- •Министерство образования и науки рф Физика
- •Часть 2
- •Общие методические указания
- •Работа, выполненная не по своему варианту, не зачитывается.
- •Правила оформления контрольных работ:
- •Основная
- •Магнитное поле в веществе
- •Электромагнитная индукция
- •13. Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле ,
- •Примеры решения задач
- •Контрольное задание 2.1
- •Часть 2.2 Волновая и квантовая оптика программа
- •Квантовая оптика
- •Экспериментальное обоснование основных идеи квантовой механики
- •Методические указания к выполнению контрольной работы
- •Часть 2.2 Волновая и квантовая оптика. Основные законы и формулы
- •Примеры решения задач
- •Контрольное задание 2.2
- •Методические указания к выполнению
- •Примеры решения задач
- •Контрольное задание 2.3
- •Приложения
- •Показатель преломления
- •7. Массы лёгких изотопов
- •8. Работа выхода электронов
- •9. Масса и энергия покоя некоторых частиц.
13. Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле ,
где Ф1 и Ф2 – магнитные потоки через контур в начальном и конечном положении.
14. Закон электромагнитной индукции (закон Фарадея)
.
15. Разность потенциалов на концах прямого проводника, движущегося со скоростью в однородном магнитном поле
,
где ℓ - длина проводника; α – угол между векторами и.
16. Индуктивность контура
.
17. ЭДС самоиндукции
.
18. Индуктивность соленоида
,
где - число витков, приходящегося на единицу длины.
(N – число витков соленоида, -длина соленоида,V - объём соленоида).
19. Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей сопротивлением R и индуктивностью L:
а) при замыкании цепи
где Е – ЭДС источника; t- время, прошедшее после размыкания цепи;
б) при размыкании цепи
,
где - сила тока в цепи при t=0, t –время, прошедшее с момента замыкания цепи.
20. Энергия магнитного поля
.
21. Объёмная плотность энергии магнитного поля (энергия, приходящаяся на единицу объёма )
, ,.
22. Эффективные (действующие) значения напряжения и силы переменного тока
где и- амплитудные значения напряжения и силы тока.
23. Закон Ома для цепи переменного тока, содержащей последовательно соединённые резистор сопротивлением R, катушку индуктивностью L и конденсатор ёмкостью С
или ,
где - полное сопротивление цепи,
- индуктивное сопротивление,
- ёмкостное сопротивление,
- круговая частота переменного тока.
При этом сдвиг фаз между напряжением и силой тока определяется из условия
или .
24. Средняя мощность, выделяемая в цепи переменного тока,
,
где - сдвиг фаз между напряжением и силой тока.
25. Период собственных электромагнитных колебаний в контуре без активного сопротивления (формула Томсона)
,
где L – индуктивность контура, С - ёмкость.
26. Фазовая скорость распространения электромагнитных волн в среде
где с - скорость электромагнитных волн в вакууме .
27. Связь длины электромагнитной волны с периодом Т и частотой ν колебаний
или .
В плоской электромагнитной волне
.
28. Вектор Пойнтинга
Модуль вектора Пойнтинга равен плотности потока энергии электромагнитной волны.
Примеры решения задач
Пример 1. По двум бесконечно длинным параллельным проводам текут в одинаковом направлении токи силой и. Расстояние между проводамиd=10см.
Определить магнитную индукцию в точке А (рис. 7), удалённой от первого провода на расстояние =10 см. и от второго провода на расстояние=15см.
Рис. 7
Решение. Согласно принципу суперпозиции магнитных полей, магнитная индукция в точке А равна сумме векторов магнитных индукций полей, созданных каждым током в отдельности:
, (1)
где и. На рис. 7 проводники с токамии- перпендикулярны плоскости чертежа ( токи направлены от наблюдателя). Векторыи
изображены на рисунке так, что их направление связано с направлением соответствующих токов правилом правого винта. Векторы ив точке А направлены по касательной к силовым линиям (пунктирные кривые).
Модуль вектора на основании теоремы косинусов равен:
, (2)
где α – угол между векторами и. Из рис.2 видно, что углы α и β равны как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Из треугольника со сторонами,иd по теореме косинусов на ходим :
Вычислим отдельно:
.
Подставляя выражение для ив формулу (2) и выносяза знак корня, получаем:
Выразим все величины в единицах СИ: ;;;;;.
Произведём вычисления:
.
Пример 2. По проводнику, согнутому в виде прямоугольника со сторонами а = 8см и b=12см, течёт ток силой I= 5А. Определить магнитную индукцию в точке пересечения диагоналей прямоугольника.
