Свойство 3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю
Свойство 4. Если все элементы строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя
Свойство 5. Определитель, имеющий нулевую строку (нулевой столбец), равен нулю
Свойство 6. Определитель не изменится, если ко всем элементам некоторой строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число
1.2.Контрольные вопросы
1)Что называется матрицей, определителем?
2)Запишите правило вычисления определителей второго и третьего порядков.
3)Что называется минором, алгебраическим дополнением?
4)Как формулируется теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца?
5)Сформулируйте свойства определителей.
Тема 2. Действия над матрицами
2.1. Вопросы для самостоятельного изучения
2.1.1. Действия над матрицами
Суммой матриц A = (aij )m×n и B = (bij )m×n называется матрица
A + B = (aij + bij )m×n ,
полученная сложением элементов с одинаковыми индексами.
Произведением матрицы A = (aij )m×n на число k называется матрица kA = (kaij )m×n , полученная умножением всех элементов матрицы А на число k .
6
|
Произведением матрицы – строки A = (a1,a2 ,…,an ) на матрицу-столбец |
||
b1 |
|
|
|
|
b |
|
, имеющих одинаковое число элементов, называется число |
B = |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
bn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
= a b |
+ a b |
+…+ a b . |
AB = (a ,a ,…,a ) |
2 |
|
|||||
1 2 |
n |
|
|
|
1 1 |
2 2 |
n n |
|
|
|
bn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Произведением матрицы |
A = (aij )m×n на матрицу B = (bij )n×k , удовлетво- |
||||||
ряющих условию: число столбов матрицы
B , называется матрица AB =C = (cij )m×k |
, где, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 j |
|
|
|
с |
ij |
= (a |
,a |
,…,a |
) |
b2 j |
= a b |
||
|
i1 |
i2 |
in |
|
|
|
|
i1 1 j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nj |
|
|
|
Матрица АB имеет m строк и k столбцов.
А равно числу строк матрицы
+ ai2b2 j +…+ ain bnj .
2.1.2. Обратная матрица
Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель матрицы не равен нулю A ≠ 0 .
Квадратная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
единице, а остальные нулю E = |
|
называется единичной матрицей. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|||
Для любой квадратной матрицы А и единичной матрицы E , имеющих одинаковый порядок, имеем А E = E А= А.
7
Если у матрицы А строки заменить столбцами, а столбцы строками, со-
храняя их порядок, то получится матрица |
АТ , которая называется транспони- |
|||||||||
рованной к матрице А. Например, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
a |
a |
|
|
T |
a |
a |
|
a |
|
11 |
12 |
13 |
|
|
11 |
21 31 |
|
|||
A = a21 a22 a23 |
, |
A |
= a12 |
a22 |
a32 . |
|||||
a |
a |
a |
|
|
|
a |
a |
|
a |
|
31 |
32 |
33 |
|
|
|
13 |
23 |
33 |
|
|
Пусть А – квадратная матрица. Обратной к матрице А называется мат-
рица А−1 , удовлетворяющая условию А А−1 = А−1 А= E .
Всякая невырожденная квадратная матрица имеет обратную.
Способ нахождения обратной матрицы А−1 для квадратной невырожден- |
|||||||||||||||||
ной матрицы A = (aij )n×n : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) найти определитель |
|
A |
|
матрицы, убедиться, что |
|
A |
|
≠ 0 ; |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
2) найти алгебраические дополнения Aij элементов aij , i = |
|
, j = |
|
и |
|||||||||||||
1,n |
1, n |
||||||||||||||||
А11 |
|
А12 |
А13 |
|
|||||||||||||
составить матрицу A = А21 |
|
А22 |
А23 |
; |
|||||||||||||
|
А |
31 |
|
А |
32 |
А |
33 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А11 |
А21 |
А31 |
|
|
3) найти транспонированную к |
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
А12 |
А22 |
А32 |
|
; |
|||||||
А матрицу A |
|
= |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А13 |
А23 |
А33 |
|
|
|
4) найти обратную матрицу по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 Т |
|
|
|
|
|
А11 |
А21 |
А31 |
|
|
|
|
|
||||
|
−1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
А |
|
= |
|
|
|
A = |
|
|
|
|
|
|
А12 |
А22 |
А32 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А13 |
А23 |
А33 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2.1.3. Ранг матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рангом матрицы называется целое положительное число r , |
равное наи- |
||||||||||||||||||||
большему порядку минора матрицы, отличного от нуля.
Элементарными преобразованиями строк матрицы называются сле-
дующие преобразования:
8