Возьмем начальное приближение x(0) = (0; 0; 0)Т. Тогда для k=1 очевидно, что значение x (1) = (0,5; 0,8; 1,5)Т. Подставим эти значения в (31), т.е. при k=2, по-

лучим x(2) = (1,075; 1,3; 1,175)Т.

Блок-схема алгоритма нахождения решения СЛАУ по методу простых итераций согласно рабочим формулам (13.29) представлена на рис. 2.5 [4].

14.Поиск и сортировка

14.1.Последовательный поиск в массиве

Человеку постоянно приходится сталкиваться с задачами поиска требуемой информации. Алгоритмы поиска, таким образом, являются основными алгоритмами обработки данных при решении как системных, так и прикладных задач.

Типичными примерами может служить работа с тем или иным справочником, телефонной книгой, картотекой в библиотеке и т.д.

Пусть множество из n элементов задано в виде массива a[n].

К наиболее простым задачам поиска можно отнести следующие операции.

1.Найти хотя бы один элемент, равный заданному значению Х. В результате необходимо получить i – индекс (порядковый номер) элемента массива, для которого выполняется равенство a[i]=X.

2.Найти все элементы, равные заданному значению X. В результате необходимо получить количество таких элементов и их порядковые номера.

Иногда поиск организуется не по совпадению со значением элемента X, а по выполнению некоторых заданных условий. Например, организуется поиск для интервала значений, т.е. когда отыскиваются элементы, удовлетворяющие неравенствам X1≤a[i]≤X2, где значения для Х1 и Х2 заданы.

Отметим, что операции пояска могут осуществляться с данными, которые находятся в разных состояниях. Эти состояния определяются степенью упорядоченности данных.

Для массива не упорядоченных данных единственный путь для поиска заданного элемента состоит в сравнении каждого элемента массива с заданным и при совпадении некоторого элемента массива с заданным его позиция в массиве фиксируется.

Таким образом, если какая либо дополнительная информация о разыскиваемых данных не задана, то очевиден следующий подход – простой последовательный просмотр массива данных. Такой метод называют линейный (последовательный) поиск.

Рассмотрим реализацию алгоритма последовательного поиска для первой задачи.

Условием окончания поиска является одна из следующих двух ситуаций:

1.Требуемый элемент найден, т. е.условие a[i] = Х выполняется.

191

если flag==1 тогда:

вывод: «элемент найден, его номер=ix»; иначе: вывод: «элемент не найден».

Окончание цикла гарантировано, так как на каждом его шаге значение параметра циклаi увеличивается, и он за конечное число шагов достигнет числа N, или же как только будет найден искомый элемент цикл досрочно закончится.

Из условия цикла следует, что если элемент найден, то это первый из таких элементов.

В этом алгоритме, таким образом на каждом шаге требуется увеличивать индекс и вычислять логическое выражение.

14.2. Барьерный последовательный поиск

Единственная возможность упростить работу и таким образом ускорить поиск – попытаться упростить само логическое выражение, которое состоит из двух частей. И в данном случае единственный путь к более простому решению – сформулировать простое условие, эквивалентное сложному. Но это можно сделать только в том случае, если совпадение гарантировано.

Для этого достаточно в конец массива поместить дополнительный элемент со значением X. Этот вспомогательный элемент называют «барьером», или «часовым» так как он препятствует выходу за пределы массива. Размер исходного массива теперь N+1 элемент.

Алгоритм линейного поиска с «барьером» выглядит следующим образом:

A[N+1]=X; ix=0; i=1;

Начало цикла: выполнять пока (a[i]!=X)

если a[i] == X

тогда

ix=i;

все

i++;

конец цикла

если i!=N+1 тогда:

вывод: «элемент найден, его номер=ix»; иначе: вывод: «элемент не найден».

Равенство i=N+1 свидетельствует о том, что совпадения не произошло (если считать совпадение с «барьером» контрольной точкой для завершения полного цикла).

Для реализации алгоритмов поиска в задачах типа 2 (напомним: нахождение количества элементов, равных значению X). Здесь в любом случае нужно просмотреть весь массив.

193

Вводим переменную, значение которой будет увеличиваться каждый раз на 1, когда будет найден нужный элемент. Такую переменную называют «счетчиком».

А, для получения индексов искомых элементов, введем массив b[N]. Как только будет найден необходимый элемент, его индекс будет заноситься в массив b. В переменной k будет храниться индекс первого свободного места в массиве b.

Изначально k=1. ix=0;

Начало цикла (выполнять для i от 1 до N)

если a[i] == X

тогда

b[k]=i

k++;

все Конец цикла

если k!=1 тогда:

вывод: «элементы найдены, их номера=» Начало цикла (выполнять для i от 1 до k-1)

Вывод b[i]; Конец цикла.

иначе: вывод: «элементы не найдены»;

В качестве примера рассмотрим задачу нахождения в целочисленной совокупности максимального элемента и определения его местоположения. Для этого необходимо сравнить текущий элемент массива с уже найденным на предыдущем шаге максимальным значением и в случае необходимости изменить текущее максимальное значение и его текущий порядковый номер.

Итак, для хранения текущего максимума введем переменную max а для его индекса переменную k. Алгоритм поиска будет таким.

Предполагаем, что максимальный элемент стоит первым. Поэтому изначально:

max=a[1];

k=1;

Начало цикла (выполнять для i от 2 до N) Если

Тогда

max=a[i];

k=I;

все Конец цикла.

194