Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Институт информационных технологий БГУИР

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

методички.C++ / Конспект Лекций - Части 1,2.pdf

Скачиваний:

275

Добавлен:

24.02.2016

Размер:

1.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 5044 45 46 47 48 49 50 > Следующая >>>

13.5. Итерационные методы решения СЛАУ

К приближенным относятся методы, которые даже в предположении, что вычисления ведутся без округлений, позволяют получить решение системы лишь с заданной точностью. Это итерационные методы, т.е. методы последовательных приближений. К ним относятся методы простой итерации, Зейделя.

Напомним, что достоинством итерационных методов является их применимость к плохо обусловленным системам и системам высоких порядков, их «самоисправляемость» и простота реализации на ЭВМ. Итерационные методы для начала вычисления требуют задания какого-либо начального приближения к искомому решению.

Следует заметить, что условия и скорость сходимости итерационного процесса существенно зависят от свойств матрицы А системы и от выбора начальных приближений.

Для применения метода итераций исходную систему (13.1) или (13.2) необходимо привести к виду

x = G x +	f		(13.25)
и затем итерационный процесс строится по рекуррентным формулам
x(k+1) = G x(k ) +		, k = 0, 1, 2, ... .	(13.26)
	f
Для сходимости (13.26) необходимо и достаточно, чтобы			\|λi(G)\| < 1, где

λi(G) − все собственные значения матрицы G.

Чаще всего останавливаются на проверке условий (|| ... || – норма матрицы):

	n	n
\|\|G\|\| < 1,	\|\|G\|\| = max ∑\| gij \|, или	\|\|G\|\| = max ∑\| gij \|,	(13.27)
	1≤i≤n j=1	1≤ j≤n i=1

или, если исходная матрица А имеет диагональное представление, т.е.

		n	A ={aij }1n .
\|aii \| >		∑\| aij \|,	A ={aij }1n .	(13.28)
	i, j=1;i≠ j
Если (13.27) или (13.28) выполняются, метод итерации сходится при любом
начальном приближении x(0) . Чаще всего вектор x(0)				берут или нулевым, или
единичным, или сам вектор	f	из (13.25).

Имеется много подходов к преобразованию исходной системы (13.2) с матрицей А для обеспечения вида (13.25) или условий сходимости (13.27) и (13.28).

Например, (13.25) можно получить следующим образом.

Пусть

А = В+С,

det В ≠ 0;

тогда

(B+С) x =

= −C

B−1B

= − B−1 C

+ B−1

откуда

= − B−1 C

+ B−1

Положив −B−1 C = G,

B−1

и получим (13.25).

Из условий сходимости (13.27) и (13.28) видно, что представление А = В+С не может быть произвольным.

188

Если матрица А удовлетворяет требованиям (13.28), то в качестве матрицы В можно выбрать нижнюю треугольную

B =

Или

a11			0 L 0
	a		a		L 0	, aii ≠ 0.
		21		22		, aii ≠ 0.
			L
	an1
	an1		an2 Lann

A x = b ; A x − b = 0 ; x + (A x − b) = x ;

x = x +α(A x − b) = x +α A x −αb = ( E +α A) x −αb = G x + f .

Подбирая параметр α можно добиться, чтобы ||G|| = ||E + αA|| < 1.

Если имеет место преобладание (13.28), тогда преобразование к (13.25) можно осуществить просто, решая каждое i-ое уравнение системы (13.1) относительно xi по следующим рекуррентным формулам:

k	1		n	k−1	n	k−1
xi = −			∑aij x j		= ∑gij x j		+ fi	;
xi = −	aii		∑aij x j		= ∑gij x j		+ fi	;
	aii	j=1; j≠i			j=1
gij = − aij / aii		;		gij = 0;		fi = bj / aii ;		(13.29)
G ={g	}n .
	ij 1

Если же в матрице А нет диагонального преобладания, его нужно добиться посредством каких-либо ее линейных преобразований, не нарушающих их равносильности.

Для иллюстрации рассмотрим систему

2x		−1,8 x	2	+0,4x	3	=1;	(I )
	1
3x1		+2x2		−1,1x3 = 0;			(II )
x		−x	2	+7,3x		= 0;	(III )
	1				3

Как видно в уравнениях (I) и (II) нет диагонального преобладания, а в (III) есть, поэтому его оставляем неизменным.

Добьемся диагонального преобладания в уравнении (I). Умножим (I) на α, (II) на β, сложим оба уравнения и в полученном уравнении выберем α и β так, чтобы имело место диагональное преобладание:

(2α + 3β) х1 + (−1,8α + 2β) х2 +(0,4α − 1,1β)х3 = α .

Взяв α = β = 5, получим 25х1 + х2 − 3,5х3 = 5.

Для преобразования второго уравнения (II) с преобладанием, (I) умножим на γ, (II) умножим на δ, и из (II) вычтем (I). Получим

(3δ − 2γ) х1 + (2δ + 1,8γ) х2 +(−1,1δ − 0,4γ)х3 = −γ .

Положим δ = 2, γ = 3, получим 0х1 + 9,4х2 − 3,4х3 = −3.

189

В результате получим систему:

25x + x				2	−3,5x		= 5;
	1			2	3
	9,4x2 −3,4x3 =−3;
x	−		x	2	+7,3x	3	= 0.
1				2		3
В полученной системе разделим каждое уравнение на диагональный эле-
мент:
x + 0,04x		2	− 0,14x =				0,2;		x =−0,04x		2	+ 0,14x	3	+0,2;
1		2			3				1		2		3
	x2 − 0,36x3 =− 0,32;							или	x2 = 0,36x3 − 0,32;
					+x3 =		0.			= −0,14x1		+0,14x2 .
0,14x1 −0,14x2					+x3 =		0.		x3	= −0,14x1		+0,14x2 .
Взяв в качестве начального приближения, например,												вектор		x(0) = (0,2;
−0,32; 0)Т. Будем решать эту систему по технологии (13.26):
					x(k+1)		= − 0,04x(k ) +0,14x(k ) +0,2;
					1			2	3
					x(k+1)		= 0,36x	(k ) −0,32;
					2		3
					x(k+1)		= − 0,14x(k ) +0,14x(k ) .
					3			1	2

Процесс вычисления прекращается, когда два соседних приближения вектора решения совпадают по точности, т.е.

x (k+1) − x (k ) < ε.

13.6. Метод простой итерации

Технология решения системы вида (13.25) названа методом простой ите-

рации.

Оценка абсолютной погрешности для метода простой итерации

x* − x (k+1)

≤

k+1

x (0)

k+1

1−

Пример. Для иллюстрации алгоритма рассмотрим решение системы (две

итерации):

−

= 2;

4 −1 −1

A = 1

= 4 .

x1 +5x2 −2x3

= 4;

5 −

;

(13.30)

4x = 6;

1 1 4

Преобразуем систему к виду (13.25) согласно (13.29):

=(2

+ x

) / 4;

x1(k+1) = (2 + x2(k )

+ x3(k ) ) / 4;

x2(k+1)

= (4−x1(k ) + 2x3(k ) ) / 5;

x2 =(4−x1 +2x3 ) / 5;

(13.31)

=(6 − x

− x

) / 4;

(k+1)

= (6 − x

(k )

−x

(k )

) / 4.

190

<<< < Предыдущая 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 5044 45 46 47 48 49 50 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке методички.C++

#
24.02.20161.97 Mб275Конспект Лекций - Части 1,2.pdf
#
24.02.20161.38 Mб76С Fundamentals.pdf