7.2.Контрольные вопросы
1)Что называется направляющим вектором прямой, нормальным вектором прямой, угловым коэффициентом прямой?
2)Какой вид имеет каноническое уравнение прямой?
3)Какой вид имеет уравнение прямой с нормальным вектором?
4)Какие уравнения прямой содержат угловой коэффициент?
5)Запишите уравнение прямой, проходящей через две точки.
6)Запишите уравнение прямой в отрезках.
7)Как найти точку пересечения прямых?
8)Как найти угол между прямыми?
9)Сформулируйте условия параллельности прямых.
10)Сформулируйте условия перпендикулярности прямых.
11)Как найти точку пересечения прямых?
12)Как найти расстояние от точки до прямой?
13)Какой вектор называется нормальным вектором плоскости?
14)Как записывается уравнение плоскости, проходящей через данную точку
сданным нормальным вектором?
15)Какой вид имеет общее уравнение плоскости? Какую степень имеет это уравнение?
16)Что необходимо найти, чтобы записать уравнение плоскости?
17)Как найти угол между плоскостями?
18)Как записываются общие уравнения прямой в пространстве?
19)Какой вид имеют канонические уравнения прямой в пространстве?
20)Что необходимо знать, чтобы записать канонические уравнения прямой?
21)Как найти угол между прямыми?
22)Как найти точку пересечения прямой и плоскости?
Тема 8. Кривые второго порядка
ТАБЛИЦА 7.2.1. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Понятие, |
|
|
Эллипс |
|
Гипербола |
Парабола |
|||||||||
свойство |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Каноническое |
|
x |
2 |
+ |
y |
2 |
=1 |
|
x |
2 |
− |
y |
2 |
=1 |
y2 = 2 px |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
уравнение. |
|
a2 |
b2 |
a2 |
b2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
35
Понятие, |
|
Эллипс |
|
|
Гипербола |
|
Парабола |
|||||
свойство |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. График. |
|
|
|
|
|
|
y |
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
d |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
r1 |
r2 |
|
M |
|||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|||
|
|
M |
|
|
|
A2 |
|
|
|
|||
|
|
b B2 |
|
|
|
|
|
O |
|
F |
||
|
A1 |
r1 |
r2 |
A2 |
F |
A |
a |
F x |
− p |
p |
||
|
|
x |
||||||||||
|
-a F1 |
F2 |
a x |
1 |
1 |
|
2 |
|
||||
|
|
-b B1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вершины. |
A1(−a,0), A2 (a,0) |
A1(−a,0), A2 (a,0) |
|
O(0,0) |
||||||||
|
B1(0,−b), B2 (0,b) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
Оси. |
2a – большая ось, |
2a – действитель- |
|
|
|
2b – малая ось |
ная ось, |
|
|
|
(a >b) |
2b – мнимая ось |
|
|
|
|
|
|
5. |
Фокусы. |
F1(−c,0) , F2 (c,0) , |
F1(−c,0) , F2 (c,0) , |
F( p / 2,0) |
|
|
c = a2 −b2 |
c = a2 + b2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
6. |
Основное (фо- |
|
|
|
кальное) свойст- |
r1 + r2 = 2a |
| r1 − r2 |= 2a |
r = d |
|
во. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Эксцен- |
ε = c / a |
ε = c / a |
ε =1 |
триситет. |
ε<1 |
ε >1 |
|
|
|
|
|
|
|
8. |
Дополни- |
|
y = ± b x – |
x = −p / 2 – дирек- |
тельные свойства. |
|
a |
триса, |
|
|
|
|
асимптоты |
p – фокальный па- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
раметр |
8.1.Контрольные вопросы
1)Какой вид имеют канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы?
2)Дайте определение фокусов для эллипса, гиперболы параболы.
36
3)Что называется эксцентриситетом и как по его значению определить вид кривой?
4)Что называется асимптотами гиперболы и какой вид имеют их уравнения?
5)Что называется директрисой параболы и какой вид имеет ее уравнение?
