачі.
Швидкість велосипедиста дорівнює 12 км .
год
Відповідь: велосипедист їхав з швидкістю 12 км .
год
Задача 22.
З А до В, відстань між якими 350 км, вийшов автобус. Якби він
зменшив швидкість на 5 |
км |
, то в дорозі був би на 1 |
2 |
год довше. |
|||
|
|
||||||
|
год |
3 |
|
||||
Скільки годин їде автобус від А до В? |
|
|
|
|
|||
|
|
Розв’язання: |
|
|
|
|
|
Нехай швидкість автобуса дорівнює x |
км |
, тоді відстань від А до |
|||||
|
|||||||
|
|
|
|
год |
|
||
В він проїжджає за 350 годин. Якщо він зменшить швидкість на 5 км,
х
то його швидкість буде (х − 5) км .Тоді відстань від А до В він пройде
|
350 |
|
|
год |
|
за |
|
годин, і це буде на 1 |
2 |
години довше. |
|
|
|
|
|||
х − 5 |
3 |
||||
Складемо рівняння:
34
350 |
|
- |
350 |
= 1 |
|
2 |
; |
||
х - 5 |
х |
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
350 |
|
- |
350 |
- |
5 |
|
= 0; |
||
х - 5 |
|
|
|||||||
|
х |
3 |
|
|
|||||
3 × 350х - 3 × 350(х - 5) - 5(х - 5)х = 0; 3х(х - 5)
1050х -1050х + 5250 - 5х2 + 25х = 0; - 5х2 + 25х + 5250 = 0;
х2 - 5х -1050 = 0;
х= -30 або х = 35.
Оскільки від'ємне значення кореня не задовольняє умову задачі,
то швидкість автобуса дорівнює 35 км , тоді відстань від А до В він
год
пройде за 350 = 10 (годин). 35
Відповідь: автобус від А до В їде 10 годин.
Задача 23.
Мотоцикліст їхав з одного міста в друге 4 год. Повертаючись назад, він перші 100 км їхав з тією самою швидкістю, а потім
зменшив її на 10 км і тому на зворотний шлях витратив на 30 хв год
більше. Знайдіть відстань між містами. Розв’язання:
Нехай відстань між містами дорівнює x км. Тоді початкова
швидкість мотоцикліста дорівнює x км . Перші 100 км він проїхав за
4 год
|
100 × 4 |
= |
400 |
годин. Після цього |
йому |
залишилось |
проїхати |
||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
х |
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(х -100)км. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
км |
|
|
х - 40 км |
||||||
|
Швидкість його при цьому була |
|
|
-10 |
|
|
|
або |
|
|
|
|
, |
||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
год |
|
|
4 год |
||||||
отже, |
решту шляху він подолав за (х -100): |
х - 40 |
= |
4(х -100) |
годин. |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
х - 40 |
|||||
Оскільки на зворотний шлях він витратив на 30 хвилин більше, можемо твердити, що він здолав зворотний шлях за 4,5 години.
35
|
|
|
|
(30 хвилин = 0,5 години). |
|
||
Складемо рівняння: |
|
|
|
|
|||
|
400 |
+ |
4(х − 100) |
= 4,5; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
х |
х − 40 |
|
||||
|
400 |
+ |
4(х − 100) |
− 4,5 = 0; |
|
||
|
|
|
|
||||
|
х |
х − 40 |
|
||||
|
400(х − 40) + х(4х − 400) − 4,5(х − 40) |
= 0; |
|||||
|
|
|
|
х(х − 40) |
|
||
|
|
|
|
|
|||
− 0,5х2 |
+ 180х − 16000 = 0; |
|
|||||
|
х2 − 360х + 32000 = 0, |
|
|||||
|
х = 200 |
або х = 160. |
|
||||
Обидва корені не задовольняють умову задачі. Отже, відстань між містами дорівнює або 160 км, або 200 км.
Відповідь: відстань між містами становить 160 км або 200 км.
Задача 24.
Рибалка вирушив на човні з пункту А проти течії річки. Пропливши 6 км, він кинув весла, і через 4,5 год після виходу з А течія знову віднесла його до пункту А. Знайдіть швидкість течії річки,
якщо швидкість човна в стоячій воді 90 м .