Решение. Согласно принципу суперпозиции магнитных полей
, (1)
где - магнитные индукции полей, создаваемых токами, протекающими по каждой стороне прямоугольника (рис. 8).
b
Рис.8
В точке О пересечения диагоналей все векторы индукции направлены перпендикулярно плоскости прямоугольника. Кроме того, из соображений симметрии следует, чтои
. Поэтому векторное равенство (1) заменим скалярным:
, (2)
где и- индукции магнитных полей, создаваемых соответственно токами, текущими по сторонам длинойb и а. Используя формулу для магнитной индукции поля, создаваемого отрезком прямого проводника с током
,
получим
. (3)
Из рис. 8 следует, что
и . (4)
Подставив формулы (3) и (4) в равенство (2), после алгебраических преобразований получим
.
Проверим, даёт ли расчётная формула единицу магнитной индукции. Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы измерений:
Выразим все величины в единицах СИ: ,, , ,.
Произведем вычисления
Пример 3. Тонкий провод длиной ℓ=20 см изогнут в виде полукольца и помещён в однородное магнитное поле с индукцией так, что плоскость полукольца перпендикулярна линиям индукции. По проводу пустили ток силой. Определить силу, действующую на провод. Подводящие провода направлены вдоль силовых линий магнитного поля (Рис. 9).
Y
Рис. 9
Решение: Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпадало с центром кольца, а ось OY была бы расположена симметрично относительно концов провода (рис. 9).
Разобьем провод на элементарные участки и выделим элемент длиной , гдеR- радиус полукольца. Согласно закону Ампера на элемент тока со стороны магнитного поля действует сила
или . (1)
Линии магнитной индукции на рис. 9 перпендикулярны плоскости чертежа и направлены « к нам » (обозначены точками). По условию задачи , поэтому в векторном произведении (1). Следует заметить, что на подводящие провода сила действует, так как угол между направлением тока и векторомравен нулю.
При переходе от одного элемента полукольца к другому направление элементарной силы непрерывно меняется. Поэтому разобьем векторна две составляющиеи. В силу симметрии составляющиедействующие на симметричные элементарные участки полукольца, взаимно уравновешиваются и результирующая силабудет направлена вдоль осиOY. Поэтому полная сила, действующая на проводник, будет равна
, (2)
где - проекция элементарной силы на осьOY.
Так как и, то
. (3)
При интегрировании по полукольцу угол меняется от 0 до , поэтому с учётом (3) выражение (2) примет вид
.
Производя интегрирование и учитывая, что R= l/, получаем
. (4)
Выразим все величины в единицах СИ: l=0,2 м, ,I=0,5А. Произведём вычисления:
.
Пример 4. Виток радиусом R=3 см, по которому течёт ток силой I=5А, свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией В=0,2Тл. Силовые линии поля перпендикулярны плоскости витка. Определить работу, совершаемую внешними силами при повороте витка на угол 90о вокруг оси, совпадающей с диаметром витка. Считать, что при повороте витка сила тока в нём поддерживается постоянной.
Решение. На виток с током помещённый в магнитное поле, действует вращающий момент (рис. 10)
, где
- магнитный момент витка, - угол между векторами и. В начальном положении согласно условию задачи виток свободно установился в магнитном поле, следовательноисовпадают по направлению, т.е. α =0 и М=0. Чтобы повернуть виток на некоторый угол α, внешние силы должны совершить работу против момента сил Ампера, так как он стремится возвратить виток в исходное положение. Так как момент сил переменный и зависит от угла поворота α, то
или dA=.
Взяв интеграл от этого выражения, найдём работу, совершаемую при повороте витка на конечный угол:
Рис. 10
Так как и, то
. (2)
Проверим, даёт ли расчётная формула единицу работы. Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы измерений:
1 A м2 . 1 Тл = 1А . 1м2
Произведём вычисления:
Задачу можно решить и другим способом. Работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна
где Ф1 - магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения,
Ф2 - то же после перемещения.
С учётом того, что в однородном магнитном поле получими.
Следовательно, , что совпадает с (2).
Пример 5. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов , попал в однородное магнитное поле с индукцией В=5 мТл. Вектор скоростиv направлен под углом к линиям индукции (рис. 11). Определить радиусR и шаг h, по которой будет двигаться электрон в магнитном поле.
Рис.11
Решение. На электрон, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца
или . (1)
Кинетическую энергию электрон приобретает за счёт работы сил электрического поля, поэтому имеем
Отсюда
(2)
Разложим вектор скорости на две составляющиеи. Векторнаправлен по линиям индукции;- перпендикулярно им.
Тогда
или , (3)
так как .
Составляющая скорости не изменяется ни по модулю, ни по направлению. Составляющая скоростиизменяется по направлению, так как сила, расположенная в плоскости перпендикулярной линиям индукции, сообщает электрону нормальное ускорениеСледовательно, электрон участвует в двух движениях: равномерном вдоль оси ОХ со скоростьюи равномерном по окружности в плоскостиZOX со скоростью , то есть будет двигаться по винтовой линии.
