Примеры решения задач

Пример 1. Радиус второго тёмного кольца Ньютона в отражённом свете ()при нормальном падении лучей равен 0,4 мм. Определить радиус кривизны линзы.

Решение:

Радиусы темных колец Ньютона в отраженном свете определяются по формуле . По условию задачи

мм = м ,мм.

Отсюда м.

Ответ: радиус кривизны линзы равен м.

Пример 2.На дифракционную решётку длиной 12мм, имеющую 100 штрихов на 1 мм , падает нормально белый свет. Длины волн спектра белого света заключены в пределах от(фиолетовый край спектра) до( красный край спектра).

Определить: 1) угол между началом спектра второго порядка и концом спектра третьего порядка;

2) угловую дисперсию для длины волны в спектре третьего порядка;

3) возможность различить при помощи этой решётки две линии с длиной волныив спектре второго порядка (рис.1).

Решение:

1. Из рисунка видно, что угол между началом спектра второго порядка и концом спектра третьего порядка равен

 = ₃₂

где φ₃- угол, под которым наблюдается конец спектра третьего порядка ( k=3); φ₂- угол, под которым наблюдается начало спектра второго порядка (k=2).

Углы φ₂и φ₃можно определить из условия максимума в спектре по формуле дифракционной решётки

(2)

где – постоянная дифракционной решётки.

рис.1

Получив таким образом расчётную формулу, проделаем вычисления

2. Угловая дисперсия дифракционной решётки определяется по формуле

(3)

где - порядок спектра;- угол, под которым наблюдается линия длиной волныв спектре порядка.

Для определения следует найтииз условия максимума по формуле дифракционной решётки

(4)

Подставляя в формулу (4) численные значения величин =3,

, имеем ;

=0,98 и, соответственно по формуле (3),

3. По условию Рэлея две линии, отличающиеся по длине волны

, различимы, если выполняется соотношение

,

где - порядок спектра;- число щелей в решётке.

По условию задачи, число щелей решётки равногде- длина решётки.

= 12мм., =10мм. ,=12/10^-2=1200, =2,= 2,4^. 10³ т.е. >.

Следовательно, решётка даёт возможность различить две линии

=5000 и =5005 .

Ответ:

1) угол между началом спектра второго порядка и концом спектра третьего порядка ∆=;

2) угловая дисперсия для длины волны = 7000в спектре третьего порядка равна=1,7;

3) данная дифракционная решётка позволяет различить в спектре второго порядка две линии с длинами волн =5000

и = 5005.

Пример 3. Во сколько раз уменьшится интенсивность света, прошедшего через две призмы Николя, главные оси которых составляют угол α = 63^о. Потери света в каждой призме составляют 10%.

I_o

e

O

e

I₁

Решение:

Рис. 2

Интенсивность естественного света, падающего на поляризатор, равна . Интенсивность света на выходе поляризатора

, если потери в поляризаторе отсутствуют

(закон Малюса). По условию задачи призмы Николя поглощают 10% света. Поэтому . На выходе анализатора при отсутствии потерь, интенсивность света равна

C учетом потерь в анализаторе интенсивность света на выходе анализатора имеет вид

После преобразования получим конечную формулу:

Подставляя численные значения величин будем иметь

Ответ: интенсивность естественного света, прошедшего через две призмы Николя, уменьшается в 12 раз.

Пример 4. В результате эффекта Комптона фотон с энергией

был рассеян на свободном электроне под углом .Определить энергиюрассеянного фотона.

Решение:

Согласно эффекту Комптона, при рассеянии фотона на свободном электроне происходит увеличение длины волны, соответствующей движущемуся фотону. Это увеличение (∆λ) длины волны определяется по формуле Комптона:

где λ₁ и λ₂ – длины волн падающего и рассеянного фотонов соответственно; m_o – масса покоя электрона; с – скорость света в вакууме; h- постоянная Планка, - угол рассеяния фотона.

Выразим длины волн λ₁ и λ₂ через энергии ε₁ и ε₂ падающего и рассеянного фотонов соответственно, воспользовавшись формулой

Имеем:

где Е_о = m_oc² – энергия покоя электрона.

Вычисления удобнее вести во внесистемных единицах. Взяв из справочных таблиц значение энергии покоя электрона в мега-электронвольтах и подставив числовые данные, получим:

Ответ: энергия рассеянного фотона ε₂=0,216МэВ.

Пример 5. Красная граница фотоэффекта для некоторого металла равна 3000.На поверхность металла падает свет длиной волны.Определить минимальную длину волны де Бройля для фотоэлектронов, выходящих из металла.

Решение:

Воспользуемся формулой для длины волны де Бройля

, (1)

где m- масса частицы; - скорость частицы;h- постоянная Планка.

При фотоэффекте длина волны де Бройля будет минимальной для тех фотоэлектронов, которые имеют максимальную скорость.

(2)

Для определения скорости воспользуемся уравнением Эйнштейна для фотоэффекта.

(3)

где hν – энергия кванта, падающего на поверхность металла; А – работа выхода электронов с поверхности;

- максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов.

Работу выхода А можно определить, зная красную границу фотоэффекта, то есть наибольшую длину волны света, при которой ещё возможен фотоэффект:

. (4)

Подставим выражение (4) в формулу (3):

, (5)

откуда получаем расчётную формулу для максимальной скорости фотоэлектрона

(6)

Расчёт. Подставив в расчётную формулу численные значения входящих величин:

Учитывая связь между скоростью и длиной волны (1), окончательно получим.

Ответ: минимальная длина волны де Бройля равна

Пример 6. Максимум излучательной способности абсолютно чёрного тела приходится на длину волны 8000 . Площадь поверхности тела 50 см².

Определить энергию ,излучаемую телом за 1 минуту.

Решение:

Энергия, излучаемая телом с поверхности S за промежуток времени равна

E=R_еS. (1)

где R_е- энергетическая светимость тела.

По закону Стефана- Больцмана

R_е= (2)

Температуру Т тела можно определить из закона смещения Вина:

, (3)

где - длина волны, на которую приходится максимум излучательной способности ,м- постоянная Вина.

Подставляя (2) и (3) в (1), получим расчётную формулу

E=. (4)

Расчёт: Подставим в расчётную формулу численные значения величин.

; ;

S=5; ;

E=5,67Дж.

Ответ: энергия, излучаемая телом за одну минуту, E=2,9МДж.