Тема 3. Решение систем линейных алгебраических уравнений
3.1. Вопросы для самостоятельного изучения
3.1.1. Метод Крамера решения систем линейных уравнений
Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными
a11 x + a12 y + a13 z =b1,a21x + a22 y + a23 z =b2 ,a31x + a32 y + a33 z =b3
находится по формулам:
x = x , y = y , z = z ,
где
|
a11 a12 a13 |
|
b1 |
a12 |
a13 |
|
|
a11 |
b1 |
a13 |
|
|
a11 |
a12 |
b1 |
|
||
= |
a21 |
a22 |
a23 |
x = |
b2 |
a22 |
a23 |
, |
y = |
a21 |
b2 |
a23 |
, |
z = |
a21 |
a22 |
b2 |
. |
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
b3 |
a32 |
a33 |
|
|
a31 |
b3 |
a33 |
|
|
a31 |
a32 |
b3 |
|
Данные формулы для решения системы называются формулами Крамера (правилом Крамера). Оно (правило) распространяется на систему n линейных уравнений с n неизвестными.
3.1.2. Матричный метод решения систем линейных уравнений
Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными
a11x + a12 y + a13 z =b1,a21 x + a22 y + a23 z =b 2 ,a31 x + a32 y + a33 z =b3.
Составим три матрицы:
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
A = a |
a |
a |
|
– матрица системы; |
21 |
22 |
23 |
|
|
a |
a |
a |
|
|
31 |
32 |
33 |
|
|
x
X= y – матрица-столбец решений,
z
10
b1
B = b2 – матрица-столбец свободных членов.
b3
Систему уравнений, используя введенные матрицы, можно записать в матричной форме
a11
a21a31
a12 a13 |
|
x |
b1 |
|
|||
a |
a |
|
y |
|
= b |
2 |
|
22 |
23 |
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
z |
|
b |
3 |
|
32 |
33 |
|
|
|
|
|
|
или коротко AX = B .
Предположим, что матрица системы А невырожденная, т.е. A ≠ 0 . Тогда существует обратная матрица А−1 , на которую умножим левую и правую часть
уравнения A−1 AX = A−1B . |
|
|||||||||
|
Так как A−1 А= E , E Х = Х , то получим |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X = A−1B . |
|
|
Матричный метод решения системы линейных уравнений: |
|||||||||
1) |
выписать матрицы А, B, Х и |
систему уравнений в матричной форме |
||||||||
|
AX = B ; |
и найти матрицу А−1 ; |
||||||||
2) |
найти |
|
A |
|
, убедиться, что |
|
A |
|
≠ 0 |
|
|
|
|
|
|||||||
3)найти матрицу – столбец решений по формуле X = A−1B , выписать значения x, y, z .
3.1.3. Метод Гаусса
Были рассмотрены два метода решения системы линейных уравнений: метод Крамера, матричный метод. Они применяются к системам, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных.
Рассмотрим ещё один метод – метод Гаусса (метод исключения неиз-
вестных) решения системы m линейных уравнений с n неизвестными |
|
|||||||||
a x + a x +…+ a x = h |
1 |
, |
|
|
|
|||||
|
11 1 |
12 2 |
1n n |
|
|
|
, |
|
|
|
a x |
+ a x |
+…+ a x |
= h |
|
|
(1) |
||||
|
21 1 |
22 2 |
2n n |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a x |
+ a x |
+…+ a x |
|
= h |
m |
, |
|
|||
|
m1 1 |
m2 2 |
mn n |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
причем возможны случаи n = m, n < m, n > m .
Две системы называются равносильными, если они имеют одни и те же решения.
3.1.4. Метод Гаусса решения системы (1).
1)Составить расширенную матрицу А, добавив к основной матрице А столбец свободных членов
|
|
a11 a12 |
… a1n |
|
h1 |
|
||||
|
|
|
||||||||
|
|
a |
a |
|
… a |
|
h |
|
|
|
A = |
21 |
|
22 |
2n |
|
|
2 |
. |
||
|
|
|
… … |
… … |
|
… |
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
am1 am2 |
… amn |
|
h m |
|||||
|
|
|
||||||||
2) С помощью элементарных преобразований привести матрицу А к треугольному виду
|
|
b11 b12 |
… … … b1n |
|
g1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
0 |
b |
… … … b |
|
g |
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
22 |
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… … … … … … |
|
… |
|
|
|
|||||||
A ~ |
0 |
0 |
… b |
kk |
… b |
|
g |
k |
|
= B . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
kn |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
… … … … … … |
|
… |
|
|
|
|||||||
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3)Составить систему линейных уравнений с расширенной матрицей B , которая равносильна системе (1). Найти из этой системы последовательно
xk , xk−1, xk−2 ,…, x2 , x1 – решения заданной системы.
Вопрос о существовании решения системы (1) рассмотрен в следующей теореме.
3.1.5. Теорема Кронекера–Капели
Система линейных уравнений (1) имеет решение (система совместная),
если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы r( A) = r( A) ,
причем:
1)если r( A) = r( A) = n , то система имеет единственное решение;
2)если r( A) = r( A) < n , то система имеет множество решений.
12