getch();

}

В результате получим:

Array: 7 11 19 37 41 53 61 79

15. Обработка статистических данных

Генеральная совокупность – множество статистических данных, количество которых достаточно велико. Получить необходимые сведения о генеральной совокупности, не обрабатывая всех ее данных можно, используя выборочный метод [5].

Предположим, что генеральная совокупность – случайная величина X, имеющая:

–плотность вероятности f(x);

–функцию распределения F(x);

–математическое ожидание M[X];

–дисперсию D[X].

Но ничего из приведенного выше мы не знаем, а знаем только значения элементов, составляющих эту генеральную совокупность.

Выборочный метод заключается в том, что из генеральной совокупности, объем которой стремится к бесконечности (в общем случае), производится случайный выбор некоторого небольшого количества данных, называемый выборка – {xi} ( i =1,...,N) . Объем выборки – значение N (количество данных в выборке).

Выборка должна быть «представительской», т.е. хорошо описывать поведение исследуемой случайной величины Х.

Далее строится вариационный ряд, т.е. данные выборки упорядочивают по возрастанию. Эти данные, называемые вариантами, могут быть сведены в таблицу, данные которой понадобятся в дальнейшем:

Некоторые данные в выборке могут повторяться, поэтому n ≤ N.

Частоту повторения варианты xi в выборке обозначим koli – (чаще = 1), сум-

ма всех koli = N ( i =1,...,N) .

Частость (относительную частоту), т.е. отношение частоты к объему выборки можем принять за приближенное значение вероятности соответствующей ва-

рианты, т.е. p*i = koli/N (i =1,...,N) .

213

Причем, сумма всех p*i = 1 (i =1,...,N) .

Расчет эмпирической функции распределения F*(x)

При N→∞ эмпирическая функция распределения по вероятности сходится к теоретической функции распределения F(x). Эмпирическая функция распределения находится по формуле:

F*(x) = сумме p*i при X < xi , где p*i = koli/N,

т.е. равна количеству значений в вариационном ряду, строго меньших х, разделенному на N.

F*(x) = 0 при х ≤ x1 F*(x) = p*1 при х < x2 F*(x) = p*1+p*2 при х < x3

. . .

F*(x) = p*1+…+p*n-1 при х < xn-1 F*(x) = 1 при х > xn

Полученные данные можно добавить в таблицу.

Оценки числовых характеристик

1. Несмещенная состоятельная оценка математического ожидания, которая называется выборочное среднее, вычисляется по формуле (2.8) [5]:

x =1 ∑n xi .

n i=1

2. Несмещенная состоятельная оценка дисперсии при неизвестном математическом ожидании вычисляется по формуле (2.9) [5]:

3. Смещенная состоятельная оценка дисперсии вычисляется по формуле

(2.10) [5]:

S 2 =1 ∑n (xi −x)2 . n i=1

4. Очевидно, что состоятельная оценка среднеквадратического отклонения:

S0 = S02 .

Гистограмма распределения

Гистограммой называется оценка плотности вероятности, т.е. приближенное значение f(x), поэтому ее будем обозначать f*(x). Наиболее часто используется равноинтервальная гистограмма.

Равноинтервальная гистограмма

При построении гистограммы отрезок [x1, xn] разбивают на m интервалов:

214

m= (int) N , для N ≤ 100.

Находят шаг h = (xn - x1)/m и для удобства строят таблицу

Очевидно, что x*i = x1 + h*(i-1), а kol*i – количество элементов выборки, попавших в i-тый интервал.

При построении гистрограммы на каждом интервале строится прямоугольник с основанием h и высотой

f*i = kol*i / (N*h),

где f*i – средняя плотность вероятности.

Равновероятностная гистограмма

В равновероятностной гистограмме шаги рассчитываются из условия, чтобы в каждый интервал попало одинаковое число значений, равное m.

Для построения равновероятностной гистрограммы на каждом интервале строится прямоугольник с основанием hi и высотой f*i = m / (N*hi).

Например, значения 2, 3, 3, 3, 4; распределим 3 равномерно на интервале:

шаг = (4-2)/(кол-1);

По виду гистограммы выдвигается гипотеза о законе распределения случайной величины Х.

Например

1). f*(x)

По данной гистограмме выдвигаем гипотезу о равномерном законе распре-

деления R( ˆ ˆ ), имеющем два параметра a и b, в данном случае – их оценки, вы- a,b

215

По данной гистограмме, если все xi > 0, выдвигаем гипотезу об экспоненциальном законе распределения E(1/ x ), имеющем один параметр λ, в данном случае

– его оценку, равную 1/ x .