Так как сила Лоренца /см.(3)/ сообщает электрону нормальное ускорение а n , то по второму закону Ньютона имеем:
или
Отсюда радиус винтовой линии
. (4)
Учитывая формулу (2), получаем
Шаг винтовой линии (смещение вдоль оси ОХ за время Т одного оборота)
,
где - период вращения электрона.
Учитывая формулу (4), получаем
.
Следовательно, шаг винта равен
.
Подставив в выражение (5) формулу для скорости (2), получим
Выразим все величины в единицах СИ: U=200 В, ,,,
Произведём вычисления:
Пример 6. В центре плоской круглой рамки, состоящей из N=50 витков радиусом R=20 см. находится маленькая рамочка, состоящая из N2=100 витков площадью S=1 cм2. Маленькая рамка вращается вокруг одного из диаметров большой рамки с постоянной угловой скоростью Найти максимальное значение ЭДС индукции, если в обмотке первой рамки течёт ток силойI=10А.
Решение. При вращении маленькой рамки непрерывно изменяется угол α между вектором и нормалью к плоскости рамки и, следовательно, изменяется магнитный поток Ф, пронизывающий маленькую рамку. В рамке возникает ЭДС индукции, мгновенное значение которой по закону Фарадея, равно
(1)
где- потокосцепление.
Так как размеры маленькой рамки малы по сравнению с размерами большой рамки, то поле в пределах маленькой рамки можно считать однородным. Магнитную индукцию В этого поля можно выразить через индукцию поля в центре круговых витков с током
(2)
Для однородного поля магнитный поток, пронизывающий маленькую рамку, равен Ф=ВScosωt.
С учётом того, что при вращении рамки с постоянной угловой скоростью мгновенное значение ЭДС индукции:
.
Максимальное значение ЭДС индукции равно
.
Учитывая формулу (2), получим
.
Выразим все величины в единицах СИ: R=0,2м, S=10-4м2 , I=10А, ω = 300 рад/с, ,
Пример 7. Контур в виде квадрата со стороной а=10см находится в однородном магнитном поле с индукцией В=0,5мТл так, что его плоскость составляет угол β=300 с силовыми линиями поля. Какой заряд протечёт по контуру при включении магнитного поля? Сопротивление контура R=1мОм.
Решение. При выключении магнитного поля магнитный поток Ф, пронизывающий контур, меняется. В контуре возникает ЭДС индукции, мгновенное значение которой по закону Фарадея равно
Мгновенное значение силы индукционного тока определяется по закону Ома
За время dt по контуру протечёт заряд
.
Проинтегрировав это выражение, найдём полный заряд
Рис. 12
Для однородного магнитного поля начальный магнитный поток равен , где α – угол между вектороми нормалью к плоскости контура(рис. 12);- площадь квадрата. Из рисунка видно, что. Следовательно,. Конечный магнитный поток. Таким образом,
Проверим, даёт ли расчётная формула единицу заряда. Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы измерений:
Пример 8. Обмотка длинного соленоида с железным сердечником содержит N=600 витков. Длина сердечника ℓ=40см. По обмотке течёт ток силой I=1А. Определить магнитную проницаемость железа при этих условиях и объёмную плотность энергии магнитного поля в сердечнике.
Решение. Используя соотношение , находим магнитную проницаемость железа
Рис. 13
Напряжённость магнитного поля длинного соленоида равна
.
Произведя вычисления, получим
.
По графику зависимости магнитной индукции В от напряжённости поля Н (рис. 13) находим, что напряжённости соответствует индукцииТаким образом, магнитная проницаемость железа будет равна
Объёмная плотность энергии магнитного поля в сердечнике вычисляется по формуле
.
Пример 9. Разность потенциалов между обкладками конденсатора ёмкостью С=0,5 мкФ в колебательном контуре изменяется со временем по закону U= 100sin 1000πt В. Определить период собственных колебаний Т, индуктивность L, полную энергию контура и максимальную силу тока Im, текущего по катушке индуктивности. Активным сопротивлением контура пренебречь.
Решение. Напряжение на конденсаторе изменяется по гармоническому закону , гдеUm - амплитудное (максимальное) значение напряжения на обкладках конденсатора; - собственная круговая частота колебаний, которая связана с периодом соотношением
Период собственных колебаний в контуре определяется по формуле Томсона , откуда
Полная энергия контура складывается из энергии электрического поля Wэ конденсатора и энергии магнитного поля Wм катушки:
Полная энергия контура равна максимальной энергии поля конденсатора или максимальной энергии поля катушки. Таким образом
Зная полную энергию, можно определить максимальную силу тока, протекающего по катушке индуктивности;