13)Как найти объем параллелепипеда и пирамиды по их вершинам?
14)Какие векторы называются компланарными?
15)Каково условие компланарности векторов?
Тема 6. Комплексные числа
6.1. Вопросы для самостоятельного изучения |
|
6.1.1. Определения |
|
Комплексным числом называется выражение z = x + iy , где x, |
y – дей- |
ствительные числа, а i – новое число, обладающее свойством |
|
i2 = −1 |
(9) |
и называемое мнимой единицей. Число x называется действительной ча-
стью, y – мнимой частью комплексного числа z . Они обозначаются x = Re z , y = Im z . Множество комплексных чисел обозначается буквой .
Выражение z = x + iy называется алгебраической формой записи ком-
плексного числа. В дальнейшем мы познакомимся и с другими формами записи.
Числа z = x + iy и z = x −iy называются комплексно-сопряженными.
Комплексные |
числа |
изображаются |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
точками |
или |
векторами |
на плоскости |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M (x, y) |
||||||
(Рис. 6.1.1). В декартовой системе коор- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
динат |
каждому |
комплексному числу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|||||||||||||||||||||
z = x + iy ставится в соответствие точка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
M (x, y) |
или радиус-вектор OM = (x, y) с |
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
теми же координатами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РИС. 6.1.1 |
|
|
||||||||||||||||||||
Ось Ox называют действительной осью, а ось Oy – мнимой осью. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Модуль |
r вектора OM называется модулем комплексного числа |
z и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
обозначается | z |. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
z |
|
= r = x2 + y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Полярный угол ϕ точки M или аргумент вектора OM называются аргу-
ментом комплексного числа z и обозначается arg z .
arg z = ϕ = arctg |
y |
0, |
x ≥ 0, |
(11) |
|
+ |
|
||||
x |
x < 0. |
||||
|
π, |
|
6.1.2. Правила арифметических действий над комплексными числами в алгебраической форме
Арифметические действия над комплексными числами в алгебраической форме проводятся по обычным правилам действий над двучленами с учетом равенства i2 = −1.
1) Сложение.
z1 + z2 = (x1 + iy1) + (x2 + iy2 ) = (x1 + x2 ) + i( y1 + y2 ) . 2) Вычитание.
z1 − z2 = (x1 + iy1) − (x2 + iy2 ) = (x1 − x2 ) + i( y1 − y2 ) .
3) Умножение.
z1 z2 = (x1 + iy1) (x2 + iy2 ) = x1x2 + ix1 y2 + ix2 y1 + i2 y1 y2 = = (x1x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1) .
Здесь использовалось равенство (9).
Замечание (свойство произведения комплексно-сопряженных чисел).
|
|
|
|
z z = (x + iy)(x −iy) = x2 − (iy)2 = x2 + y2 . |
|
|
(12) |
|||||||||||||||
4) Деление. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
z |
|
x + iy |
|
(x + iy )(x − iy |
2 |
) |
|
|
|
x x − ix y |
2 |
+ ix y − i2 y y |
2 |
|
|||||||
|
1 |
= |
1 |
1 |
= |
1 |
1 2 |
|
|
= |
|
1 2 |
1 |
2 1 |
1 |
|
= |
|||||
|
z2 |
|
x2 + iy2 |
|
(x2 + iy2 )(x2 −iy2 ) |
|
|
|
x22 + y22 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
= |
(x1x2 + y1 y2 ) + i(x2 y1 − x1 y2 ) |
|
= |
x1x2 + y1 y2 |
|
+ i |
x2 y1 − x1 y2 |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ y2 |
|
|
|
|
|
x2 |
+ y2 |
|
|
|
x2 |
+ y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|||
Здесь мы воспользовались свойством произведения комплексносопряженных чисел (12).
26
6.1.3. Тригонометрическая форма комплексного числа
Пусть r – модуль, ϕ – аргумент комплексного числа z = x + iy . Тогда, пе-
реходя к полярной системе координат (r,ϕ), получим x = r cosϕ, y = r sin ϕ.
Следовательно, комплексное число тогда можно переписать в виде
z = r(cosϕ + isin ϕ) .
Такая форма записи комплексного числа называется тригонометриче-
ской формой.
6.1.4. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера
Формула Эйлера
eit = cost + isin t .
Показательная форма комплексного числа
z= r(cosϕ + isin ϕ) = reiϕ.
6.1.5.Действия над комплексными числами в показательной форме
Сложение и вычитание комплексных чисел удобнее выполнять в алгеб-
раической форме; умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня – в показательной формах.
Пусть
z1 = r1eiϕ1 , z2 = r2eiϕ2 , z = reiϕ .
1) Умножение
|
z z |
2 |
= r eiϕ1 r eiϕ2 |
= r r eiϕ1 eiϕ2 |
= r r ei(ϕ1+ϕ2 ) . |
||||||||||||||||
|
1 |
1 |
2 |
|
|
1 2 |
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|||||||
2) |
Деление |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
r eiϕ1 |
|
|
r |
eiϕ1 |
|
r |
|
i(ϕ −ϕ |
) |
|
||||||
|
|
|
|
1 |
= |
1 |
|
= |
|
1 |
|
|
|
= |
1 |
e |
1 2 |
|
. |
||
|
|
|
|
r eiϕ2 |
r2 eiϕ2 |
r2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
Возведение в степень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
zn =(reiϕ )n = rn (eiϕ )n = rneinϕ – |
|||||||||||||||||
формула Муавра, где n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4) |
Извлечение корня целой степени. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n z = n reiϕ = n rei |
ϕ+2kπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
n |
, k = |
|
|
||||||||||||||||
|
|
0,n −1, n . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||