По данной гистограмме выдвигаем гипотезу о нормальном законе распределения N( x , S0), имеющем два параметра а – математическое ожидание, σ – среднеквадратическое отклонение, в нашем случае – их оценки.

Критерий согласия "Xи-квадрат"

Проверяем выдвинутую гипотезу

H0 = f*(x) = f0(x);

H1 = f*(x) ≠ f0(x);

где f0(x) – плотность вероятности гипотетического (предполагаемого) закона распределения.

Вычисляем значение критерия по формуле (2.25) [5]:

где pi – теоретические вероятности, которые рассчитываются по следующим формулам [5]:

1)равномерный закон pi = (x*i+1 - x*i)/ (xn - x1) – формула (2.27);

2)экспоненциальный закон pi = exp(-x*i / x ) – exp(-x*i+1 / x ) x*i) – формула

(2.26); причем x*1 = 0, x*m+1 = +∞.

причем x*1 = -∞, x*m+1 = +∞. Значения функции (интеграла) Лапласса Ф(х) можно рассчитать, используя методы приближенного интегрирования, или – по таб-

лицам. Напомним, что Ф(-х) = - Ф(х), а для х>4 Ф(х)=1(или 0,5, в зависимости от множителя перед интегралом – 1(2)/на корень из Pi*сигма).

Из таблицы функции «Хи-квадрат» для уровня значимости α=0,05 и k – число степеней свободы

k = m – 1 – s ,

где m – число интервалов, s – число параметров распределения, выбираем соответствующие значения:

216

X2 (0,05; 8) = 15,51;

X2 (0,05; 7) = 14,07.

Если расчетное (полученное нами) значение Х2 < X2 (0,05; k), то выдвинутая гипотеза H0 – принимается, хотя она может быть и не верна. В противном случае, гипотеза отвергается.

Критерий согласия Колмогорова

Проверяем выдвинутую гипотезу: H0 = F*(x) = F0(x);

H1 = F*(x) ≠ F0(x);

где F0(x) – теоретическая функция распределения, значения которой рассчитываются по следующим формулам [5]:

1) равномерный закон формула (2.30):

2) экспоненциальный закон формула (2.31): F0(x) = 1 - exp(-x / x ) ; x ≥ 0

3) нормальный закон формула (2.28):

Рассчитывают 10-20 значений, по ним строят график теоретической функции там же, где построена эмпирическая функция.

Вычисляют значение критерия Колмогорова

λ = m*max|F*(x) – F0(x)| .

Из таблицы функции Колмогорова для уровня значимости α = 0,05, т.е. при

доверительной вероятности γ = 1-α = 0,95 выбирают значение критерия λγ =1,36. Если расчетное значение меньше табличного λ < λγ, выдвинутая гипотеза

H0 – ПРИНИМАЕТСЯ, хотя она может быть и НЕ ВЕРНА.

Выборка двухмерной случайной величины

Пусть задана выборка (x,y), объема n.

Несмещенная состоятельная оценка корреляционного момента вычисляется по формуле (2.13) [5]:

где x – выборочное среднее Х, y – выборочное среднее У.

217

Состоятельная оценка коэффициента корреляции (формула 2.14):

ˆ

rˆxy = 2 Kxy 2

S0 (x) S0 ( y)

где S02 (x), S02 ( y) – несмещенные оценки дисперсий Х и У, соответственно. Простейшим видом регрессии является линейная:

y(x) =aˆ0 +aˆ1x ,

где оценки коэффициентов линейной регрессии вычисляем по формулам (2.35) и (2.36), соответственно:

218

Используемая литература

1.Котов В. и др. Методы алгоритмизации. Мн. Народная асвета. 1996.

2.Крячков А. и др. Программирование на С иС++. Практикум. М: Горячая

линия-Телеком. 2000.

3.Демидович Е.М. Основы алгоритмизации и программирования. Язык Си.

–Мн.: Бестпринт, 2001.

4.Синицын А.К., Навроцкий А.А. Алгоритмы вычислительной математики:

Лабораторный практикум по курсу «Программирование» для студентов 1-2-го курсов всех специальностей БГУИР. – Мн., БГУИР, 2002.

5.Аксенчик А.В., Волковец А.И. и др. Методические указания и контрольные задания по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студ. всех спец. БГУИР заочной формы обучения. – Мн.Ж БГУИР, 2002.

219