хв
Розв’язання:
Нехай швидкість течії ріки дорівнює х км , тоді відстань 6 км год
рибалка проплив до пункту А без весел за 6 годин. Швидкість човна
х
проти течії (враховуючи, що 90 м = 5,4 км ) дорівнює (5,4 − х) км .
|
|
хв |
год |
год |
Отже, відстань 6 км від пункту А проти течії рибалка проплив за |
||||
6 |
годин. Всього пройшло 4,5 |
години після його виходу з пункту |
||
|
||||
5,4 − х |
||||
А. Тоді:
36
6 |
+ |
6 |
= 4,5; |
|
5,4 − х |
х |
|||
|
|
|||
6 |
+ |
6 |
− 4,5 = 0; |
|
5,4 − х |
х |
|||
|
|
6х + 6(5,4 − х) − 4,5х(5,4 − х) = 0; х(5,4 − х)
6х + 32,4 − 6х − 24,3х + 4,5х2 = 0; 4,5х2 − 24,3х + 32,4 = 0;
D = 590,49 − 583,2 = 7,29;
х |
|
= |
24,3 ± 2,7 |
; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1, 2 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
х |
= |
24,3 + 2,7 |
= 3; х |
|
= |
24,3 − 2,7 |
= 2,4. |
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
1 |
|
9 |
|
|
|
|
9 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Обидва корені задовольняють умову задачі. Отже, швидкість |
||||||||||||||
течії ріки могла бути або 3 |
км |
, або |
|
2,4 |
км |
. Якщо швидкість ріки |
||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
год |
|
|
|
год |
|
||||
дорівнювала 3 |
км |
, то рибалка плив проти течії |
6 |
= 2,5 години, а за |
|
2,4 |
|||
|
год |
|
||
течією його знесло за 6 = 2 години, всього 4,5 годин. Якщо швидкість
3
течії |
ріки дорівнювала |
2,4 |
км |
, то |
рибалка |
плив |
проти течії |
|||||||
|
||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
год |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
= 2 години, а за |
течією його |
знесло за |
|
= 2,5 години, |
|||||||||
|
5,4 − |
2,4 |
2,4 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
всього 4,5 годин. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Відповідь: швидкість течії річки або 3 |
км |
, або 2,4 |
км |
. |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
год |
|
|
|
год |
||
Задача 25.
Відстань між пристанями А і В теплохід проходить за течією за 5 год, а проти течії за 6 год. За скільки годин пропливе цю відстань за течією пліт?
37
Розв’язання:
Нехай власна швидкість теплохода дорівнює x км , а швидкість
год
течії ріки — у км ; тоді за течією швидкість теплохода становить
год
(х + у) км , а проти течії — (х − у) км . Знайдемо, на скільки швидше
год год
теплохід пройде за течією, ніж проти течії, тобто знайдемо різницю його швидкостей: (х + у) − (х − у) = х + у − х + у = 2 у.
Як бачимо, різниця швидкостей теплохода за течією і проти течії дорівнює подвоєній швидкості течії ріки. Використаємо це при розв'язуванні задачі. Позначимо відстань між пристанями А і В через
S, тоді швидкість теплохода за течією дорівнює S км , а проти течії
|
|
|
|
|
5 год |
|
|
||
становитиме |
S |
|
км |
. Пліт пливе зі швидкістю, |
що дорівнює швидкості |
||||
|
|
||||||||
|
6 год |
|
|
|
|
|
|||
течії ріки. Нехай він подолає цю відстань |
за t годин, |
тоді |
його |
||||||
швидкість (а отже, і швидкість течії ріки) |
дорівнює |
S |
. |
Як |
було |
||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
показано вище, різниця швидкостей теплохода за течією і проти течії дорівнює подвоєній швидкості течії ріки. Отже, можемо записати:
S − S = 2S ;
5 |
6 |
|
|
|
|
t |
|||
1 |
|
− |
1 |
= |
|
2 |
; |
||
5 |
|
|
|
||||||
6 |
|
|
|
t |
|||||
1 |
|
− |
1 |
|
− |
2 |
= 0; |
||
5 |
|
|
|
||||||
6 |
|
|
|
t |
|||||
6t − 5t − 60 =
0;
30t
6t − 5t − 60 = 0;
t − 60 = 0;t = 60.