6)Постройте графики эллипса, гиперболы и параболы.
8.2.Практическое задание для самостоятельной работы
1.Даны координаты вершин треугольника АВС: А (-2;7), В(10;-2), С(8;12).
Найти: |
|
y |
N |
С |
||
1) |
Длину стороны АВ. |
А |
F |
|
||
2) |
Внутренний угол А. |
|
||||
|
|
|
||||
3) |
Уравнение медианы СМ. |
К |
|
|
||
4) |
Уравнение высоты СК |
|
М |
|
||
5) |
Точку F пересечения высот CK и BN. |
|
||||
|
|
|||||
6) |
Площадь треугольника АВС. |
|
|
|
||
Варианты заданий: |
|
|
|
|||
|
1. |
А(-8;-3), |
В(4; -12), |
С(8; 10). |
|
|
|
2. |
А(-5; 7), |
В(7; -2), |
С(11; 20). |
|
|
|
3. |
А(-12; -1), |
В (0; -10), |
С (4; 12). |
|
|
|
4. |
А (-10; 9), |
В (2; 0), |
С (6; 22). |
|
|
|
5. |
А (0; 2), |
В (12; -7), |
С (16; 15). |
|
|
|
6. |
А(-9; 6), |
В (3; -3), |
С (17; 19). |
|
|
|
7. |
А(1; 0), |
В(13; -9), |
С(17;16). |
|
|
|
8. |
А (-4; 10), |
В(8;1), |
С (12;23). |
|
|
|
9. |
А(2; 5), |
В(14; -4), |
С18; 18). |
|
|
|
10.А(-1; 4), |
В(11;-5), |
С(15;17). |
|
|
|
x
В
2.Найти центр и радиус окружности, определить количество пересечений
сосями координат и расстояние от центра окружности до данной точки М(х,у),
если окружность задана уравнением:
1) |
x2+ y2 - 4x - 8y -11 = 0; |
M(-3; 2). |
2) |
2x2+ 2y2 + 12x - 8y - 6 = 0; |
M(0; -2). |
|
|
37 |
3) |
x2+ y2 - 10x + 6y - 2 = 0; |
M(4; - 4). |
|||
4) |
3x2+ 3y2 + 6x |
- 72 = 0; |
M(1; 3). |
||
3. Написать каноническое уравнение эллипса, симметричного относи- |
|||||
тельно осей координат, если известно расстояние между фокусами F1F2 и экс- |
|||||
центриситет ε : |
|
|
|
||
1) |
F1F2 |
= 2 |
3 , |
ε= 1/2. |
|
2) |
F1F2 |
= 2 |
5 , |
ε = 1/3. |
|
4. |
Написать |
каноническое |
уравнение эллипса, симметричного относи- |
||
тельно осей координат, если известна большая полуось а и эксцентриситет ε:
1) |
а = 15 , |
ε = |
2 |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
2) |
а = 10 , |
ε = 2 / 10 . |
|||
5. Составить уравнения геометрического места точек, отношения расстояний которых до данной точки А(x,y) и до данной прямой x=a равно числу h. Полученное уравнение привести к каноническому виду. Затем построить кри-
вую. |
|
|
|
|
|
|
|
1) |
A(-8;0), |
x = -9, |
h = |
2 |
2 ; |
||
|
|
|
|
3 |
|
||
2) |
A(-6;0), |
x = -8, |
h = |
|
3 |
; |
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
3) |
A(-4;0), |
x = -1, |
|
|
h = 2; |
||
4) |
A(-3;0), |
x = -4/3, |
|
h = 1,5; |
|||
5) |
A(-2;0), |
x = 2,5, |
h = 1; |
||||
6) |
A(2;0), |
x = 4,5, |
h = 2/3; |
||||
7) |
A(3;0), |
x = 4/3, |
h = 1,5; |
||||
8) |
A(4;0), |
x = 5, |
|
h = 1; |
|||
9) |
A(6;0), |
x = 1,5, |
h = 2. |
||||
38