Пліт подолає цю відстань за 60 годин.
Відповідь: пліт пропливе відстань за течією за 60 годин.
38
Задача 26.
Катер пройшов за течією 90 км за певний час. За той самий час він пройшов би проти течії 70 км. Яку відстань за цей час пропливе пліт?
Розв’язання:
Позначимо час через t годин. Тоді швидкість катера за течією
дорівнює |
90 |
|
км |
, |
а швидкість катера проти течії дорівнює |
|
70 |
|
км |
. |
||
|
|
|
|
|||||||||
|
t год |
|
|
|
|
t год |
||||||
Нехай швидкість |
течії ріки дорівнює х |
км |
. Відомо, що |
різниця |
||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
год |
|
|
|
|
|
|
швидкостей катера за течією і проти течії дорівнює подвоєній швидкості течії ріки. Пліт рухається зі швидкістю, що дорівнює швидкості течії ріки. Запишемо:
90 − 70 = 2x; t t
45 − 35 = x; t t
45 − 35 = xt;
xt = 10.
Але x ×t – це відстань, яку пройде пліт за час t. Отже, пліт за час t пройде 10 км.
Відповідь: пліт за час t пройде відстань в 10 км.
Задача 27.
Круговою доріжкою завдовжки 2 км рухаються в одному напрямі два ковзанярі, які сходяться через кожні 20 хв (див. малюнок). Знайдіть швидкість кожного ковзаняра, якщо перший з них пробігає коло на 1 хв швидше, ніж другий.
Розв’язання:
Нехай перший ковзаняр пробігає коло довжиною 2км за x хвилин, тоді швидкість
його буде дорівнювати |
2 |
|
км |
або |
2 × 60 |
|
км |
. |
x |
|
|
|
|||||
|
|
хв |
|
х год |
||||
Другий ковзаняр пробігає коло довжиною 2 км на 1 хвилину швидше, тобто за (х -1)хв. Отже, його швидкість
|
2 км |
|
2 × 60 км |
|
|||||
дорівнює |
|
|
|
або |
|
|
|
. |
За двадцять хвилин другий ковзаняр |
х −1 |
хв |
х |
год |
||||||
39
пробігає шлях, більший на одну довжину кола, тобто на 2 км, ніж перший ковзаняр. Запишемо:
|
2 |
× 20 + 2 = |
|
2 |
|
|
|||||
|
|
х -1 × 20; |
|||||||||
|
х |
|
|
|
|||||||
|
40 |
+ 2 = |
40 |
; |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
х |
х -1 |
|||||||||
|
40 + 2х - |
40 |
= 0; |
||||||||
|
|
|
х |
|
|
х -1 |
|||||
(40 + 2х)(х -1) - 40х = 0; |
|||||||||||
40х + 2х2 - 2х - 40 - 40х = 0; |
|||||||||||
2х2 - 2х - 40 = 0; х2 - х - 20 = 0;
D =1 + 80 = 81;
x1.2 = 1 ± 9 ;
2
Умову задачі задовольняє тільки додатне значення кореня, тому
x = 1 + 9 = 5. Перший ковзаняр пробігає 2 км за 5 хвилин, отже, його
2
швидкість дорівнює: |
2 × 60 |
= 24( |
км |
). Другий |
|
пробігає 2 |
км за |
4 |
||||||
5 |
|
|
||||||||||||
|
|
год |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 × 60 |
|
|
км |
|
|
|
|
|
||||
хвилини, отже, його швидкість дорівнює: |
|
|
= 30 |
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
4 |
|
|
год |
|
|
|
|
|
||||
Відповідь: швидкість |
першого ковзаняра |
становить |
24 |
км |
, |
а |
||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
год |
|
|
швидкість другого становить 30 км .
год
Задача 28.
Туристи мають повернутись на базу не пізніше, як через 3 години. На яку відстань вони можуть відплисти за течією річки на
моторному човні, якщо його власна швидкість 18 км , а швидкість
год
течії річки 4 км ?
год
40